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高中数学函数最值问题的常见求解方法

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学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 一、配方法

例１：当01x时，求函数xxy4322的最大值和最小值．

解析：34)322(32xy，当01x时，1221x．显然由二次函数的性质可得1miny，34maxy．

二、判别式法

对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．

例２：已知0124422xxxyy，求y的最值．

解析：由已知，变形得0)1()12(2422yxyx，Rx，则0，即有

0)1(16)12(422yy故45y．

因此45maxy，无最小值．

例3：若x、Ry且满足：0222yxxyyx，则maxx=miny=

解析：由已知，变形得：0)()12(22xxyxy，Ry，则0，即有

0)(4)12(22xxx，于是018x，即 81x．即 81maxx．

同理，0)()12(22yyxyx，Rx，则0，即有

0)(4)12(22yyy，于是018y，即 81y．即 81miny．

注意：关于x、y的有交叉项的二元二次方程，通常用此法

例4：已知函数1134522xxxy，求y的最值．

解析：函数式变形为：0)1(34)5(2yyxy，Rx，由已知得05y，

0)1)(5(4)34(2yy，即：0762yy，即：71y．

因此7maxy，1miny．

例5：已知函数)(12Rxxbaxy的值域为]4,1[，求常数ba,

解析： 01222byaxyxbaxyyxxbaxy 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ ∵Rx∴0)(4)(2byya，即04422abyy

由题意：0430)4)(1(]4,1[2yyyyy0161242yy

所以124b，162a，即3b，4a

注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x的二次函数0),(yxF，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域或参数的值.形如22221121cxbxacxbxay(1a、2a不同时为0)，常用此法求得

例6：在20x条件下，求2)sin1()sin1(sinxxxy的最大值．

解析：设xtsin，因0(x，)2，故10t，则2)1()1(ttty

即0)12()1(2ytyty

因为10t，故01y，于是0)1(4)12(2yyy即81y

将81y代入方程得0[31t，]1，所以81maxy

注意：因0仅为方程0)12()1(2ytyty有实根0[t，]1的必要条件，因此，必须将81y代入方程中检验，看等号是否可取．

三、代换法

(一)局部换元法

例7：求函数422xpxy的最值．

解析：令42xt，则2t，函数tptxpxy4422

当8p时，424ptpty，当4pt时取等号

当8p时，令212tt，则)4()4(221121tpttptyy＝)(21tt 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ )(41221ttttp＝)41)((2121ttptt，因为212tt，8p，即有

0)41)((212121ttpttyy，所以tpty4在[2，)内递增．

故2242ppy

所以当8p时，42minpy，无最大值；

当8p时，2minpy，无最大值．

例8：求函数xxy21的最值．

解析：设xt21 (0t)，则由原式得11)1(212ty当且仅当1t即0x时取等号．故1maxy，无最小值．

例9：已知20a,求函数))(cos(sinaxaxy的最值．

解析：2)cos(sincossinaxxaxxy 令txxcossin

则22t且21cossin2txx，于是]1)[(2122aaty

当2t时，2122maxaay；当at时，)1(212minay．

注意：若函数含有xxcossin和xxcossin，可考虑用换元法解．

(二)三角代换法(有时也称参数方程法)

例10：已知x、yR，4122yx．求22yxyxu的最值．

解析：设costx，sinty，(t为参数)

因4122yx，故412t

)2sin211()sinsincos(cos2222ttu

故当42t且12sin时，6maxu；当12t且12sin时，21maxu．

例11：实数x、y适合：545422yxyx，设22yxS，则max1S+min1S=____ 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 解析：令cosSx，sinSy，则

5sincos54SS

2sin2545cossin545S

当12sin时，3102545maxy；当12sin时，13102545miny．

所以 58101310311minmaxSS．

例12：求函数xxay)(22 (ax||)的最值．

解析：令cosax，则cossincossin2322aaay

又令cossin2t，则222242cos2sinsin21cossint

274)3cos2sinsin(213222

932932t 即有33932932aya

所以3max932ay，3min932ay

注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等”

例13：已知x、yR且xyx62322，求yx的最值．

解析：化xyx62322为123)1(22yx，得参数方程为sin26cos1yx

)sin(2101sin26cos1yx

故2101)(maxyx，2101)(minyx．

(三)均值换元法

例14：已知1ba，求证：44ba的最小值为81． 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 解析：由于本题中a、b的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可以令ta21，tb21，(Rt)，则

222222222244)21()21(2])21()21[(2)(ttttbababa

2222)41(2)221(tt

)281()4241(4242tttt

81238142tt

∴44ba的最小值为81．在0t即21ba时取等号

四、三角函数有界法

对于Rx，总有1|sin|x，1|cos|x

例15：求函数xxy2cos22sin的最值．

解析：1)42sin(212cos2sincos22sin2xxxxxy

因为1|)42sin(|x，故

当1)42sin(x时，12maxy；当1)42sin(x时，12miny．

五、均值不等式法

例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．

解析：设三角形的三边长分别为a、b、c，面积为S，三角形内一点P到三边的距离分别为x、y、z

Sczbyax2(定值)3)3(czbyaxczbyax

即abcSxyz2783(czbyax时取等号)

因此，当此点为三角形的重心时(这时PAB、PBC、PAC面积相等)，它到三边之积为最大．

例17：有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

解析：依题意，矩形盒子底边长为)230(xcm，底边宽为)214(xcm，高为xcm．

盒子容积xxxxxxxV)7)(15(4)214)(230(＝ (显然：015x、07x、学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 0x)

