随机变量及其概率分布
随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，描述了随机事件的数值特征。概率分布则用于描述随机变量取值的概率情况。本文将介绍随机变量及其概率分布的基本概念和常见的概率分布模型。
一、随机变量的定义与分类
随机变量是对随机事件结果的数值化描述。随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
1. 离散型随机变量
离散型随机变量只能取有限个或可数个值，常用字母X表示。例如，抛掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，可能取1、2、3、4、5、6之一。
2. 连续型随机变量
连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，通常用字母Y表示。例如，测量某个物体长度的随机误差就可看作是一个连续型随机变量。
二、概率分布的概念与性质
概率分布描述了随机变量取值的概率情况。常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
1. 离散型概率分布 离散型概率分布描述了离散型随机变量取值的概率情况。离散型概率分布函数可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示。PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。离散型概率分布函数具有以下性质：①非负性，即概率大于等于0；②归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。
常见的离散型概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布等。
2. 连续型概率分布
连续型概率分布描述了连续型随机变量取值的概率情况。连续型概率分布函数可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来表示。PDF表示在随机变量取某个特定值附近的概率密度。连续型概率分布函数具有以下性质：①非负性；②积分为1。
常见的连续型概率分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、常见的1. 伯努利分布
伯努利分布描述了一次随机试验中两个互斥结果的概率情况，取值为0或1。其概率质量函数为：
P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，k=0或1
第1页（共21页）2022-2023学年高二下数学：随机变量及其分布一．选择题（共8小题）1．（2021春•河西区期中）已知随机变量的分布列如表：X012P0.2ab若E（X）＝1，则D（X）＝（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.62．（2021秋•徐州期中）某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X服从正态分布N（60，102），若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数为（）（附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．）A．12B．23C．46D．1593．（2021秋•孝感期中）在一次运动会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛中甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，已知比赛规则是3局2胜制，则乙获得冠军的概率为（）A．0.288B．0.352C．0.648D．0.2564．（2021秋•常州期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（）A．B．C．D．5．（2020春•鼓楼区校级期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是（）A．至少有1个深度贫困村B．有1个或2个深度贫困村C．有2个或3个深度贫困村D．恰有2个深度贫困村6．（2021春•邯郸期中）随机变量ξ的概率分布列为，k＝1，2，3，4，其中c是常数，则P（ξ≤2）的值为（）
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2.1 随机变量及其概率分布（2）
教学目标：
1．正确理解随机变量及其概率分布列的意义；
2．掌握某些较复杂的概率分布列．
教学重点：
求解随机变量的概率分布．
教学难点：
求解随机变量的概率分布．
教学方法：
问题链导学．
教学过程：
一、问题情境
1．随机变量及其概率分布的概念是什么？
2．求概率分布的一般步骤有哪些？
3．练习：
（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为X；
②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数为X；
③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和为X．
（2）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记01X两球全红＝两球非全红．求X的分布列． 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计
二、学生活动
1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为X；
②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数X；
③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和X．
2．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记01X两球全红＝两球非全红．求X的分布列．
三、数学应用
1．例题．
例1 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点数X的概率分布，并求X大于2小于5的概率P(2＜X＜5)．
思考 在例1中，求两颗骰子出现最小点数Y的概率分布．
例2 从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
令狐采学创作
令狐采学创作 习题1试说明随机试验应具有的三个特点．
令狐采学
习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.
1.2 随机事件的概率
1.3 古典概型与几何概型
1.4 条件概率
1.5 事件的独立性
复习总结与总习题解答
习题3. 证明下列等式：
习题5.
习题6.
习题7
习题8
习题9
习题10
习题11
习题12
习题13
习题14 令狐采学创作
令狐采学创作 习题15
习题16
习题17
习题18
习题19
习题20
习题21
习题22
习题23
习题24
习题25
习题26
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
习题1随机变量的特征是什么？
解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.
②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.
③随机变量取特定值的概率大小是确定的.
习题2试述随机变量的分类.
解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的令狐采学创作
令狐采学创作 可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.
习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.
解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：
X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3
则X取每个值的概率为
P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,
P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,
