“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用

从一题多解谈数学发散思维的培养作者：周丽娟来源：《江西教育·综合版》2013年第09期摘要：数学新课程注重培养学生的发散思维，发散思维是创造力的核心，是灵活应用知识的重要前提。

此文主要探讨通过一题多解培养数学发散思维。

通过一题多解的教育功能——巩固知识、加强知识联系、思想方法渗透等方面讨论其对发散思维流畅性、变通性、独特性的培养。

另外注重解题后反思是发挥一题多解培养发散思维的重要环节。

关键词：一题多解发散思维迁移一、引言随着数学课程改革的深入，数学教学除了要让学生掌握基础知识和基本技能即完成“双基”教学外，还要进一步培养学生的数学思维能力及数学创新意识等，而在思维能力培养和创新意识的培养中，注意发展学生的发散思维，让学生积极思维，大胆设想，防止思维定式，这样才能提高学生分析和解决问题的能力，也只有这样才能真正提高学生的创新能力。

正如徐利治先生在《数学方法论选讲》中给出的这样一个公式：创造力=知识+发散思维能力，可见培养学生发散思维能力是发展学生创造能力的重要方面。

发散思维是灵活运用知识解决问题所必需的，更是迎接信息时代，适应未来生活所应具备的能力。

一题多解，就是用不同的思维分析方法，多角度多途径地解答问题。

一题多解对一道题可能涉及各方面的知识要进行不同角度、不同层面的深入研究，目的是将这道题做“深”、做“广”、做“透”。

这样做有利于全面、系统掌握解题规律，加强各部分知识之间的联系，从而使所学知识得到“升华”，因而是培养发散思维的有效途径。

二、一题多解，促进知识迁移，培养发散思维美国心理学家吉尔福认为，发散性思维是指“从给定的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样的为数众多的输出”。

因此发散思维的培养首先要建立在信息源上，信息量多，发散的广度才可能越大。

同时，发散性思维强调通过联想和迁移对同一个问题形成尽可能多的答案，并寻找多种正确途径。

1.一题多解，夯实基础，增强发散思维的流畅性。

一题多解与一题多变培养学生多角度思维作者：郭高峰来源：《中学物理·高中》2013年第03期我们知道，物理是一门集抽象性与思维性为一体的学科，因此，要学好物理，培养学生的思维能力是非常重要的.物理思维的拓展主要体现在：（1）一题的多种解法；（2）一题的多种变化.下面，笔者通过高中物理题中一题多解和一题多变，来谈谈如何培养学生的多角度思维能力.1 一题多解，有利于加强学生的思维训练例1 一列客车以速度v1前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车正在以速度v2匀速前进，且v1>v2，货车车尾与客车车头相距s0，客车立即刹车做匀减速运动，而货车仍保持匀速运动.求客车的加速度符合什么条件两车才不会撞上？分析这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解.若要客车不撞上货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车速度不变，则两车将一直保持相对静止.可见，两车恰好相碰时速度相等是临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差Δs≤s0.下面用两种方法求解.解法一以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，则客车例2 甲、乙两地相距s=1.6 km，摩托车的加速度为a1=1.6 m/s2，减速时的加速度为a1=6.4 m/s2摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动过程中的最大速度为多少？分析题目中并没有说明摩托车由甲地往乙地是如何运动的，从甲地往乙地所用时间最短这一临界状态是解决问题的突破口.分析的方法可以用数学推导法，也可以用图象分析法等.解法一用数学推导法.设摩托车加速运动时间为t1，匀速运动时间为t2，减速运动时间为t3，总时间为t，则解法二用图象分析法.建立如图1所示的图象，图象中梯形的“面积”即为甲、乙两地的距离，在保证“面积”不变的情况下要使运动时间变小，只有把梯形变成三角形.联立以上三式得：最短时间为t=50 s，最大速度为vm=64 m/s.归纳：比较以上两种分析方法，图象法比解析法简单，是一种可取的方法.通过上面两个例题我们可以看到，同样一道题目我们可以从不同的角度去思考，从不同的角度去解答，有利于加强对学生的思维训练.2 一题多变，有利于培养学生的物理思想例3 如图2所示，总长为L的轻绳两端各系一个重量为G的圆环，在轻绳的中点挂一重量为2G的物体，已知圆环所受最大静摩擦力等于压力的1/2，求：两圆环在杆上静止时的最大距离x.解析此例与命题情况类似.由于G=mg，因此由命题中（2）、（3）式得变式一如图3所示，竖立在地面上的两杆相距4 m、长为5 m的细绳两端分别固定与两杆的顶端A和B，在绳上一轻质光滑的小挂钩O的下面挂一重量为G的物体.当物体静止时，下列判断正确的是A.细绳AO段、BO段分别跟水平方向的夹角肯定相等B.细绳AO段、BO段的张力相等C.两杆顶端所受的绳的拉力均为5G6D.只有两杆等高时，选项A才正确解析类似地，由于G=mg，因此由命题中（8）、（9）式得易知，对静止状态下、质量不计的轻绳而言，两杆顶端所受绳的拉力等于两段细绳中的张力.由命题所得结果看，无论两杆是否等高，选项A、B都正确.因此，本题正确选项为A、B、C.变式二如图4（a）所示，将一轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点，另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍.图4（b）为一质量可忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略.先将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？两段细绳与水平方向的夹角分别为多大？解析类似地，设A和B到O点的距离为l，则细绳长度为2l.细绳所受的拉力可由命题内（8）、（9）式得到例4 一个质量为0.2 kg的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图5，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力.解析极限法，当加速度a较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳拉力和斜面的支持力作用，绳平行于斜面，当加速度a足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球受重力和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求a=10 m/s2时绳的拉力及斜面的支持力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度a0.（此时临界条件，小球所受斜面支持力恰好为零）由变式一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，母线与轴线的夹角为θ，如图7所示，长为的轻绳一端固定在圆锥的顶点点，另一端拴一个质量为的小球（可看作质点），小球以速率绕圆锥的轴线做水平匀速圆周运动.（1）当v=gl6时，求绳子对小球的拉力.（2）当v=3gl2时，求绳子对小球的拉力.从以上变式我们可以看到，物理题往往以不同的情景或从不同的角度考查同一知识点.因此，同学们在做物理题的时候，做题不在量多量大，而应该将一道题目要考查的知识点弄懂，弄透彻，达到触类旁通、举一反三的效果，这样才能提高物理学习的效率。

