苏科版八年级上册数学 3.3 勾股定理的简单应用 同步练习

苏科版八年级上册第三章《勾股定理》单元专题培优训练卷一．选择题1．下列各组数中，不是勾股数的一组是（）A．3，4，5B．4，5，6C．6，8，10D．5，12，132．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（）A．3B．12C．9D．43．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c．下列条件中；不能说明△ABC 是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．a2＝b2+c2C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝3：4：54．如图，∠C＝90o，AB＝12，BC＝3，CD＝4，若∠ABD＝90°，则AD的长为（）A．8B．10C．13D．155．如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（）A．5米B．8米C．9米D．256．若a、b、c是△ABC三条边的长，且满足a2﹣2ab+b2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．锐角三角形7．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（）A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24 8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③二．填空题9．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是．10．在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝46°，则∠B＝°．11．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．12．如图，是一个直角三角形以三边为边长向外作三个正方形，则字母A所代表的正方形的面积为．13．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝12，BC＝5，则CD ＝．14．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要m．15．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．设这个水池深x尺，则根据题意，可列方程为．16．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，若AB＝10，EF＝2，则AH＝．三．解答题17．某中学校园有一块四边形草坪ABCD（加图所示），测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求这块四边形草坪的面积．18．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求证AC⊥CD．19．八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米；（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；（3）牵线放风筝的小明身高1.68米．求风筝的高度CE．20．三水九道谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，经过10秒后游船移动到点D的位置，此时BD＝6m，问工作人员拉绳子的速度是多少？21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．22．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；（2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理．参考答案一．选择题1．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项错误；B、42+52≠62，不是勾股数，此选项正确；C、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；D、52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项错误．故选：B．2．解：如图，由题意可得：AB＝4，AC＝5，∵AC2＝AB2+BC2，∴BC2＝25﹣16＝9，∴S＝9，故选：C．3．解：A、∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ABC不为直角三角形，故此选项符合题意；B、∵a2＝b2+c2，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；D、∵a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．4．解：在Rt△BCD中，∠C＝90o，由勾股定理得：BD＝，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，由勾股定理得：AD＝，故选：C．5．解：设大树高约有x米，由勾股定理得：（x﹣3）2＝32+42，解得：x＝8，答：大树高约8米．故选：B．6．解：∵a2﹣2ab+b2+|a2+b2﹣c2|＝0，即（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴（a﹣b）2＝0，且|a2+b2﹣c2|＝0，∴（a﹣b）2＝0，且a2+b2＝c2，∴a＝b，且△ABC是直角三角形，∴△ABC是等腰直角三角形，故选：B．7．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13（cm），故h＝24﹣13＝11（cm）．故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．故选：C．8．解：由题意知，由①﹣②得2xy＝45 ③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴x+y＝．∴结论①②③正确，④错误．故选：C．二．填空题9．解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．10．解：∵∠C＝90°，∠A＝46°，∴∠B＝90°﹣46°＝44°，故答案为：44．11．解：在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，∴，故答案为：13．12．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故答案是：64．13．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：AB＝，由S△ABC＝得：∴5×12＝13×CD，∴CD＝．故答案为：．14．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故答案为：17．15．解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，（x+1）2＝x2+25，故答案为：（x+1）2＝x2+25．16．解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，AH＝DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故答案为：6．三．解答题17．解：连接AC，如图：∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，∴AC＝25（m）．又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝•AB•BC+•AD•DC＝×24×7+×20×15＝234（m2）．答：这块四边形草坪的面积是234m2．18．证明：∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB＝3，BC＝4，∴根据勾股定理得：AC＝＝5，又∵CD＝12，AD＝13，∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，即AC⊥CD．19．解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝652﹣252＝3600，所以，CD＝±60（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝60+1.68＝61.68（米），答：风筝的高度CE为61.68米．20．解：由题意得：∠B＝90°，∵BC＝8m，BD＝6m，∴CD＝＝＝10m，∵AC＝17m，∴绳子移动了AC﹣DC＝17﹣10＝7（m），用时10秒，∴工作人员拉绳子的速度是7÷10＝0.7米/秒．21．解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝800米，AC＝600米，所以，根据勾股定理有AB＝＝1000（米）．因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC所以CD＝＝＝480（米）．由于400米＜480米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．22．解：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2；（2）图1的面积为：S1＝，图2的面积为S2＝，∵图1、图2的面积相等，∴＝，∴a2+b2＝c2．。

3.3 勾股定理的简单应用【学习目标】1．会运用勾股定理解决实际问题；2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理的思考和表达能力，体会数学的应用价值。

