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2013-2019高考理科数学分类汇编-第15章 数系的扩充与复数的引入

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第十五章 数系的扩充与复数的引入

题型155 复数的概念及分类

1.（2015天津理9）i

是虚数单位，若复数

12iia

是纯虚数，则实数

a的值为 .

1. 解析 

12ii212iaaa

是纯虚数，所以20a

，即2a

.

2．（2016江苏2）复数，其中为虚数单位，则z的实部是 ．

2． 解析 由复数乘法法则可得，故的实部是．

3．（2016上海理2）设，其中为虚数单位，则 ．

3．分析 在部分教材中，表示复数的虚部，表示复数的实部．

解析 因为，故．故填．

4.（2017天津理9）已知aR，i为虚数单位，若i

2ia

为实数，则

a的值为 .

4.解析 

i2i212ii212

i

2i2i2i555aaaaaa



为实数，则

2

0

5a

，解得2a.

5.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题： 1:p

若复数z满足1

zR，则zR；

2:p

若复数z满足2zR，则zR；

3:p

若复数

12,zz

满足

1

2zzR

，则

12zz；

4:p

若复数zR，则zR.

其中的真命题为（ ）.

A.

13,pp

B.

14,pp

C.

23,pp

D.

24,pp

5. 解析

1:p设izab，则

2211i

iab

zabab



R，得到0b，所以zR.故

1p正确；

2:p若z12，满足2zR，而zi，不满足2zR，故

2p不正确；

3:p若

1z1，

2z2，则

12zz2，满足

12zzR，而它们实部不相等，不是共轭复数，故

3p不正确；

4:p实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故

4p正确.故选B.

2019年

6．（2019江苏2）已知复数(2i)(1i)a的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值12i3izi

555izz

5

32i

iz

iImz

3ImzRez

i32i23izIm3z3

4

yx

D

BA

OC是 .

6.解析 因为(2i)(1i)(2)(2)iaaa的实部为0，所以20a，即2a．

题型156 与共轭复数、复数相等有关的问题

1.（2013山东理1）复数z满足

32i5z

（i

为虚数单位），则z的共轭复数z为（ ）.

A. 2i

B. 2i

C. 5i D. 5i

2. (2013安徽理1）设i

是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若i22zzz，则z（ ）.

A. 1i

B. 1i

C. 1i

D. 1i

3. (2013福建理1）已知复数z的共轭复数12iz（

ii

为虚数单位），则z在复平面内对应

的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4．（2013湖北理1）在复平面内，复数2i

1iz

（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于

（ ）.

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

5．（2013四川理2）如图，在复平面内，点A

表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是

（ ）

A.A

B.B

C.C D.D

6.(2013天津理9） 已知a

， b

R

， i

是虚数单位 若

i1iiab

， 则

iab ．

7.

（

2014

陕西理

8）原命题为“若

12,zz

互为共轭复数，则

12zz

”，关于逆命题，否命

题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）.

A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假

8.（2014 山东理 1）已知,abR，i是虚数单位，若ia与2ib互为共轭复数，则

2

iab（ ）.

4 A.54i B.54i C. 34i D.34i

9.（2014 江西理 1）z是z的共轭复数. 若2zz，

i2zz（i

为虚数单位），则z

（ ）.

A.1i

B.1i

C.1i

D. 1i

10.（2014 安徽理 1）设i是虚数单位，z

表示复数z的共轭复数.若1iz，则

i

iz

z（ ）.

A. 2

B. 2i C. 2

D. 2i

11.（2014 大纲理 1）设10i

3iz

，则z的共轭复数为（ ）.

A．13i B．13i C．13i D．13i

12.（2014 福建理 1） 复数

32iiz

的共轭复数z等于（ ）.

A.23i B.23i C.23i D. 23i

13．（2015广东理2）若复数

i32iz

（i

是虚数单位），则z

（ ）

A．23i B．23i C．32i D．32i

13. 解析 因为

i32i23iz

，所以23iz．故选A．

14．（2015湖北理1）i为虚数单位，607i的共轭复数

．．．．为（ ）．

A．i B．i C．1 D．1

14. 解析 依题意可得：6074151+332i=i=i=ii=i，故选A.

15.（2015全国二理2）若a

为实数，且

2i2i4iaa

，则a

（ ）．

A.1

B. 0 C.1

D. 2

15. 解析 由复数的运算律将左边直接展开可得.因为24(4)i4iaa

， 所以240,44aa

，解得0a.故选B.

16.(2015山东理2）若复数z满足i

1iz

，其中i

为虚数单位，则z( )

A．1i

B．1i C．1i D．1i

16. 解析 因为i

1iz

，所以

1ii=1+iz

，所以1iz

．故选A．

17．（2016山东理1）若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）.

A． B． C． D． z232izziz

12i12i12i12i

4 17．B 解析 设，则

，所以，即.故选B.

18．（2016天津理9）已知，是虚数单位，若，则的值为_______.

18．2 解析 ，则，所以，则.

19.（2107山东理2）已知aR，i

是虚数单位，若3iza

，4zz，则

a

（ ）.

A.1或1

B.7

或7

C.3

D.3

19. 解析 由3iza

，4zz，得234a，所以1a.故选A.

20．（2017浙江11）已知a

，bR，2

i34iab（i

是虚数单位），则

22ab ，ab .

20.解析 由222(i)2iababab

，2

i34iab，所以223,2abab

，

解得2,1ab，所以225ab，2ab．

2019年

21.（2019全国II理2）设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

21．C 解析：由32iz，知32iz，在复平面对应的点为(3,2)，在第三象限.

