1.1 为什么要计算固有频率和模态
1） 评估结构的动力学特性。如安装在结构上的旋转设备，为避免其过大的振动，必须
看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率。 2） 评估载荷的可能放大因子。
3） 使用固有频率和正交模态，可以指导后续动态分析（如瞬态分析、响应谱分析、瞬
态分析中时间步长t ∆的选取等）
4） 使用固有频率和正交模态，在结构瞬态分析时，可以用模态扩张法 5） 指导实验分析，如加速度传感器的布置位置。 6） 评估设计
1.2 模态分析理论
考虑
假设其解为
代入得到特征方程
或
其中，2
ωλ=
1） 对N 自由度系统，有N 个固有频率（j ω，j=1,2,…,N ）,特征频率，基本频率或共
振频率。
2） 与固有频率j ω对应的特征向量称为自然模态或模态形状，模态形状对应于结构扰度图
3） 当结构振动时，在任意时刻，结构的形状为它的模态的线性组合
例子：
1.3 自然模态与固有频率性质
（1）正交性
ω的单位
（2）
j
ω单位为rad/s, 也可以表示为Hz (cycles/seconds),二者换算关系为j
（3）刚体模态
图为一未约束结构，有刚体模态
如果结构完全未约束，有刚体模态存在（应力-自由模态）或机构运动，至少有一固有频率为0。
（4）自然模态的倍数依然为自然模态
如：
代表相同的振动模态
（5）模态的标准化
1.4 模态能量
（1）应变-位移关系
（2）应力-应变关系
（3）静力-位移关系
（4）单元应变能
因此，对给定的模态位移
模态应变为
模态应力为
模态力为
模态应变能为
1.5 特征值解法
对于方程
MSC/NASTRAN提供三类解法
a)跟踪法（Tracking method）
b)变换法（Tromsformation method）
c)兰索士法（Lamczos method）
1.5.1 跟踪法
跟踪法解特征值问题，实质是迭代法。
对仅求几个特征值（或固有频率）的问题是一种方便方法。
MSC/NASTRAN中，提供两种迭代解法，即为逆幂法（INV）和移位逆幂法（SINV）
前者存在丢根现象；后者采用STRUM系列，避免丢根，改善收敛性。
逆幂法和移位逆幂法均用模型数据卡EIGR来定义，并用情况控制指令METHOD来选取。
1.5.2 变换法
特征方程变换为：
λ
=
[φ
φ
{
}
A
}
]{
式中矩阵[A]是用Givens法或Householder法变换得到的三角矩阵，一次求解可得全部特征值。
对于维数小、元素满的矩阵，且需求全部或大部分特征值问题十分有效；
MSC/NASTRAN提供Givens法（GIV）和修正MGIV法；
MSC/NASTRAN提供郝斯厚德(HOU)法和修正郝斯厚德(MHOU)法；
吉文斯（GIV）法和郝斯厚德(HOU) 法要求[M]矩阵正定；修正吉文斯法（MGIV）与修正的郝斯厚德法(MHOU)允许[M]是奇异的，从而可求解刚体模态；
变换法用模型数据卡EIGR来描述，用情况控制METHOD选取。
1.3.3兰索士(Lanczos)法
兰索士(Lanczos)法是一种将跟踪法和变换组合起来的新的特征值解法;
对计算非常大的稀疏矩阵几个特征值问题最有效;
兰索士法用模型数据卡EIGRL描述，用情况控制METHOD选取。
1.3.4 特征值方法比较
上面介绍特征值解法各有用处。比较而言，兰索士法首先推荐的
1.3.5 Lanczos法卡片
1.3.6 模态分析求解控制
（1）执行控制
（2）情况控制
（3）数据模型
（4）输出控制
a)结点输出
b)单元输出
c)其他
1.3.7 模态分析例子
问题：平板的模态分析（1）结点与单元
（2）载荷与边界条件
（3）材料与几何
（4）输入文件
（a）几何模型文件plate.bdf
$ geometric input file for plate model
PSHELL 1 1 .1 1 1
CQUAD4 1 1 1 2 13 12
CQUAD4 2 1 2 3 14 13
CQUAD4 3 1 3 4 15 14
CQUAD4 4 1 4 5 16 15
CQUAD4 5 1 5 6 17 16
CQUAD4 6 1 6 7 18 17
CQUAD4 7 1 7 8 19 18
CQUAD4 8 1 8 9 20 19
CQUAD4 9 1 9 10 21 20
CQUAD4 10 1 10 11 22 21
CQUAD4 11 1 12 13 24 23
CQUAD4 12 1 13 14 25 24
CQUAD4 13 1 14 15 26 25
CQUAD4 14 1 15 16 27 26
CQUAD4 15 1 16 17 28 27
CQUAD4 16 1 17 18 29 28
CQUAD4 17 1 18 19 30 29
CQUAD4 18 1 19 20 31 30
CQUAD4 19 1 20 21 32 31
CQUAD4 20 1 21 22 33 32
CQUAD4 21 1 23 24 35 34
CQUAD4 22 1 24 25 36 35
CQUAD4 23 1 25 26 37 36
CQUAD4 24 1 26 27 38 37
CQUAD4 25 1 27 28 39 38
CQUAD4 26 1 28 29 40 39
CQUAD4 27 1 29 30 41 40
CQUAD4 28 1 30 31 42 41
CQUAD4 29 1 31 32 43 42
CQUAD4 30 1 32 33 44 43
CQUAD4 31 1 34 35 46 45
CQUAD4 32 1 35 36 47 46
CQUAD4 33 1 36 37 48 47
CQUAD4 34 1 37 38 49 48
CQUAD4 35 1 38 39 50 49
