【必考题】高考数学试题(含答案)

【必考题】高考数学试题(含答案)

一、选择题

1．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）

A ．①③④

B ．②④

C ．②③④

D ．①②③

2．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A ．甲、乙、丙

B ．乙、甲、丙

C ．丙、乙、甲

D ．甲、丙、乙

3．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在

[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

4．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）

ξ

0 1 2

P

12

p

- 12

2

p

A ．()D ξ减小

B ．()D ξ增大

C ．()

D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小

5．已知()3

sin 30,601505

αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A 310

B ．310

C 433

- D 343

-

6．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角

B ．假设至少有两个钝角

C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角

D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

7．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）

A ．11

23AB AD - B ．11

42AB AD + C ．

1132

AB DA + D ．

12

23

AB AD -. 8．5

22x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中4x 的系数为

A ．10

B ．20

C ．40

D ．80

9．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）

A ．158

B ．162

C ．182

D ．324

10．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫

⎪+⋅= ⎪

⎝⎭

且1

2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形

B ．等腰直角三角形

C ．等边三角形

D ．以上均有可能

11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，

()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3

2

BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）

A ．

12

B ．

12

2

± C ．

110

2

± D ．

322

2

± 12．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ） A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0 D ．是增函数，有最大值0

二、填空题

13．若双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程

是___________.

14．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则

sin sin sin a b c

A B C

________．

15．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 16．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．

17．若45100a b ==，则122()a b

+=_____________． 18．如图，已知P 是半径为2，圆心角为

3

π

的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．

19．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ . 20．34

3

31654

+log log 8145

-⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

________.

三、解答题

21．已知直线352:{

1

32

x t

l y t

=+

=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.

（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点

的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.

22．已知向量()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()sin 3,1c x =-，

()1,d k =(),x R k R ∈∈

（1）若,22x ππ⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣

⎦，且()

//a b c +，求x 的值. （2）若函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小值.

（3）是否存在实数k ，使得()()

a d

b

c +⊥+？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.

23．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,

3

AC BC B C ACB π

==∠=

（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值. 24．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫

<<⎨⎬⎩⎭

，求不等式22510ax x a -+->的解集．

25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每

12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；