大学物理2-1第四章(刚体力学)习题答案

习 题 四 4-1 一飞轮的半径为2m，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动。当重物下落时可使飞轮旋转起来。若重物下落的距离由方程2atx给出，

其中2sm0.2a。试求飞轮在t时刻的角速度和角加速度。

[解] 设重物的加速度为ta，t时刻飞轮的角速度和角加速度分别为和，则

atxa2dd22t 因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 Rat 则 2trad/s0.220.222RaRa 由题意知 t=0时刻飞轮的角速度00 所以 srad0.20ttt

4-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200minrad，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止转动。若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间?

[解] 分三个阶段进行分析

10 加速阶段。由题意知 111t 和 11212 得

22111211

t

20 匀速旋转阶段。 212t 30 制动阶段。331t 33212 22313213t 由题意知 100321 联立得到 210022312111ttt 所以 s1836020025602002660200210022t 因此转动的总时间 s19418356321tttt

4-3 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上。设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的

转速，使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B。(1)若测得这时齿轮的角速度为600sr，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?(2)齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大?

[解] (1) 齿轮由A转到B孔所需要的时间5103126005002t

所以光速 sm10310315002285TLc

(2)?齿轮边缘上一点的线速度 sm1088.1260010522Rv 齿轮边缘上一点的加速度 25222sm1010.71052600Ra

4-4 刚体上一点随刚体绕定轴转动。已知该点转过的距离s与时间t的关系为 2030

26tatas

。求证它的切向加速度每经过时间均匀增加0a。

[证明] 该点的切向加速度 0022tddddatatstva 所以 00000tτtaataataaa 因此，切向加速度每经过时间均匀增加0a 4-5 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b。中心O取为原点，坐标系如图所示。设薄板的质量为M，求证薄板对Ox轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为

2Ox12

1MbJ 2Oy12

1MaJ

22

Oz12

1baMJ

[解] 根据转动惯量的定义 mrJd2 对oxJ 取图示微元，有 mmbJ2oxd1212121mb 同理可得 2oy121maJ 对于 mymxmyxmrJddd)(d22222oz 22oxoy12112

1mbmaJJ

4-6 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大?

[解] 建立坐标系，取图示面积元 dddrrs，根据转动惯量的定义有

002222oxdd2sindRrrRmrmyJ

2002324

1ddsin2mRrrRmR







4-7 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示。求细棒对轴AA的转动惯量。 [解] 建立图示的坐标系，取图示ld线元，dddRlm， 根据转动惯量的定义式有

0222AAdsindRRmxJ

202221dsinmRmR







4-8 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量。 [解] 建立如图所示的坐标系，取一d的球带，d2drRs

它对y轴的转动惯量

d24dd222rRRmrmrI

又 cosRr xyr0

drrd

ydm-RROx

dmzO

aybx所以 dcos2d32mRI 2223232dcos2dmRmRII







此即空心球壳对直径轴的转动惯量。

4-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为1m和2m的物体，且1m>2m。设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。

[解] 物体21,mm及滑轮M受力如图所示

对amTgmm1111: (1) 对amgmTm2222: (2) 对JrTrTM21: (3) 又 2/2MrJ (4) ra

(5)

11TT (6)

22TT (7)

联立（1）-（7）式，解得

2/)(2121Mmmgmma

gmMmmMmT121212/2/2

MR

2m1m

2m2Tgm2

NgM2T1T

1m

1T

gm1gmMmmMmT221122/2/2 4-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮(如图)，其质量和半径分别为m=2kg、r=0.05m，M=8kg、R=0.10m。两鼓轮可看成是质量均匀分布的

圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计。当绳端各受拉力1T=1 kg，2T=2kg时，求鼓轮的角加速度。 [解] 根据转动定律，取顺时针方向为正

JRTrT

21 (1)

2/2/22MRmrJ (2)

联立(1)，(2)式可得

22221

rad/s6.3422

MRmr

RTrT

4-11 质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对圆盘匀角速走动，如果人在圆盘上走了一周回到了原位置，那么转盘相对地面转了多少角度?

[解一] 取m和M组成的系统为研究对象，系统对固定的转轴角动量守恒。设人相对圆盘的速度为v，圆盘的角速度为，设人转动方向为正方向，则

0)(Jrvmr (1)

而 2/2MRJ (2) 联立（1）、（2）式可得

222/mrMRmvr



人在转盘上走一周所用的时间vrt/2 转盘转过的角度为

22/222mrMRmrt

负号表示方向与正方向相反。

[解二] 由角动量守恒定律可解（见上）

vmMRmr22)2(

又因为 tsvtdd,dd 所以rs2代入即可 22/222mrMRmr

4-12 如图所示，一质量为m的圆盘形工件套装在一根可转动的轴上，它们的中心线相互重合。圆盘形工件的内、外直径分别为1D和2D。该工件在外力矩作用下获得角速度0，这时撤掉外力矩，工件在轴所受的阻力矩作用下最后停止转动，其间经历了时间t。试求轴处所受到的平均阻力f[轴的转动惯量略而不计，圆盘形工件绕其中心轴的转动惯量为222181DDm]。

[解] 根据角动量定理 12IItM

21DfM

222

18

1DDmI

联立上述三式得到 tDDDmf)4(122210

4-13 一砂轮直径为1m，质量为50kg，以900minr的转速转动，一工件以200 N的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在11.8s内停止转动。求砂轮与工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为221mR，其中，m和R分别为砂轮的质量和半径)。

[解] 根据角动量定理， 12IIMt NRM 22

1

mRI

02

联立上述四式得到 5.08.112002602900215020NtmR 4-14 以20mN的恒力矩作用于有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速由零增大到100minr。此时撤去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用，又经100s而停止，试求转轮的转动惯量。