碰撞振动系统Lyapunov指数谱的计算

关于Lyapunov指数计算方法的比较
张海龙;闵富红;王恩荣
【期刊名称】《南京师范大学学报（工程技术版）》
【年(卷),期】2012(012)001
【摘要】针对常用的几种Lyapunov指数数值计算方法,即定义法、正交法、wolf 法和小数据量法,以典型的Lorenz系统为例,分别计算Lorenz混沌吸引子的Lyapunov指数谱或者最大Lyapunov指数,比较各种方法的计算精度、计算复杂度,并且对含噪声的混沌时间序列给出Lyapunov指数计算结果,比较各种抗干扰能力.给出了不同计算方法的性能差异、适用场合和选择依据.
【总页数】5页(P5-9)
【作者】张海龙;闵富红;王恩荣
【作者单位】南京师范大学电气与自动化工程学院,江苏南京210042;南京师范大学电气与自动化工程学院,江苏南京210042;南京师范大学电气与自动化工程学院,江苏南京210042
【正文语种】中文
【中图分类】O415
【相关文献】
1.分段线性齿轮系统的Lyapunov指数计算方法 [J], 杨建军;李晋;邓效忠;方宗德
2.带约束多体系统Lyapunov指数的数值计算方法 [J], 付士慧;王琪
3.非光滑动力系统Lyapunov指数谱的计算方法 [J], 金俐;陆启韶
4.一类基于奇异值分解的Lyapunov指数计算方法 [J], 张晓丹;李志萍;张丽丽
5.极限图形映射中Lyapunov指数计算方法浅析 [J], 金媛媛
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lyapunov方程的求解
听说Lyapunov方程了吗？就是那个让一堆数学大师头疼的东西。

不过别担心，咱们就用大白话聊聊。

说简单点，Lyapunov方程就像是给系统稳定性拍了个“X光”，能看出系统内部的问题。

你想想看，要是你的自行车轮子不稳，骑
起来就得摇摇晃晃，对吧？这就是因为稳定性没搞好。

而Lyapunov
方程就是帮我们找到那个能让系统稳如泰山的“魔法公式”。

话说回来，求解Lyapunov方程可不是件轻松的事儿。

你得有点
数学功底，还得有点耐心和毅力。

有时候，解这个方程就像是解一
个复杂的拼图游戏，得把各个碎片拼在一起，才能看到完整的图画。

不过，好消息是，现在有了电脑和数学软件，求解Lyapunov方
程变得容易多了。

就像是你有了一个超级助手，帮你处理那些繁琐
的计算和推理。

这样一来，你就能更快地找到答案，也不用那么头
疼了。

所以啊，虽然Lyapunov方程听起来有点吓人，但只要咱们用对
方法，就能轻松搞定它。

就像是你面对一个看似复杂的问题，只要找到了解决方法，就能迎刃而解。

这就是数学的魅力所在！。

n维离散系统李雅普诺夫指数
在数学和动力系统理论中，n维离散系统的李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是一种描述系统稳定性和混沌性质的重要指标。

它衡量了在系统的相空间中初始条件微小变化的指数增长率。

对于一个n维离散系统，设其状态变量为x=[x1, x2, ..., xn]，时间步长为τ。

考虑一个由初始条件x0引起的微小扰动，用δx 表示，表示初始条件发生微小变化后得到的新状态变量。

通过迭代系统的动力学方程，可以得到δx的演化方程：
δx(t+τ) ≈ J(t) δx(t)
其中，J(t)表示系统在时间t处的雅可比矩阵，其定义为系统状态变量对于时间的导数。

李雅普诺夫指数λ定义为：λ = lim (1/t)log‖J(t)δx(0)‖
其中，t趋近于无穷大，‖‖表示向量的模。

李雅普诺夫指数的值可以为正、负或零，分别表示系统的指数增长、指数衰减或者不变。

n维离散系统的李雅普诺夫指数对于系统的稳定性和混沌性有着重要的意义。

当所有的李雅普诺夫指数都为负时，系统是稳定的；当至少一个李雅普诺夫指数为正时，系统是混沌的；而当所有的李雅普诺夫指数为零时，系统是边界稳定的或周期性的。

通过计算和分析系统的李雅普诺夫指数，可以揭示系统的
动力学性质，例如系统的稳定性、周期性还是混沌性质，并对系统的行为进行预测和控制。

因此，李雅普诺夫指数在动力系统理论和非线性科学领域有着广泛的应用。

李雅普诺夫指数• 1.李雅普诺夫指数的定义• 2. 李雅普诺夫指数的划分意义• 3. 李雅普诺夫指数用在混沌中,如何应用一李雅普诺夫指数的定义李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移,按指数分离或聚合的平均变化速率。