【预习研问】1．一架梯子的长度为25(1)这个梯子顶端离地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4个人或小组的预习未解决问题【课内解问】1．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？ （ ）A ． 100B ． 180C ． 220D ． 2602．如图1，在直角三角形中，∠C ＝，AC=3，将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（ ）Ａ、 Ｂ、３ Ｃ、９ Ｄ、６3．已知三角形ABC 中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为 三角形， 为最大角，最大角等于 度。

4．如图2，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。

【课后答问】1.如图1，点E 在正方形ABC D 内，满足，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．80 2.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面o903ππππ90AEB ∠=︒486076刚好相齐,则河水的深度为( )A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m.3.一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

第3题图4．在一棵树的10米高处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边。

另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________________米。

第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，等边△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，则顶点C的坐标为（）A. B. C. D.2、如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径，两弧在的内部交于点，作射线，若，则两点之间距离为（）A.10B.12C.13D.3、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm4、如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（）A. B. C. D.5、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A.13B.12C.11D.106、如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（）A. B. C. D.7、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A.4mB.5mC.6mD.8m8、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A.y=  B.y=C.y=D.y=9、以下列线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=6B.a=1，b= ，c=C.a=5，b=6，c=8 D.a= ，b=2，c=10、若为△ABC的三边，且，则△ABC的形状不可能是（）．A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形11、如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A. B. C. D.12、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形13、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.414、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A.3cmB.6cmC.3 cmD.6 cm15、底面周长为12cm，高为8cm的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）cm．A.10B.8C.5D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为________．17、如图，为直角三角形，其中，则的长为________。

