初等数学研究
1.（P383例4）在△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE ，正△
ACD,如图，连接DE 交AB 于F 。求证：EF=FD 。
证明：作EH ⊥AB 交AB 于H 点。
∵∠CAD=60°，∠BAC=30°
∴∠EHF=∠DAF=90°
设BC=a ，则又∵∠EFH=∠DFA(对顶角)
∴△EFH ≌△DFA(AAS)
∴EF=FD
2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心，O 是外心。OD ⊥BC 于D 。如图，求证：AH=2OD 。
证明：取AB 、H 的中点M 、N ，连接OM,MN,DN
则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM
∴四边形MNDO 是平行四边形。
∴OD=MN=12
AH 即AH=2OD
3.（P423例21）在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ，使MK ∥AC ，ML ∥BC ；设BL 、MK 交于P,AK 、ML 交于Q 。如图，求证：PQ ∥AB 。
证明：∵ML ∥BC MK ∥AC
∴KP BP PM PL = BM KQ MA QA
= BP BM PL MA = ∴KP BP BM KQ PM PL MA QA
=== 因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB
4.（P430例26）设A、B为平面上的二定点，C为平面位于直线AB同侧的一动点，各以AC、AB为边，在△ABC之外作正方形CADI、CBEJ，如图。
求证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变。
证明：自D、E、C和M分别作AB的垂线，设其垂足依次
为G、H、K和N。
∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90°
∴△ADG≌△CAK（AAS）
∴AG=CK DG=AK
同理：CK=BH EH=BK
∴AG=BH
∵N平方HG（MN是梯形中位线）
∴N平分AB
∵EH+DG=BK+AK=AB
∴MN=1
2
(EH+DG)=
1
2
AB
又∵MN⊥AB ∴DE的中点M是定点。
5.（P437例28）在任一三角形中，外心、垂心和重心共线。
证明：∵G为三角形重心
∴AG=2DG
又由P395例6知AH=2DO
又∵OD∥AH
∴∠1=∠2
∴△DOG ∽△AHG
∴∠OGD=∠HGA
∴H 、G 、O 三点共线
6.（P437例29）三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线。
证明：假定：任意点P 位于弧BC 上，如图，设X 、Y
和Z 分别是自P 向BC ，CA 和AB 所引垂线之垂足，
再连结B 、PC ，则有
P 、X 、Z 、B 共圆 ∴ α+∠ABP=180°
ABPC 内接于圆 ∴∠ABP='
β
P 、X 、C 、Y 共圆 ∴'β=β
∴α+β=180° 即X 、Y 、Z 共线
7.（P443例30）在直角梯形ABCD 中，以垂直的一腰AB 为直径之半圆切另一腰于E ，自E 作EF ⊥AB 于F ，连结AC 交EF 于M 。求证：AC 平分EF 。
证明：∵AD ∥EF ∥BC
∴AF FM DE AB BC DC == ∵DE=AD ∴DE AD DC DC =
又∵△ACD ∽△MCE
∴AD ME CD CE
=
∴DE AD ME DC DC CE == ∴FM DE ME BC DC CE ==
又∵CE=BC
∴FM
ME BC BC
∴FM=EM
即AC 平分EF 。
8.（P457例42）在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，D 是AC 的中点，连结BD ，过A 作BD 的垂线交BC 于E ，连结DE ，如图，求证：∠ADB=∠CDE 。
证明：作FC ⊥AC 交AC 于C 点，交AE 延长线于F 点，则
Rt △ACF ≌Rt △BAD （ASA ） ∴∠1=∠2 CF=AD=DC
∵∠ECF=∠DCE=45° ∴△CFE ≌△CDE ∴∠3=∠2
∴∠1=∠3
即∠ADB=∠CDE
9.（P475例1.48蝴蝶定理）设AB 是圆O 的弦，M 是AB 的中点，现过M 任作二弦CD 、EF ，记P 、Q 为AB 依次与CF 、ED 的交点。如图，求证：PM=MQ 。
证明：将MF 沿直线OM 翻转至MF ’，则有
MF=MF ’ , ∠1=∠1’
∵D 、E 、F 、F ’四点共圆
∴∠5=∠4
又∵AB ∥FF ’
∴∠5=∠1=∠1’
∴∠1’=∠4
∴M 、F ’、D 、Q 四点共圆
∴∠2’=∠3=∠2
∴△MFP ≌△MF ’Q(ASA)
∴MP=MQ
10.（P481例1.49）在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上的一点，E 是AD 上的一点，且∠BED=2∠CED=∠A,
求证：BD=2CD 。
证明：在BE 上取BF=AE
∵∠BED=∠BAC
α+∠BAE=∠A
β+∠BAD=∠BED
∴α=β
∴△ABF ≌△CAE(SAS)
∴∠1=∠2 ∠AFB=∠CEA
∴∠3=∠4=12
∠A ∠5=∠BAC-(∠2+β)=∠BAC-∠4=
12∠A ∴∠3=∠5 ∴AE=FE
∴BE=2AE ∴2BED ABE DEC ACE
BD AB BE BE S S DC AC AE AE S S ∙=====∙ 11.（P492题13）在矩形ABCDA 中，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点，在CD 的延长线上取PD 点，记Q 为PM 与AC 的交点，求证：∠QNM=∠MNP 。
证明：设O 为矩形中心，则O 为MN 中点，延长QN 交DC 的延长线于R 点
则C 又是PR 的中点