李雅普诺夫指数的定义: 首先考虑一维映射假设初始位置附近有一点,则经过一次迭代后,这两点之间的距离为：（1）并利用微分中值定理有：（2）n次迭代后,并利用微分中值定理,这两点之间的距离为：（3）由（3）式可得：（4）又由复合函数的微分规则有：其中那么式（4）就变为：（5）则称（6）为Lyapunov指数。

一维映射就对应一个李雅普诺夫指数,而且当时,该系统具有混沌特性。

当时,对应着分岔点或系统的周期解,既系统出现周期现象。

时,系统有稳定的不动点,即此时对应的是一个点。

而对于多维系统则有多个李雅普诺夫指数。

Lyapunov 特性指数沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨线沿该方向平均发散或收敛i的快慢程度,仅从数学角度考虑,Lyapunov特性指数无量纲。

n 维系统具有n 个Lyapunov 特性指数,形成指数谱。

其中数值最大的被称为最大Lyapunov 特性指数。

最大Lyapunov 指数定义为其中,表示时刻最邻近零点间的距离；M为计算总步数。

最大Lyapunov指数不仅是区别混沌吸引子的重要指标,也是混沌系统对于初始值敏感性的定量描述。

其中一维系统只有一个指数,二维系统有两个指数来表征。

在实际计算中,要计算所有的Lyapunov指数,计算量较大,尤其当系统维数L较大时更为突出.所以注意力集中在计算系统的最大Lyapunov指数λm上.二李雅普诺夫指数的物理意义系统的Lyapunov指数谱可有效地表征变量随时间演化时,系统对初值的敏感性。

指数小于零说明体系的相体积在该方向上是收缩的,此方向的运动是稳定的；而正的指数值则表明了体系的相体积在该方向上不断膨胀和折叠,以致吸引子中本来邻近的轨线变得越来越不相关,从而使初态对任何不确定性的系统的长期行为成为不可预测,即所谓的初值敏感性。

lyapunov方程求数值解
Lyapunov方程是控制理论中的一个重要方程，用于求解线性系
统的稳定性。

Lyapunov方程的一般形式为AX + XA^T = -Q，其中A
是系统的状态矩阵，X是要求解的对称正定矩阵，Q是一个对称正定
矩阵。

Lyapunov方程的解决对于确定系统的稳定性和性能至关重要。

要求解Lyapunov方程的数值解，通常可以采用以下方法之一：
1. Schur分解法，这是一种常用的数值方法，它将状态矩阵A
分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

然后，可以将Lyapunov方程转化为一个更容易求解的形式，进而求解X的数值解。

2. 离散时间Lyapunov方程的数值解，对于离散时间系统，可
以利用迭代法或者数值线性代数方法来求解Lyapunov方程的数值解。

3. MATLAB等数学软件，许多数学软件包括MATLAB都提供了专
门用于求解Lyapunov方程的函数或工具箱，可以直接利用这些工具
来求解数值解。

无论采用哪种方法，都需要注意数值解的稳定性和精度，尤其
是在系统维度较大时。

此外，还需要对所得到的数值解进行验证，确保其满足Lyapunov方程的定义和性质。

总之，求解Lyapunov方程的数值解需要结合数值方法和专业工具，以确保得到准确可靠的结果。

最大Lyapunov指数计算的几种方法
张军;汪秉宏
【期刊名称】《地震》
【年(卷),期】1994(000)004
【摘要】地震预报以各种时间序列数据为依据，因此如何从大量的时间序列中提取描述地震蕴孕过程的复杂性特征，成为从非线性科学角度探索地震预报的一个重要研究方向。

本文讨论了混沌吸子的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数计算问题，并以一个模拟时间序列为例，讨论了如何从实验数据时间序列计算Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的问题，给出了两种实用的计算方法，对数值计算结果作了比较。

此方法可用于地震及前兆时间序列复杂性刻划。

【总页数】7页(P86-92)
【作者】张军;汪秉宏
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】P315.7
【相关文献】
1.一种基于模糊C均值聚类小数据量计算最大Lyapunov指数的新方法 [J], 周双;冯勇;吴文渊;汪维华
2.基于小波变换的最大Lyapunov指数的计算方法 [J], 陈琢;梁蓓
3.基于行列式计算的几种特殊计算方法解析 [J], 王俊花
4.基于行列式计算的几种特殊计算方法解析 [J], 王俊花;
5.开关变换器的仿真建模方法及最大Lyapunov指数计算 [J], 周宇飞;汪莉丽;陈军宁
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第38卷第5期2017年5月哈尔滨工程大学学报Journal o!Harbin Engineering UniversityVol.38 No.5May 2017混沌振动Lyapunov特征指数重构演化矩阵算法刘树勇，位秀雷，方远，杨庆超(海军工程大学动力工程学院，湖北武汉430033)摘要:针对Lyapunov指数计算过程中，邻近点对演化难以有效刻画混沌轨道在相空间不同方向的动态特性问题，本文研究了混沌重构相空间中映射矩阵的构造方法，推导了混沌振动实测时间序列重构相空间中Lyapunov特征指 数演化矩阵算法表达式，分析了轨道演化过程中切空间级联矩阵对参考点邻域的拉伸折叠作用，揭示其特征向量 方向是邻域变形的方向、奇异值大小对应特征方向上邻域拉伸和压缩的大小。