故选C.

22.（2019北京理1）已知复数12iz

，则zz

（A）3 （B）5 （C）3 （D）5

题型157 复数的模

1. (2013辽宁理1） 复数的1

i1z

的模为（ ）. i,(,)zababR

2()i2zzzzzaba

3i32iab1,2ab

12iz

,abRi1i1ibaa

b

1i1i11ibbba1

10ba

b



2

1a

b

2a

b

4

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高考数学 考试大纲解读 专题13 数系的扩充与复数的引入(含解析)文-人教版高三全册数学试题

高考数学 考试大纲解读 专题13 数系的扩充与复数的引入(含解析)文-人教版高三全册数学试题

word

13

数系的扩充与复数的引入 考纲原文

（十九）数系的扩充与复数的引入

1．复数的概念

（1）理解复数的基本概念.

（2）理解复数相等的充要条件.

（3）了解复数的代数表示法及其几何意义.

2．复数的四则运算

（1）会进行复数代数形式的四则运算.

（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

复数作为高考的必考内容，在2019年的高考中预计仍会以“一小（选择题或填空题）”的格局呈现.考查的方向可能以复数的基本概念、复数的四则运算为主要考点.

考向一 复数的几何意义

样题1 设i为虚数单位，若复数iz在复平面内对应的点为1,2，则z

A．2iB．2i

C．12iD．12i

【答案】B

【解析】由复数iz在复平面内对应的点为1,2，得12iiz，

即，故选B．

样题2 （2018文科）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于 word

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】的共轭复数为11i22，对应点为11,22，在第四象限.

故选D.

【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.

考向二 复数的四则运算

样题3（2018新课标I文科）设，则z

A．0B．12

C．1 D．2

【答案】C

【解析】i2ii，则1z.

故选C.

【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)：专题12 数系的扩充与复数的引入数学(文)

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2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（文）：专题12 数系的扩充与复数的引入数学（文）（解析版）

专题12 数系的扩充与复数的引入

1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz，则||z

A．2 B．3

C．2 D．1

【答案】C

【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z，再求||z即可．

【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i(12i)(12i)55z，所以2217()()||255z，故选C．

方法2：由题可得2222|3i|10||2|12i3(1|5)12z，故选C．

【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)ii(2z，则z

A．12i B．12i

C．12i D．12i

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据共轭复数的概念写出z即可．

【解析】由题可得2i(2i)2ii12iz，所以12iz，故选D．

【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．

3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2iz，则z

A．1i B．1i

C．1i D．1i

【答案】D

【解析】由题可得()(2i2i1i1i1i1i1i)()z．故选D．

【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．

4．【2019年高考北京卷文数】已知复数2iz，则zz

高考数学(文)复习 五年高考真题分类汇编 数系的扩充与复数的引入 (2019高考复习资料)

高考数学(文)复习 五年高考真题分类汇编 数系的扩充与复数的引入 (2019高考复习资料)

第十四章 数系的扩充与复数的引入

题型148 复数的概念及分类

2013年

1. (2013安徽文1）设i是虚数单位，若复数103iaaR是纯虚数，则a的值为（ ）.

A. 3 B. 1 C. 1 D. 3

2014年

1. （2014江苏2）已知复数252iz（i为虚数单位），则z的实部为 ．

2.（2014湖南文11）复数23ii（i为虚数单位）的实部等于

.

2015年

1. (2015北京文9)复数i1i的实部为 .

1. 解析 由题意可得2i1iii1i ，其实部为1.

2．（2015重庆文11）复数12ii的实部为________.

2. 解析 2(12i)i2i2i,实部为2．

2016年

1.（2016全国乙文2）设12iia的实部与虚部相等，其中a为实数，则a（ ）.

A.3 B.2 C.2 D.3

1.A 解析 由题意12ii221iaaa，故221aa，解得3a.故选A.

2.（2016江苏2）复数12i3iz，其中i为虚数单位，则z的实部是 .

2. 5解析 由复数乘法法则可得55iz，故z的实部是5.

3.（2016上海文2）设32iiz，其中i为虚数单位，则Imz .

3. 3分析 在部分教材中，Imz表示复数的虚部，Rez表示复数的实部.

解析 因为i32i23iz，故Im3z.

4.（2016天津文9）i是虚数单位，复数z满足(1i)2z，则z的实部为_______.

2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题12数系的扩充与复数的引入文(含解析)

2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题12数系的扩充与复数的引入文(含解析)

专题12 数系的扩充与复数的引入

1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设，则3i

12iz

||z

A．B

．2

3

C

．D．21

【答案】C

【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得，再求即可．z||z【解析】方法1：由题可得，所以

，故选C．(3i)(12i)17

i

(12i)(12i)55z



2217

()()||2

55z

方法2：由题可得，故选C．22

22|3i|10

||2

|12i3(1

|

5)

12z





【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模

的运算性质直接求解．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设，则)ii(2z

z

A．B．12i12i

C．D．12i12i

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念写出即可．zz

【解析】由题可得，所以，故选D．2

i(2i)2ii12iz

12iz

【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的

考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若，则(1i)2izz

A．B．1i1i

C．D．1i1i

【答案】D

【解析】由题可得．故选D．()

(2i2i1i

1i

1i1i1i)()z





【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．

4．【2019年高考北京卷文数】已知复数，则2izzz

A

．B

．35

C．D．35

【答案】D

【解析】因为，所以，所以，故选D．2

iz2iz(2i)(2i)5zz5．【2019年高考天津卷文数】是虚数单位，则的值为______________．i5

|i

i|

1

【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【答案】13