直线与方程测试题(含答案)

第三章 直线与方程测试题

一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分）

1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ）

A．y＝3x－6 B. y＝33x＋4 C . y＝33x－4 D. y＝33x＋2

2. 如果A(3, 1)、B(－2, k)、C(8, 11), 在同一直线上，那么k的值是（ ）。

A. －6 B. －7 C. －8 D. －9

3. 如果直线 x＋by＋9=0 经过直线 5x－6y－17=0与直线 4x＋3y＋2=0 的交点，那么b等于（ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 直线 (2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m=0的倾斜角是450, 则m的值为（ ）。

B. 3 C. －3 D. －2

5.两条直线023myx和0323)1(2myxm的位置关系是( )

A.平行 B.相交 C.重合 D.与m有关

*6．到直线2x+y+1=0的距离为55的点的集合是( )

A.直线2x+y－2=0 B.直线2x+y=0

C.直线2x+y=0或直线2x+y－2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0

7直线02byx与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b的取值范围是（ ）

Ａ．2,2 Ｂ．,22,

Ｃ．2,00,2 Ｄ．,

*8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，－1），则直线l的斜率是（ ）

A．－23 B．23 C．－32 D．32

9．两平行线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为213

13 ，则c＋2a 的值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2

10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（ ）

A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0

**11．点P到点A′（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于2

2 ，这样的点P共有 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

*12．若y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0）

有两个不同交点，则a的取值范围是 （ ）

A．0＜a＜1 B．a＞1

C．a＞0且a≠1 D．a＝1

二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13. 经过点(－2,－3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是 ；

或 。

*14. 直线方程为(3a＋2)x＋y＋8=0, 若直线不过第二象限，则a的取值范围是 。

15. 在直线03yx上求一点，使它到原点的距离和到直线023yx的距离相等，则此点的坐标为 .

*16. 若方程x2-xy-2y2+x+y =0表示的图形是 。

三．解答题（共6小题，共70分）

17．（12分）在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为：x－2y+1=0，∠A的平分线所在直线方程为：y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和C的坐标.

*18．已知直线（a－2）y＝（3a－1）x－1.

（1）求证：无论a为何值，直线总过第一象限；

（2）为使这条直线不过第二象限，求a的取值范围.

19．已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求yx 的最值.

20．已知点P（2，－1）.

（1）求过P点与原点距离为2的直线l的方程；

（2）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少

（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.

**21．已知集合A＝｛（x，y）｜y－3x－2 ＝a＋1｝，B＝｛（x，y）｜（a2－1）x＋（a－1）y＝15｝，求a为何值时，A∩B＝.

**22．有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进

出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，

不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x

（分）与水量y（升）之间的关系如图所示，若40分钟

后只放水不进水，求y与x的函数关系.

答案与提示

一．选择题 y

O x · · · · 10 20 30 40 30

20 A B ·

·

·

10 1—4 CDDB 5—8 BDCA 9—12 ADCB

提示：

1. 据直线的点斜式该直线的方程为y-(-3)=tan300(x-3),整理即得。

2. 由kAC=kBC=2得D

3. 直线 5x－6y－17=0与直线 4x＋3y＋2=0 的交点坐标为(1, －2), 代入直线x＋by＋9＝0，得b=5

4. 由题意知k=1,所以2m2－5m＋2m2-4=1,所以m=3或m=2（舍去）

5. 第一条直线的斜率为k1=-32，第二条直线的斜率为k2=m2+13>0所以k1≠k2.

6. 设此点坐标为（x,y）,则|2x+y+1| 22+12=55，整理即得。

7. 令x=0,得y=b2，令y=0,x=-b,所以所求三角形面积为12|b2||b|=14b2,且b≠0，14b2＜1，所以b2＜4，所以b∈2,00,2.

8. 由题意，可设直线l的方程为y＝k（x－1）－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M（2k ＋1，1），N（k－6k－1 ，－6k＋1k－1 ）.

又因为MN的中点是P（1，－1），所以由中点坐标公式得k＝－23 .

9. 由题意36 ＝－2a ≠－1c ，∴a＝－4，c≠－2.

则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2 ＝0.

由两平行线距离得213

13 ＝｜c2 ＋1｜13 ，得c＝2或c＝－6，

∴c＋2a ＝±1.

10.直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点为A（1，1），点（－1，0）关于x＝1的对称点为B（3，0）也在所求直线上，

∴所求直线方程为y－1＝－12 （x－1），

即x＋2y－3＝0，或所求直线与直线x－2y＋1＝0的斜率互为相反数，k＝－12 亦可得解.

11.由题意知 （x－1）2＋y2 ＝｜x＋1｜且2

2 ＝｜x－y｜2 ，

所以y2＝4x

｜x－y｜＝1 y2＝4x

x－y＝1 ①或y2＝4x

x－y＝－1 ②，

解得，①有两根，②有一根.

12..如图，要使y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0）有两个不同的交点，则a＞1.

二．填空题

13．x＋y＋5＝0或3x－2y=0 14．a≤－32 15．)51,53(或)51,53(

16．两条直线.

提示：

13.注意经过原点的直线在x轴、y轴上的截距均为零

14.直线在y轴上的截距为-8，直线不过第二象限，画图可知，直线的斜率为正或0，即

-（3a＋2）≥0，所以a≤－32。

15.设此点坐标（-3y0, y0）,由题意（-3y0）2+ y02=|-3y0+3 y0-2| 12+32，可得y0=±15

+x+y =（x+y）(x-2y)+(x+y)= （x+y）(x-2y+1)=0,所以表示两条直线x+y=0，x-2y+1=0.

三．解答题

17．解：由0012yyx ∴A（－1，0） ，又KAB=1)1(102，∵x轴为∠A的平分线，故KAC=－1，∴AC：y=－(x+1) ，∵BC边上的高的方程为：x－2y+1=0 ，∴KBC=－2 ∴BC：y－2=－2（x－1），即：2x+y－4=0 ，由01042yxyx ，解得C（5，－6）。

18.解：（1）将方程整理得

a（3x－y）＋（－x＋2y－1）＝0，对任意实数a，直线恒过3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交y y＝a｜x｜

y＝x－a

O x 点（15

，35 ），

∴直线系恒过第一象限内的定点（15 ，35 ），

即无论a为何值，直线总过第一象限.

（2）当a＝2时，直线为x＝15 ，不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为

y＝3a－1a－2 x－1a－2 ，不过第二象限的充要条件为

3a－1a－2 ＞0 1a－2 ≤0 a＞2，综上a≥2时直线不过第二象限.

19.思路点拨：本题可先作出函数y＝8－2x（2≤x≤3）的图象，

把yx 看成过点（x，y）和原点的直线的斜率进行求解.

解析：如图，设点P（x，y），因为x，y满足2x＋y＝8，

且2≤x≤3，所以点P（x，y）在线段AB上移动，并且A，B

两点的坐标分别是A（2，4），B（3，2）.

因为yx 的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝23 ，

所以yx 的最大值为2，最小值为23 .

20.解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，－1），可见，过P（2，－1）垂直于x轴的直线满足条件.

此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.

若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2），

即kx－y－2k－1＝0.

由已知，得｜－2k－1｜k2＋1 ＝2，解得k＝34 .

此时l的方程为2x－4y－10＝0.

综所，可得直线l的方程为x＝2或2x－4y－10＝0.

（2）作图可证过P点与原点O距离最大的佳绩是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k1kOP＝－1，所以k1＝1 kOP ＝2. y

O x · · · · 1 2 3 4 ·

·

· 4

3

2

1 A

P

B ·