专题08 勾股定理的简单应用1．（2020·东海晶都双语学校八年级期中）如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．【答案】2【解析】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，∵筷子在圆柱里面的最大长度cm，∵筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，故答案为2．2．（2019·江苏惠山区·阳山中学）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行A．8米B．10米C．12米D．14米【答案】B【解析】如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE∵AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∵EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米，在Rt∵AEC中，（米）．故选B．3．（2019·江苏东台市实验中学八年级期中）如图，从电线杆离地面5 m 处向地面拉一条长13 m 的固定缆绳，这条缆绳的固定点距离电线杆底部有_____m.【答案】12【解析】解：如图示：∵电线杆、地面及缆绳正好构成直角三角形，AC=5m ，BC=13m ，∵12AB （m ）故答案为12．4．（2019·盐城市大丰区实验初级中学八年级期中）如图,台风过后某中学的旗杆在B 处断裂,旗杆顶部A 落在离旗杆底部C 点6米处,已知旗杆总长15米,则旗杆是在距底部________米处断裂.【答案】6.3【解析】设BC=x 米，由题意得AC=6米，AB=()15x -米，在Rt∵ABC 中，222BC +AC =AB ,即()222+6=15-x x 解得=6.3x故答案为6.35．（2019·江苏无锡市·八年级期中）如图，在一个高为5m ，长为13m 的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______．【答案】17米【解析】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC，在直角∵ABC中，已知AB=13米，BC=5米，且AB为斜边，则根据勾股定理=12（米），故地毯长度为AC+BC=12+5=17（米）.故答案为17米6．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）如图：5米长的滑梯AB开始时B点距墙面水平距离3米，当B向后移动1米，A点也随着向下滑一段距离，求A下滑的距离．【答案】1米【解析】由题意可得：AB=5m，BO=3m，故（m），∵当B向后移动1米，∵OB′=4m，（m），则AA′=1m，答：A下滑的距离为1m．7．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB ．【答案】风筝距离地面的高度AB 为12米．【解析】由题意得：ABC 是直角三角形，90ABC ∠=︒，5BC =米设AB x =，则1AC x =+在Rt ABC 中，由勾股定理得：222AB BC AC +=，即2225(1)x x +=+解得12x =（米）答：风筝距离地面的高度AB 为12米．8．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?【答案】竹子折断处离地面91 20尺【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，解得：9120 x=答：竹子折断处离地面9120尺．考点二、最短路径问题1．（2020·泰兴市洋思中学八年级期中）如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．8C．10D．12【答案】C【解析】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为12cm，则BC=112=62⨯cm．又因为AC=8cm，所以：10AB cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．故选：C．2．（2019·江苏宜兴市·八年级期中）如图，长方体的长为4cm，宽为2cm，高为5cm，若用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线的长度最短为__________cm.【答案】13【解析】解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′=4+2+4+2=12（cm），A′B′=5cm，根据两点之间线段最短，=13cm．∵所用细线最短需要13cm．故答案为13.考点三、航海、选址等问题1．（2019·江苏滨海县·八年级期中）如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点C处用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了______米（BD的长）（假设绳子是直的）．【答案】9【解析】在Rt∵ABC 中：∵∵CAB=90°，BC=17米，AC=8米，∵15AB =（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，∵171710CD =-⨯=（米），∵6AD =（米），∵1569BD AB AD =-=-=（米），答：船向岸边移动了9米．故答案为：9．2．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）如图，一艘轮船从小岛A 处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达B 处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达C 处继续执行任务，然后以相同的速度直接从C 处返回A 处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）【答案】1小时【解析】=20 1.5=30AB ⨯（海里），=202=40BC ⨯（海里），再Rt∵ABC 中，∵ABC=90°，由勾股定理得：50AC =（海里），∵返回所用时间为：50=2.520小时， 出去所用时间为：2+1.5=3.5小时，∵则返回时比出去时节省的时间为：3.5 2.51-=小时．答：返回时比出去时节省了1小时．3．（2019·江苏常州市·八年级期中）中日钓鱼岛争端持续，我国海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度.如图，OA OB ⊥，45OA =海里，15OB =海里，钓鱼岛位于O 点，我国海监船在点B 处发现有一不明国籍的渔船自A 点出发沿着AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O ，我国海监船立即从B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船.（1）请用直尺和圆规作出C 处的位置.（不写作法，保留作图痕迹）（2）求我国海监船行驶的航程BC 的长.【答案】(1)见解析(2)25海里【解析】解：(1)作AB 的垂直平分线与OA 交于点C ；(2)连接BC ，设BC 为x 海里，则CA 也为x 海里，OC 为()45x -海里∵∵O=90°，∵在Rt OBC ∆中,222BO OC BC +=，即：2221545x x +-=（），解得：25x =，答：我国渔政船行驶的航程BC 的长为25海里.4．（2019·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级期中）如图所示，一艘快艇和一艘渔政船分别从B 处出发执行任务.快艇沿北偏东60°方向以每小时40海里的速度向M 岛前进，渔政船沿南偏东30°方向以每小时30海里的速度向P 岛前进，半小时后到达各自目的地，则M 岛与P 岛之间的距离是多少？【答案】25海里【解析】由题意可得：BM=12×40=20(海里)，BP=12×30=15(海里)，∵∵MPB=180°-60°-30°=90°,∵MBP为直角三角形，海里).∵M岛与P岛之间的距离是25海里.考点四、其它应用1．（2019·江苏惠山区·阳山中学）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．【答案】8【解析】解：由题意得，斜边长米，则少走(6+8-10)×2=8步路，故答案为8.2．（2019·盐城市明达初级中学）如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地面距离AB＝2.6米，当人体进入感应器的1.5m及1.5m以内感应范围内时，感应门就会自动打开．小明（CD）身高1.7米缓慢走向感应门，求他走到离感应门多远距离时，门刚好．．自动打开？【答案】1.2米【解析】假设人走到图中C 处时门刚好自动打开，根据题意得出 1.5, 1.7AD m EB DC m ===，2.6, 1.7AB m EB m ==，0.9AE AB EB m ∴=-=，DE AB ∵⊥，90AEB ∴∠=︒，1.2DE m ∴，1.2CB DE m ∴==，∵他走到离感应门1.2米时，门刚好．．自动打开． 3．（2020·江苏射阳县·八年级期中）如图，长为24cm 的橡皮筋放置在数轴上，固定A 和B ，然后把中点C 沿与AB 垂直方向向上拉升5cm 至D 点，求橡皮筋被拉长了多少？【答案】2cm ．【解析】 C 是AB 的中点，112cm 2AC BC AB ∴===， CD AB ⊥13cm AD ∴13cm BD =26cm AD BD ∴+=∴橡皮筋被拉长了：26-24=2cm答：橡皮筋被拉长了2cm ．4．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ∵AB 于A ，CB ∵AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？【答案】E 点应建在距A 站10千米处．【解析】解：设AE ＝xkm ，∵C 、D 两村到E 站的距离相等，∵DE ＝CE ，即DE 2＝CE 2，由勾股定理，得152+x 2＝102+（25﹣x ）2，x ＝10．