设xbxbaxaabV)7)(15(40(a，)0b 要用均值不等式．则

xbxbaxaba71501 解得：41a，43b，3x．从而

576)43421)(4415(364xxxV

故矩形盒子的最大容积为576 3cm．

也可：令bxxaxaabV)7)(15(4或bxaxaxabV)7)(15(4

注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求．

例18：已知1sinsinsin222(、、均为锐角)，那么coscoscos的最大值等于__________

解析：因、、均为锐角，所以coscoscos222coscoscos

962)3sin1sin1sin1()3coscoscos(32223222

当且仅当31sinsinsin222时取等号，故coscoscos的最大值为962．

例19：求函数xbxay22cossin的最小值(a、bR)．

解析： xbxay22sinsinxxabbaxbbxaa2222cottan2tancot

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二次函数应用题最值解法技巧

二次函数应用题最值解法技巧

二次函数应用题最值解法技巧

求解二次函数的最值，是高中数学教学中常见的问题，也是学生学习，应对考试经常遇到的难题。下面介绍一般常用的求解二次函数最值的技巧：

一、求图像上最大最小值的步骤：

1、分析二次函数的几个重要关于最值的性质。首先，二次函数的最值总是取决于它的顶点，而顶点的横纵坐标即为二次函数的最值。

2、求得顶点的横纵坐标，可以采用求导法：二次函数y=ax2+bx+c的导数为y'=2ax+b，上下两个函数图像关于x轴对称，故用y'=0即可求得函数最大最小值点的横坐标值。

3、求得二次函数最值点的横坐标后，就可以替换到y=ax2+bx+c中，求出该点处函数的值，就是函数的最值。

二、求导法求解二次函数最值的注意事项：

1、求导时，需要用合适的表达式；

2、求导法仅适用于求确定数学函数的最大最小值，不能用来求未定义函数或参数函数的最大最小值；

3、求导时，需要判断函数在不同区域的极大值极小值情况，以及确定顶点的横纵坐标值。

以上内容是求解求解二次函数的最值的常用技巧，但是学生在复习时，还需要多积累二次函数求解最值的实际应用实例，熟悉不同情况下的求解步骤，加强对求解最值的熟练操作。

高中数学高频考点——函数最值、值域、恒成立问题知识点总结

高中数学高频考点——函数最值、值域、恒成立问题知识点总结

函数最值、值域、恒成立问题

一、函数最值定义

1.（1）一般地，设函数

yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：

xI，都有

fxM；

0xI，使得

0fxM。

就称M是函数

yfx的最大值。

（2）一般地，设函数

yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：

xI，都有

fxM；

0xI，使得

0fxM。

就称M是函数

yfx的最小值。

2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y值）的最大值和最小值。求函数的最

值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。

【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。

二、单调函数的最值

1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。

（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。

（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。

【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。

三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。

四、函数最值的求解方法

函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、

结合函数的单调性法等。

五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往

是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。

六、恒成立问题

假设

gx为已知函数，求

fa的取值范围，则有以下两种情况：

（1）

fagx恒成立

minfagx；（2）

fagx恒成立

maxfagx。

七、解的存在问题

假设

gx为已知函数，求

fa的取值范围，则有以下两种情况：

（1）

二次函数的最值问题与问题解决技巧

二次函数的最值问题与问题解决技巧

二次函数的最值问题与问题解决技巧

二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。解决这类问题需要一定的技巧和方法。本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。

一、二次函数的最值问题

最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。

1. 二次函数的开口方向

对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。

2. 顶点的横坐标和纵坐标

二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。

3. 最值问题的解答 根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。

二、解决二次函数最值问题的技巧

解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。

1. 图像法

通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。

2. 配方法

当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。

3. 导数法

通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。

高中三角函数三角函数的不等式与最值问题

高中三角函数三角函数的不等式与最值问题

高中三角函数三角函数的不等式与最值问题

在高中数学学习中，三角函数是一个重要的章节。除了学习三角函数的定义、性质和图像等基本知识外，我们还需要掌握三角函数的不等式和最值问题的解决方法。本文将为大家详细介绍高中三角函数的不等式与最值问题，并提供相应的解决思路和方法。

一、三角函数的不等式

1. 正弦函数的不等式

正弦函数的定义域为实数集，而正弦函数的值的范围在[-1, 1]之间。因此，当我们解决正弦函数的不等式时，可按照以下步骤进行：

（1）确定不等式的定义域；

（2）将不等式中的正弦函数转化为关于θ的等价不等式；

（3）根据正弦函数在不同区间上的增减性质，求解等价不等式，得到不等式的解集。

例如，解不等式sinθ > 0，我们可以按照上述步骤进行求解：

（1）由于正弦函数的定义域为实数集，故不等式的定义域为全体实数；

（2）将不等式sinθ > 0转化为等价不等式：0 < sinθ < 1；

（3）根据正弦函数在不同区间上的增减性质，我们可以得到不等式的解集为：θ ∈ (2kπ, 2kπ + π/2)，其中k ∈ Z。 2. 余弦函数的不等式

余弦函数的定义域为实数集，而余弦函数的值的范围在[-1, 1]之间。因此，当我们解决余弦函数的不等式时，可按照以下步骤进行：

（1）确定不等式的定义域；

（2）将不等式中的余弦函数转化为关于θ的等价不等式；

（3）根据余弦函数在不同区间上的增减性质，求解等价不等式，得到不等式的解集。

例如，解不等式cosθ ≥ 0，我们可以按照上述步骤进行求解：

（1）由于余弦函数的定义域为实数集，故不等式的定义域为全体实数；

（2）将不等式cosθ ≥ 0转化为等价不等式：cosθ > -1 或 cosθ < 1；

（3）根据余弦函数在不同区间上的增减性质，我们可以得到不等式的解集为：θ ∈ (-2kπ, -2kπ + π/2) U (2kπ, 2kπ + π)，其中k ∈ Z。