一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考作者：沈军英来源：《小学教学参考·中旬》 2017年第7期江苏海门师范附属小学( 226199)沈军英[摘要]如何提高小学生的数学思维能力？这是每个小学数学教师永恒的思考主题。

其实，教师只要结合教学实际、立足课堂、以生为本，合理采用“一题多问”“一题多变”“一题多解”等方式，让每一道例题或习题充满趣味，沟通多个知识点之间的内在联系，就能激发学生的学习热情，提升学生的综合思维能力。

[关键词]一题多问；一题多变；一题多解；思维能力[中图分类号]G623.5[文献标识码]A [文章编号] 1007-9068(2017)20-0051-02以上教学过程，教师创设了一个学生感兴趣的情境。

在学生动手操作，白主尝试后，教师采用不断追问的形式进行全班交流。

这样由浅人深的提问，巩固和加深学生对分数意义的理解。

使学生将之前已经初步认识的把“一个物体”平均分成若干份，其中的一份可以用几分之一来表示过渡到本节课把同类物体组成的“一个整体”平均分成几份，每份也可以用几分之一来表示，完善学生对几分之一的认知。

整个学习过程，学生在一题多问的引领下，主动参与，积极思考，体验成功，学生的数“学以思为贵”，培养学生的思维能力是小学数学教学的主要任务之一。

随着数学知识难度的加大，小学高年级的数学出现了抽象化的应用题，教师要引导学生学会寻找最近发展区，将复杂问题简单化，并通过“一题多问”“一题多变”“一题多解”等方式带领学生找到最佳的解题方法，进而悟出解题规律，为学生数学技能的发展打下坚实的基础。

一、一题多问，在追问中推动学生思维递进爱因斯坦曾说：“教育应该使提供的东西，让学生作为一种宝贵的礼物来享受，而不是作为一种艰苦的任务要他负担。

”在新知的学习中，教师应有意识地结合教学内容创设学生感兴趣的问题情境，鼓励学生主动探索，再借助一个又一个递进的问题，激起学生的好奇心和求知欲，使学生的学习思维处于主动状态，最大限度地射向学生思维的深处。

题 意 知
木 』水 ｇ ＝ 石 ｐ石 ｇ ＋ 木 Ｉ木 ｇ Ｄ ｌ Ｄ
又 △Ｆ ＝ ｌ ｌｖ 浮 Ｄ △ ｓ 水ｇ
所以 △ ＾＝ ａｖ＊ ｓ ＝ ＊／ 容
５ Ｘ １ －ｍ 。 ０３
：
由上 面 两 式 联 立 解 得 ：
１
ｌ ＝ ｌ 一－ ￣ ＝ ０ ５Ｘ １ ｋ ／ ３ Ｄ 木 Ｄ 水 ａ？ － ． ０ ｇ ｍ ３
变 化 三
石 块 沉
入水 底 后 ， 器底 部对 容 变 化 一 若 木 块 的底 面 积 为 ５ ０厘 米 剪 ， 石块 的 支 持 力 为 多 少 ？ 断细线 ， ： 求 水对木块下底 面的压强。 石 解 法一 紧 紧抓住 静 止液体 内部 的压 强 （ 块 与 容 器 底 部 没 有
剪 断 细 线 以后 ： ２．＝ Ｇ ＋Ｆｚ ． Ｆｆ 木 ｉ ｆ
毖 酋
幽 １
析 与 解 把 木 块 和石 块 看 成 整 体 。 由题 意
知石块置于木块上 、 ， 下 浮力 的大小 没有发生 变
剪断细线 以后 石块下沉 。 Ｆ 浮 ＜ Ｇ 由 石 石知 化 （ 浮 ＝Ｇ Ｆ 木＋Ｇ 。 石） 由此根据阿基米德原理推 木块和石块总的浮力减小 ， 面下降。 液 出排开水 的体 积没 有发 生 变化 。 则露 出水 面的 因 △Ｆ ＝ Ｆｌ． Ｆｆ 浮 ｆ 一 ２．＝ Ｇ 一ｌ 石 Ｄ 水ｇ ， 石 体积也 没有发生变化 。 么 ： ＝ 木／ 。 由 那 石 ４而
对 木块 下底 面 的 压强 ：
Ｆ浮 ＝ Ｇ木 ＝ Ｆｌ ＝一 Ｆ向下 ｅａ
ｍ ￣ ｇ ｒ ． ｐ 一 世 一 Ｓ木 一 Ｓ木
一 —
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作过程 ， 供大家探讨 。 例 题 如 图所 示 ， １０克 的石 块 Ａ放 在 把 ０ 木块 Ｂ上 ， 木块刚好没入水 中 ， 若把石块 Ａ挂在 木 块 Ｂ 下 ， 木 块 露 出 水 面 １４ 已 知 石 块 的 密 则 ／， 度为 ２ ０Ｘ １３ ． ０ 千克 ／ ， ＝ １ 米 ｇ ０牛 ／ 千克 ；