构造了包含映射值域和定义域的增 广矩阵，通过微扰法分析了计算过程的误差。

计算结果表明，应用重构演化矩阵算法能够有效提取混沌时间序列 最大Lyapunov指数。

设计了非线性混沌振动实验装置，证实了该方法的有效性。

关键词：演化矩阵;切空间；投影算子；混沌；重构相空间；Lyapunov指数；混沌振动DOI：10. 11990/jheu.201512081网络出版地址：http :///kcms/detaiV23. 1390.u.20170427. 1644. 184.html中图分类号:TN911 文献标志码:A 文章编号：1006-7043(2017)05-0746-06A r e c o n s t r u c t i o n e v o l u t i o n m a t r i c e s a l g o r i t h m b a s e do n L y a p u n o v c h a r a c t e r i s t i c e x p o n e n t o f c h a o t i c v i b r a t i o nLIU Shuyong，WEI Xiulei，FANG Yuan，YANG Qingchao(College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)Abstract:The reconstruction map matrix o!chaotic phase space i s studied since the dynamical characteristics o!the chaotic orbit at different directions are discovered by the nearest orbit ineffectively，and the formulation o f Lyapunov exponent based on evolution matrices in reconstructed phase space i s derived.I t explains that in the process of orbit e-volution，the stretch and fold o f the neighbor i s the rotation operation of the cascade matrices and the fluctuation o f the singular value o f the reconstructed tangent space matrices.The S V D matrix o f the reconstructed tangent space plays important role on the system dynamical behavior characteristic.The eigenvector direction i s the deformation di­rection of the neighbor，and the stretch extent corresponds to the eigenvalue.The augmented matrix including range and definition domains i s constructed，and the computation error i s analyzed with perturbation.Numerical results show that the presented algorithm i s useful to extract the maximal Lyapunov exponent o f the chaotic time series.The experi­mental r ig i s designed and the Lyapunov exponent o f the measured signal i s computed with the method effectively.K e y w o r d s：evolution matrix；tangent space;projection operator；chaos；reconstructed phase space;Lyapunov ex­ponent;chaotic vibration混沌是机械、生物、物理、化学乃至社会、经济、大气等复杂系统中存在的普遍现象⑴。

李雅普诺夫指数综述李雅普诺夫指数⼀、李雅普诺夫指数的提出与历史1961年冬季的⼀天，为了考察⼀条更长的序列，洛伦兹⾛了⼀条捷径。

他在进⾏天⽓模式计算时没有从头开始运⾏，⽽是从中途开始。

作为计算的初值，他直接输⼊了上次运算的输出结果，然后他穿过⼤厅下楼，清净的去喝⼀杯咖啡。

⼀个⼩时之后他回来时，看到了出乎意料的事。

从⼏乎相同出发点开始，洛伦兹看到他的计算机产⽣的天⽓模式差别愈来愈⼤，终⾄毫⽆相似之处。

就是这件事播下了⼀门新科学的种⼦。

稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则系统是不稳定的。

系统只要有⼀个正值就会出现混沌运动。

判断⼀个⾮线性体统是否存在混沌运动时，需要检查它的李雅普诺夫指数λ是否为正值。

⼆、李雅普诺夫指数的定义Lyapunov 指数是描述时序数据所⽣成的相空间中两个极其相近的初值所产⽣的轨道，随时间推移按指数⽅式分散或收敛的平均变化率。

任何⼀个系统，只要有⼀个Lyapunov ⼤于零，就认为该系统为混沌系统。

李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。

李雅普诺夫指数的定义: ⾸先考虑⼀维映射假设初始位置附近有⼀点，则经过⼀次迭代后，这两点之间的距离为：（1）并利⽤微分中值定理有：（2）n次迭代后，并利⽤微分中值定理，这两点之间的距离为：（3）由（3）式可得：（4）⼜由复合函数的微分规则有：其中那么式（4）就变为：（5）则称（6）为Lyapunov指数。

