指数运算和 指数函数
要求层次
重点 难点
幂的运算 C
①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概念和运算性质
②无理指数幂的理解
③实数指数幂的意义
指数函数的概念 B
在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数
在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数
指数函数的图象和
性质
C
①对于底数1a >与01a <<时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质
①对于底数1a >与01a <<时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质 ③掌握指数函数作为初等函数与二次函数、对数函数结合的综合应用问题
板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容
1．整数指数
⑴ 正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅
⋅，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈）
，n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．
⑵整数指数幂：规定：01(0)a a =≠，1
(0,)n n a a n a
-+=≠∈N ． 2．分数指数
⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根．
高考要求
第4讲
指数运算与指数函数
知识精讲
⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．
① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，
a 的n
表示．
② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n
0)a >．
⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．
负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0
0．
n 叫做根指数，a
3．根式恒等式：
n a =；当n
a =；当n
||a a a ⎧=⎨-⎩
0a a <≥．
4．分数指数幂的运算法则
⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n
a a >
0,,,)m
m n
m
a a n m n
+==>∈N 且
为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n
m n
m
a
a n m n
a
-
+=
>∈N 且
为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈
6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时
a =，n 为偶数时
a =． 7．
m n
a =
m n
a
-
=（0a >，,*m n N ∈，且1n >）
零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r
r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ）
9．无理数指数幂
⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．
（二）典例分析
【例1】求下列各式的值：
⑴
；⑵
⑶
⑷
)
a b
<；⑸
．
⑹
2
3
8；⑺
1
2
25-；⑻
5
1
2
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；⑼
3
4
16
81
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
【例2】计算下列各式：
⑴
⑵
1
11
3
44
2
1
3
2
43
(,0)
6
a a b
a b
a b
-
-
-
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭>
-
．
【例3】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：
⑴
；⑶
54
m
⋅
．
【例4】
，则实数a的取值范围是（）A．a∈R B．
1
2
a=C．
1
2
a>D．
1
2
a≤
【例5】
设a
b=
c a，b，c的大小关系是（）
【例6】设
11
20082008
(N)
2
n n
a n
-
+
-
=∈
，那么)n
a
-的值是（）