故：E 点应建在距A 站10千米处．5．（2019·江苏东海县·八年级期中）在甲村至乙村的公路上有一块山地正在开发，现有一C 处需要爆破．已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA CB ⊥，如图所示为了安全起见，爆破点C 周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否因为有危险而需要暂时封锁？请说明理由．【答案】公路AB 段需要暂时封锁．理由见解析.【解析】公路AB 段需要暂时封锁．理由如下：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．因为400BC =米，300AC =米，90ACB ∠=︒，所以由勾股定理知222AB BC AC =+，即500AB =米． 因为1122ABCS AB CD BC AC =⋅=⋅， 所以400300240500BC AC CD AB ⋅⨯===（米）． 由于240米＜250米，故有危险，因此公路AB 段需要暂时封锁．1．（2019·江苏惠山区·八年级期中）如图，∵ABC 中，∵ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，将∵ACD 沿CD 翻折得到∵ECD ，连接AE ，BE ，则线段BE 的长等于（ ）A ．75B ．32 C ．53D ．2 【答案】A【解析】如图延CD 交AE 与点H ，作AF AB ⊥，垂足为F ．∵在Rt ABC △中，43AC BC ==，，5AB ∴=．∵D 为AB 的中点，∵AD=BD=DC ． ∵1122AC BC AB CF ⋅=⋅，1134522CF ∴⨯⨯=⨯⨯， 解得125CF =．由翻折的性质可知AC=CE ，AD=DE ，CH AE AH HE ∴⊥=，．1122DC DB BD CF DC HE =⋅=⋅，，125HE CF ∴==． 245AE ∴=． ∵AD DE DB ==，∵ABE △ 为直角三角形．75BE ∴=． 故选A ．2．（2019·江苏江都区·八年级期中）如图，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n ＋2与第n 条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）A．0B C D ．1【答案】B【解析】 根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图：从图中发现，发现周期为6条棱÷=……2,20186336即黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长,由勾股定理得：D1 B1==故选B3．（2020·江苏新北区·）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∵x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故选：B．4．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长为h cm, 则h的取值范围是__________.【答案】11cm≤h≤12cm．【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB=13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故答案为11cm≤h≤12cm．5．（2019·江苏东台市·八年级期中）如图，∵ABC中，∵C=90°，AC=3，AB=5，点D是边BC上一点．若沿AD将∵ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD=_______________．【答案】2.5【解析】∵AC＝3，AB＝5，∵BC，设BD=x，则CD=4﹣x，∵ED=4﹣x，∵AE=AC=3，∵BE=2，∵BE2+DE2=BD2，∵22+（4﹣x）2=x2，解得x=2.5，∵BD=2.5.故答案为2.5.6．（2019·宜兴市桃溪中学八年级期中）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．【答案】；13或【解析】把立体图展开可得∵根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；∵根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，∵同∵的方式，得到两直角边分别为11和67．（2020·江苏淮安区·）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．【解析】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD∵AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∵AC2＋BC2＝AB2．∵∵ABC是直角三角形．∵AC•BC＝CD•AB∵CD＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∵海港C受到台风影响．（2）当EC ＝250km ，FC ＝250km 时，正好影响C 港口，∵ED 70（km ）∵EF ＝140km∵台风的速度为20km/h ，∵140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．8．（2020·江苏盐城市·）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．【答案】2.2米【解析】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．在Rt ∵A BD '中，90A DB ∠'=︒，2A D '=米，222BD A D A B +'='，222 6.25BD ∴+=，2 2.25BD ∴=，0BD >，1.5BD ∴=米，0.7 1.5 2.2CD BC BD ∴=+=+=米，答：小巷的宽度为2.2米．9．（2019·无锡市玉祁初级中学八年级期中）如图，∵AOB ＝90°，OA ＝36cm ，OB ＝12cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？【答案】如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是20cm ．【解析】∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC ＝AC ，设AC ＝x ，则OC ＝36﹣x ，∵由勾股定理可知OB 2+OC 2＝BC 2，又∵OA ＝36，OB ＝12，∵122+（36﹣x ）2＝x 2，解方程得出：x ＝20．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是20cm ．10．（2019·江苏江都区·八年级期中）A ，B 两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE ＝200米，BF ＝70米，它们的水平距离EF ＝390米．现欲在公路旁建一个超市P ，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？【答案】超市应建在距离E 处150米的位置.【解析】解：设EP x =米，则390PF x =-（）米,由题意得：222220070390x x +=+-（）解得：150x =.故：超市应建在距离E 处150米的位置.11．（2019·江苏惠山区·八年级期中）如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m （踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B 位置时，点B 离地面垂直高度BC 为1m ，离秋千支柱AD 的水平距离BE 为1.5m （不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD 的高.【答案】秋千支柱AD 的高为3m.【解析】解：设AD ＝x m ，则由题意可得AB ＝(x －0.5)m ，AE ＝(x －1)m ，在Rt∵ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，解得x＝3．即秋千支柱AD的高为3m．12．（2019·无锡市钱桥中学八年级期中）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？【答案】（1）20s；（2）可以通行．【解析】（1）∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC∵BD，∵Rt∵ACB中，40，Rt∵ACD中，40=，∵BD=80，∵80÷4=20（s），∵受影响时间为20s；（2）∵20＜25，∵可以通行．13．（2020·无锡市大桥实验学校八年级期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m 的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C ，那么所用细线最短需要______m ；（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm ，114,AA cm =假设昆虫甲从盒内顶点1C 以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲?【答案】（1（2（3）昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲 【解析】（1（2（3）设昆虫甲从顶点1C 沿棱1C C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A→E→F ，爬行捕捉到昆虫甲需x 秒钟，如图1在Rt∵ACF 中，222(2)12(142)x x =+-∵x>0，解得：85.14x = 答：昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲．。