8-7第7讲 正弦定理和余弦定理
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1 第8章 第7讲 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于( )
A．3－3 B.2 C．2 D．3＋3
2．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．30°
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( )
A.14 B.34 C.24 D.23
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为( )
A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3
5．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
6．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝c＝6＋2且∠A＝75°，则b＝( )
A．2 B．4＋23 C．4－23 D.6－2
二、填空题
7．已知△ABC中，b＝3，c＝33，B＝30°，则a＝________.
8．在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.
9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若2b＝a＋c, 则∠B的范围是________．
10．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于________，AC的取值范围为________．
2 三、解答题
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a＝2，cosB＝35.
(1)若b＝4，求sinA的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
亲爱的同学请写上你的学习心得
3 第8章 第7讲 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．(2007·重庆)在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于( )
A．3－3 B.2 C．2 D．3＋3
[解析] 由ABsinC＝BCsinA得BC＝3－3. [答案] A
2．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．30°
[解析] cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－b2＋c2＋bc2bc＝－12.
∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，故选C. [答案] C
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( )
A.14 B.34 C.24 D.23
[解析] △ABC中，a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，
又c＝2a，∴b＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34. [答案] B
4．(2008·福建理，10)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为( )
A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3
[解析] ∵(a2＋c2－b2)tanB＝3ac， ∴a2＋c2－b22ac·tanB＝32，
即cosB·tanB＝sinB＝32. ∵0＜B＜π，∴角B的值为π3或2π3. [答案] D
5．(2009·福建)已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
[解析] 由S△ABC＝12BC·CA·sin∠ACB＝33，得sin∠ACB＝32，而△ABC为锐角三角形，所以∠ACB＝60°，故选B.
[答案] B 4 6．(2009·广东)已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝c＝6＋2且∠A＝75°，则b＝( )
A．2 B．4＋23 C．4－23 D.6－2
[解析] △ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos30°，∴b2＝2(6＋2)2－2(6＋2)2×32＝(2－3)(6＋2)2＝4(2＋3)(2－3)＝4，∴b＝2，故选A.
[答案] A
二、填空题
7．已知△ABC中，b＝3，c＝33，B＝30°，则a＝________.
[解析] sinC＝CsinBb＝32 ∵c>b ∴C>B∴C＝60°或C＝120°.
∴当C＝60°时，A＝90°，∴a＝bsinAsinB＝3×112＝6
当C＝120°时，A＝30° ∴a＝b＝3 故填a＝3或6. [答案] 3或6
8．(2010·北京，10)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.
[解析] ∵c2＝a2＋b2－2ab·cosC，∴(3)2＝a2＋12－2a·1·cos23π，
∴a2＋a－2＝0，∴(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.
[答案] 1
9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若2b＝a＋c, 则∠B的范围是________．
[解析] cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－a＋c222ac
＝3a2＋c2－2ac8ac≥4ac8ac＝12.又∵0 [答案] 0＜B≤π3 10．(2009·湖南)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于________，AC的取值范围为________． [解析] 由正弦定理得ACsin2A＝BCsinA，即AC2sinAcosA＝1sinA，∴ACcosA＝2. ∵△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜π2，0＜2A＜π2，0＜π－3A＜π2，解得π6＜A＜π6， 由AC＝2cosA得AC的取值范围为(2，3)． [答案] 2；(2，3) 5 三、解答题 11．(2009·广州一模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a＝2，cosB＝35. (1)若b＝4，求sinA的值； (2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值． [解] (1)∵cosB＝35＞0，且0＜B＜π ∴sinB＝1－cos2B＝45 由正弦定理asinA＝bsinB得sinA＝asinBb＝2×454＝25. (2)∵S△ABC＝4，即12acsinB＝4 ∴12×2×c×45＝4，∴c＝5 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB ∴b＝ 22＋52－2×2×5×35＝17. 12．(2009·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3. (1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值． [解析] (1)因为cosA2＝255，∴cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45， 又由AB→·AC→＝3，得bccosA＝3，∴bc＝5，∴S△ABC＝12bcsinA＝2. (2)对于bc＝5，又b＋c＝6，∴b＝5，c＝1或b＝1，c＝5， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，∴a＝25. 亲爱的同学请写上你的学习心得 6
