2021年广西普通高中高考数学专题复习知识要点四

第 19 页 共 42 页 ⑴已知a1n－an＝f(n)的，用累加法。

⑵已知nnaa1＝f(n)的，用累积法。如a1＝1，an＝1nna1n(n≥2)。答：an＝12(n＋1)

⑶已知a1n=kan+b的，用构造等比数列法化为a1n+m=k(an+m)形式，其中m=1bk。

⑷形如11nnnaakab的递推数列，用倒数法求通项。如①已知1111,31nnnaaaa，求na（答：132nan）；②已知数列满足1a=1，11nnnnaaaa，求na（答：21nan）

㈢数列是一种特殊的函数：任一个n∈N*通过通项公式对应→an∈R，图像为一群孤立的点。因此，研究数列的单调性、最值、周期等问题，可以采用函数思想解决。

1、若a1n＞an，则数列{an}递增；若a1n＜an，则数列{an}递减。

2、若an≤a1n且an≤a1n则an为最小项；若an≥a1n且an≥a1n则an为最大项。

3、若akn=an(n,k∈N*)，则{an}为周期数列，k为周期。

二、等差数列与等比数列(对比复习)

等差数列 等比数列

定义 a1n-an=d(d为常数){an}是等差数列。 nnaa1=q(q为常数){an}是等比数列。[注意首项a1≠0，公比q≠0]。

通项公式 an=a1+(n-1)d

an=pn+q(p,q为常数){ an}是等差数列 an=a1q1n

an=mqn(m,q为非零常数){ an}是等比数列

等差中项 等差中项an=21(a1n+a1n)

an=21(akn+akn){an}是等差数列。 等比中项an2=a1na1n

an2=aknakn{an}是等比数列。

第 20 页 共 42 页 求和公式 Sn=na1+2)1(nnd=2)(1naan

Sn=An2+Bn(A,B为常数){an}是等差数列。 求和公式Sn＝{)1(,)1(1)1(1111q　　naq，　qqaqqaann。[使用时必须要考虑公比q是否等于1]。

性质 ①若{an}成等差，

则an=am+(n-m)d。 ①若{an}成等比，则an=am·qmn。

②[下标和相等则两项和相等] 若{an}成等差，

则当m+n=p+q时有an+am=ap+aq ②[下标和相等则两项积相等]若{an}成等比，则当m+n=p+q时有am·an=ap·aq

③[等距离抽出的若干项也等差] 若{an}成等差,则ak,amk,amk2,…,也成等差,公差为md。 ④[等距离抽出的若干项也等比] 若{an}成等比，则ak,amk,amk2,…,也成等比，公比为qm

④若{an}、{an}成等差，则{pan+qbn}也成等差,公差为pd1+qd2 ④若{an}、{bn}成等比，则{pan·qbn}也成等比，公比为q1·q2

⑤[连续m项和也成等差] 若{an}成等差，则Sm,Sm2-Sm,Sm3-Sm2,…,也成等差，公差为m2d ⑤[连续m项和也成等比] 若{an}成等比，则Sm,Sm2-Sm,Sm3-Sm2,…,当q≠－1时也成等比，公比为qm。(当q＝－1时不一定成等比)

⑥对等差数列{an}，项数为2n时S偶＝nd＋S奇，项数为2n－1时S奇＝an＋S偶 ⑥对等比数列{an}，项数为n2时，则S偶＝qS奇；项数为奇数21n时，S奇＝a1＋qS偶

补充说明：

1、关于等比中项的说明：

①由G=ab不能推出a,G,b成等比(ab=0时不是)，但a,G,b成等比G=±ab；

②当ab≤0时，a,b无等比中项；当ab＞0时，a,b的等比中项为±ab。

2、若{an}、{bn}成等比，则{an}、{1na}、{nnab}也成等比，公比分别为q、1q、12qq。 第 21 页 共 42 页 3、设元技巧：

①若是三数成等差数列则可设为a-d, a, a+d(此时公差为d)；若是四数成等差数列则可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d(此时公差为2d)。

②若是三数成等比数列则可设为qa,a, aq(此时公比为q)；若是四数成等比数列，则不能设为3qa,qa,aq, aq3(因为此时已默认公比q2＞0)，除非已知道公比大于0。

4、既是等差又是等比的数列是不为零的常数数列；常数数列一定是等差数列，但不一定是等比数列。

5、对于双条件题目，可以列方程组解决。

三、数列求和

1、分组求和法：用于若干个等差或等比的和的数列

2、裂项相消法：用于能把各项分裂成两项之差并能正负抵消的数列。常见拆项公式有：

①)1(1nn＝n1-11n；②1(21)(21)nn＝12(121n－121n)；③ba1＝baba；④Ｃ1mn＝Ｃmn1-Ｃmn； n·n!＝(n+1)!-n!；)!1(nn＝!1n-)!1(1n。

3、错位相减法：用于等比数列、等差×等比的积数列；(错位之前和式先乘等比部分的公式)

