关于高等数学大一上学期
知识要点
Last revision on 21 December 2020
高数总复习(上)
一、求极限的方法：
1、利用运算法则与基本初等函数的极限；
①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =
(除法运算) ()0,lim ()f x A
B g x B ≠=若
推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n
f x A f x f x A === (n 为正整
数)
推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =
②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；
①定义1: 若0
lim ()0x
x f x →=或（lim ()0x f x →∞
=） 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:
若lim
1β
α
=, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ.
②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.
性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~α
αββ'',
且lim βα''存在, 则
(因式替换原则)
常用等价无穷小:
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；
①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123;
(2)lim lim n n
n n y z a →∞→∞
==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞
=.
②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 5、利用洛必达法则。
未定式为0,,,0,00∞
∞∞-∞⋅∞∞
类型. ①定理(x a →时的0
型): 设
(1)lim ()lim ()0x a x a
f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δ内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;
二、求导数和微分 ： 1.定义
①导数：函数()y f x =在0x x =处的导数：
0000000()()()()
()lim lim .x x x f x f x f x x f x f x x x x
→∆→-+∆-'==-∆
函数()y f x =在区间I 上的导函数：
②函数的微分：().dy f x dx '=
2.导数运算法则（须记住P140导数公式）
① 函数和差积商求导法则：函数()u x 、()v x 可导，则：
②反函数求导法则：若()x y ϕ=的导数存在且()0y ϕ'≠，
则反函数()y f x =的导数也存在且为
③复合函数求导法则(链式法则)：()u x ϕ=可导，()
y f u =可导， 则(())y f x ϕ=可导，且 ④隐函数求导法则: ⑤参数方程求导法则:
若()0t ϕ'≠则()()
dy t dx t ψϕ'='. 3.微分运算法则
三、求积分：
1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形
式。1
()lim ()n
b
i i a i f x dx f x λξ→∞
==∆∑⎰ 性质1：
()0,()()a a b
a b
a
f x dx f x dx f x dx =-=⎰⎰⎰
性质2：[()()]()()b
b
b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰ 性质3：()(),().b b
a a
kf x dx k f x dx k =⎰⎰是常数
性质4：
()()()c
c
b
b
a
a
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰ (去绝
对值, 分段函数积分)
性质5：
b
a
dx b a =-⎰
2.计算公式： P186基本积分表； P203常用积分公式；
①第一换元法(凑微分)：
()
()(())()(())()
()u x u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕϕ==⎡⎤'==⎣⎦⎰⎰⎰
②第二换元法： ③分部积分法：
④有理函数积分：
混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数
⑤牛顿莱布尼茨公式：
⑥定积分换元法：
5.()(())()(())b a
f x dx f t t dt
a b β
α
ϕϕϕαϕβ'=⎰⎰＝()=
（换元换限，配元(凑微)不换限） ⑦定积分分部积分法：
[]6.()()()()()()b
b
b
a a
a
u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰
⑧结论(偶倍奇零)：
① 若函数()f x 为偶函数，则
()2()a
a
a
f x dx f x dx -=⎰
⎰。
②若函数()f x 为奇函数，则
()0a
a
f x dx -=⎰
注意:
1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；
2. 定积分几何意义求一些特殊的积分(如2
22
4
a
a a x dx π-=
⎰)
⑨ 变限积分求导 四、微分和积分的应用
1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形 ① 判断单调性：
第一步：找使 ()0f x '=的点和不可导点。
循环解出; 递推公式
分部化简 ;
