3-1常微分

定义: 联系自变量、 未知函数及未知函数导数 （ 或微 定义 : 联系自变量 、 未知函数及 未知函数导数（ 未知函数导数 的关系式称为微分方程. 分）的关系式称为微分方程 例1：下列关系式都是微分方程
dy (1) = 2x ; dx
2 3
(2) xdy − ydx = 0 ;
d 4x d 2x d x dx + 5 2 + 3 x = sin t ; (3) + tx + x = 0 ; (4) 4 dt dt dt 2 dt
一般要求解出最高阶导数： 一般要求解出最高阶导数：
dny dy dny = f x, y , , L , n n dx dx dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 19
通过引入n-1个新的未知变量，可以把n阶微分方程 个新的未知变量，可以把 阶微分方程 通过引入 个新的未知变量 化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组 个由一阶微分方程组成的微分方程组： 化为 个由一阶微分方程组成的微分方程组： dyn −1 d n y dy1 dy2 d 2 y y1 = y, y2 = , y3 = = 2 , L , yn = = n dx dx dx dx dx
u
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例3 R-L-C电路 电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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eulersmethod11hyhfxyhfxy后退尤拉法梯形法eulersmethoddxdyanotherpointview对右端积分采用左矩形右矩形梯形积分公式即可得尤拉显式隐式梯形公式eulersmethod中点欧拉公式midpointformula假设则可以导出即中点公式也具有2来启动递推过程这样的算法称为双步法doublestepmethod而前面的三种算法都是单步法singlestepmethodeulersmethod几何解释后退尤拉法中点法dxdyanotherpointview对右端积分采用中矩形公式即得中点公式eulersmethod公式局部截断误差单步梯形公单步中点法分别用显式euler方法梯形方法和预估校正euler方法解初值问题dxdy1052119分别用显式euler方法梯形方法和预估校正euler方法解初值问题dxdy1052119euler方法梯形方法预估校正方法0010000000010000000010000000001100000048103100476275105100500016104021010000871031018594141041019025291040310290001210210406331910410412184010404105610014102107009622104107080048104051090490161021106278251041107076551040611314411710211485372710411494045910407117829718102119629529104119721062104081230467191021249019301041249975651040912874201910213062643110413072286610410134867819102136757331104136851466104数值例子表明梯形方法和预估校正euler方法比显式euler方法有更好的精度

习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。

解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。

6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。

解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。

8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。

3[1]1微分中值定理及其应用3.2 微分中值定理及其应用教学目的：1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。

教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。

教学时数：2学时一、微分中值定理:1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数.推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.若存在,则右导数也存在,且有(证)但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且( 证 )Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若为介于与之间的任一实数, 则设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3.Cauchy中值定理:Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点使.证分析引出辅助函数. 验证在上满足Rolle定理的条件,必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.（二）中值定理的简单应用:1. Rolle中值定理的应用例1设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明: .提示：设«Skip Record If...»例2设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,且«Skip Record If...».试证明:«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».例3设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,对«Skip Record If...»,试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»提示：设«Skip Record If...»例4 已知函数«Skip Record If...»具有二阶导数,且«Skip Record If...»试证在区间«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»例5 证明方程在内有实根.例6 证明方程在内有实根.练习设函数在区间«Skip Record If...»上连续,在«Skip Record If...»内可导,且«Skip Record If...»,试证明(1)«Skip Record If...»;(2) 对任意实数«Skip Record If...»,必存在«Skip Record If...».提示：(2)«Skip Record If...», «Skip Record If...»广义Rolle中值定理：设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»可微，«Skip Record If...»存在且等于«Skip Record If...»，则存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».例7设函数在«Skip Record If...»上连续可微,«Skip Record If...»,证明存在一点«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».练习设函数在«Skip Record If...»上可微,«Skip Record If...», 试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».grange中值定理的应用例8 设是可微函数, 导函数«Skip Record If...»严格单调增加,若«Skip Record If...»,试证对一切«Skip Record If...»,有«Skip Record If...».(不得直接利用凸函数的性质)3.Cauchy中值定理的应用例1 设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...».练习设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»(三).Jensen不等式及其应用:Jensen 不等式: 设在区间上恒有( 或, 则对上的任意个点, 有Jensen不等式:( 或,且等号当且仅当时成立.证令, 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意即得所证.对具体的函数套用Jensen不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例2证明: 对有不等式.例3证明均值不等式: 对, 有均值不等式.证先证不等式.取.在内严格上凸, 由Jensen不等式, 有. 由↗↗.对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.例4证明: 对, 有不等式. ( 平方根平均值 )例5设，证明.解取, 应用Jensen不等式.Jensen不等式在初等数学中的应用举例: 参阅荆昌汉文: “凸(凹)函数定理在不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4. P39.例6在⊿中, 求证.解考虑函数在区间内凹, 由Jensen不等式, 有..例7 已知. 求证.解考虑函数, 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有..例8已知求证.( 留为作业 ) 解函数在内严格下凸. 由Jensen不等式, 有.。