2015初三数学材料分析题

材料分析练习题

1．阅读下列材料：

题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+，再 说明y 的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法：

简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题：

已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．

2. 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题.

作法：

（1）在e 上任取一点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧交c 于点D ，交d 于点E ； （2）以点A 为圆心，CE 长为半径画弧交AB 于点M ； ∴点M 为线段AB 的二等分点.

图1

解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）

（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB 的三等分点；

图2

（2）点P 是∠AOB 内部一点，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，请找出一个满足下列条

件的点P . （可以利用图1中的等距平行线）

①在图3中作出点P ，使得PM PN =； ②在图4中作出点P ，使得2PM PN =.

图3 图4

3.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 度数．

小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C ，连接PP ′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．

图1 图2

请回答：图1中∠APB 的度数等于 ，图2中∠PP ′C 的度数等于 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为（3-，1），连接AO ．如果点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边三角形ABC . 当C （x ，y ）在第一象限内时，求y 与x 之间的函数表达式．

A

E C F

B

A

B C

C

B

A

4．阅读下面材料：

如图1，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．

（1）当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=；

（2）如图2，在△ABC中，点O是线段AD上一点（不与点A、D重合），且AD=nOD，连结BO、CO，求S△BOC：S△ABC的值（用含n的代数式表示）；

（3）如图3，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结

CO并延长交AB于点E，补全图形并直接写出OD OE OF

AD CE BF

++的值．

5.探究发现:

如图1，△ABC是等边三角形，点E在直线BC上，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；

数学思考:某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：

当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC延长线”；“点E在线段BC反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．

拓展应用:当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．

图1 图2 图3

图1

图2

图3

6.阅读材料：

如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线 之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长 度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

ah S ABC 2

1

=

∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式； (2)求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；

(3)抛物线上是否存在一点P ，使S △PAB =8

9

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，

请说明理由.

图1 图2

7. 根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的

甲种蔬菜的销售利润y 1（千元）与进货量x （吨）之间的函数kx y =1的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y 2（千元）与进货量x （吨）之间的函数bx ax y +=2

2的图象如图②所示. （1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；

（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t 吨，写出这两种蔬菜

所获得的销售利润之和W （千元）与t （吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多

少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？

图① 图②

8. 在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．

小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展： （2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．

．若ABC △三边的长分别为2a 、13a 、17a （0a >）

，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：

（3）若ABC △中有两边的长分别为2a 、10a （0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用

构图法．．．

在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．

x y （万元）

（吨）5

3

O

y （千元） y （万元）

（吨）O y （千元）