4、倒序相加法：用于等差数列、与二项式系数相关的数列；

5、并项求和法：用于各项当中能两两结合的数列。

专题十 三角函数与解三角形

一、角与三角函数的定义

㈠角的定义与分类

⒈按旋转方向分为：正角、零角、负角；

⒉按象限分为：第几象限角、终边在坐标轴上的角(轴线角)。

⒊与终边相同的角的集合{β|β=k·360°+,k∈Z}

㈡弧度与角度

⒈长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

⒉弧度与角度的换算：①π=180°；1 rad ＝(180)°≈57.3° ②n°=180n(弧度)。

⒊弧长公式：L=180nr=||r； 扇形面积公式：S=21Lr =360nr2=21||r2。

㈢三角函数的定义

⒈任意角的三角函数：设角终边上一点P(x,y)到原点的距离为r(r＞0)，则

sin=ry，cos=rx，tan=xy。三角函数值在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

⒉三角函数线：设角顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则P(cos,sin)，其中cos=OM，sin=MP。单位圆交x轴正半轴于A，其在A点处的切线与的终边(或其反第 22 页 共 42 页 向延长线)相交于点T，则tan=AT。有向线段OM、MP、AT分别叫做角的余弦线、正弦线、正切线。

二、同角关系式、诱导公式

1、同角关系式：sin2+cos2=1；tan=cossin(≠kπ+2)； cos2= 211tna

2、诱导公式记忆口决：奇变偶不变，符号看象限。

三角

函数 2kπ+ π- π+ 2π- - 2- 2+ 23- 23+

正弦 + + - - - + + -

-

余弦

+ - - + + + - - +

正切 + - + - - + - +

-

附：对于2k±的三角函数：“奇变偶不变”是指当k为奇时正余变，k为偶时不变；然后“符号看象限”是指“在的三角函数值前面”加上“视为锐角时原值”的符号。

3、与π+的终边关于原点对称；与-的终边关于x轴对称。

三、两角和与差公式、二倍角公式

1、两角和与差公式

⑴cos(＋β)=coscosβ－sinsinβ；cos(－β)=coscosβ＋sinsinβ。

⑵sin(＋β)=sincosβ＋cossinβ；sin(－β)=sincosβ－cossinβ。

⑶tan(＋β)= 1tanαtanβtanαtanβ；tan(－β)=1tanαtanβtanαtanβ。

附：tan(±β)变换：

①tan+tanβ=tan(+β)(1-tantanβ)；tan-tanβ=tan(-β)(1+tantanβ)。

②当+β= kπ+4时，(1+tan)(1+tanβ)=2。

2、辅助角公式：asinx＋bcosx＝22basin(x+)，

其中sin=22bab，cos=22baa，tan=ab。

3、二倍角公式

⑴sin2＝2sincos

⑵cos2＝cos2-sin2＝2cos2-1＝1-2sin2

⑶tan2＝221tanαtanα

公式变形：⑴cos2＝22cos1，sin2＝22cos1，tan2＝2cos12cos1。

⑵１＝sin2+cos2＝2cos2- cos2α＝cos2+2sin2＝tan4

⑶tan2＝cos1sin＝sincos1

四、三角函数的化简

1、三角函数化简题的要求是：项数最少，函数种类最少，分母不含三角函数，能求出值的一定要算出值来。

2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切化为弦、二倍公式降幂、高次化低次、异角化同角、异名化同名、用三角公式转化出现特殊角。 第 23 页 共 42 页 3、三角变换常用技巧：

①1的变换：1＝sin2+cos2＝tan·cot＝tan4＝2cos2-cos2＝…。

②sin±cos与sincos的关系式：(sin±cos)2＝1±2sincos；……

③尽量减少不同名的函数，如辅助角公式、化切为弦、化弦为切等(关于正余弦的齐次式可化为正切)。

④使用二倍角公式降次：cos2＝22cos1，sin2＝22cos1

⑤角变换技巧：=(+β)-β=β-(β-)；=21[(+β)+( -β)]；β=21[(+β)-( -β)]

4、知道求某些特殊角的三角函数值，如

sin15＝cos75＝624，sin75＝cos15＝624，sin18＝514，等等。

五、三角函数的图像和性质

1、五点作图法作y＝Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的简图：

设X=ωx+，由X=ωx+分别取0,2,π,23,2π，求出x,y的五组值，描点作图。

2、正弦、余弦、正切函数的图像和性质

函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

定义域 x∈R x∈R x≠kπ＋2

值域 y∈[-1,1] y∈[-1,1] y∈(-∞, +∞)

单调性

[+周期] [-2,2]↑,[2,23]↓ [-π,0]↑, [0,π]↓ (-2,2)↑

最值 x＝2kπ±2时y＝±1 x＝2kπ±π时y＝±1 无最值

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

对称性 关于(kπ,0)、x＝kπ＋2对称 关于(kπ＋2,0)、x＝kπ对称 关于(2k,0)对称

周期性 最小正周期为2π 最小正周期为2π 最小正周期为π

3、三角函数图象变换：可通过两种途径得到y＝Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图像