⼀维映射就对应⼀个李雅普诺夫指数，⽽且当时，该系统具有混沌特性。

当时，对应着分岔点或系统的周期解，既系统出现周期现象。

时，系统有稳定的不动点，即此时对应的是⼀个点。

⽽对于多维系统则有多个李雅普诺夫指数。

Lyapunov 特性指数沿某⼀⽅向取值的正负和⼤⼩表⽰长时间系统在吸引⼦中相邻轨线沿该⽅向平均发散或收敛i的快慢程度，仅从数学⾓度考虑，Lyapunov特性指数⽆量纲。

一类三维随机动力系统的最大lyapunov指数在动力学系统中，Lyapunov指数是一种衡量系统的稳定性和混沌程度的重要性质。

在三维随机动力学系统中，其最大Lyapunov指数是一个非常重要的物理量，它可以表示系统的最大敏感性和最大混沌程度。

下面分步骤阐述一类三维随机动力系统的最大Lyapunov指数：第一步：定义随机动力学系统我们考虑一个三维随机动力学系统：dx/dt = f(x, y, z) + g1(x, y, z)η1(t)dy/dt = h(x, y, z) + g2(x, y, z)η2(t)dz/dt = p(x, y, z) + g3(x, y, z)η3(t)其中f(x, y, z)，h(x, y, z)，p(x, y, z)为确定性的动力学系统，g1(x, y, z)，g2(x, y, z)，g3(x, y, z)为随机的扰动项，η1(t)，η2(t)，η3(t)为服从标准正态分布的三个独立白噪声。

这样的随机动力学系统有着广泛的应用，例如在流体力学、天体物理学和生命科学中都有应用。

第二步：计算Lyapunov指数Lyapunov指数是衡量系统敏感性的工具，它定义了随机动力学系统中一个点在某一条轨道上向着邻近轨道的指数增长率。

在上述系统中，考虑一个被离散化的轨道，其初始点为(xi , yi , zi)。

定义一个初始相邻点(x'i , y'i , z'i)，满足：∥(x'i , y'i , z'i) - (xi , yi , zi)∥ < ϵ其中ϵ为一个足够小的正数。

然后根据干扰项的线性近似，可以得到相邻点的演化方程：d(x'i ,y'i ,z'i )/dt = J(x,y,z)·(x'i,y'i,z'i)其中J(x,y,z)为随机Jacobi矩阵，具体形式可在文献中查阅。

BOOST变换器李雅谱诺夫指数的计算方法褚利丽，张波，丘东元(华南理工大学电力学院，广东广州510640)The Computational Methods of the Lyapunov Exponent for theChaotic BOOST ConvertersCHU Li-li , ZHANG Bo，QIU DongY uan（College of Electric Power, SCUT, Guangzhou ,Guangdong, China, 510640）ABSTRACT: According to circuit parameter configuration, control configuration and actual operation status, this paper classifies the basic BOOST converter as one and two rank discrete map, analyses the computational method of Lyapunov among boost converter, puts forward the corresponding computational flow and calculates the converter’s Lyapunov. This paper analyzes the characteristic entering into Chaos, compares the difference of their Lyapunov figures. It will provide a basic method for understanding in-depth the operate disciplinarian of Boost converter.KEYWORDS: chaos; boost converter; Lyapunov.摘要：根据电路结构、控制系统、运行状态，本文将基本BOOST变换器分为一维离散映射和二维离散映射，系统地分析了混沌BOOST变换器李雅谱诺夫指数的计算方法，由此提出相应的李雅谱诺夫指数计算流程，并具体计算出它们的李雅谱诺夫指数。

matlab求最大李雅普诺夫(Lyapunov)指数程序求解系统的Lyapunov指数谱程序Lyapunov 指数是描述时序数据所生成的相空间中两个极其相近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分散或收敛的平均变化率。

任何一个系统，只要有一个Lyapunov 大于零，就认为该系统为混沌系统。

李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。

一 chen系统的Lyapunov指数谱function dX = Chen2(t,X)% Chen吸引子，用来计算Lyapunov指数% dx/dt=a*(y-x)% dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*z% dz/dt=x*y-b*zglobal a; % 变量不放入参数表中global b;global c;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化dX = zeros(12,1);% Lorenz吸引子dX(1) = a*(y-x);dX(2) = (c-a)*x+c*y-x*z;dX(3) = x*y-b*z;% Lorenz吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [-a a 0;c-a-z c -x;y x -b];dX(4:12) = Jaco*Y;Z1=[];Z2=[];Z3=[];global a;global b;global c;b=3;c=28;for a=linspace(32,40,100);y=[1;1;1;1;0;0;0;1;0;0;0;1];lp=0;for k=1:200[T,Y] = ode45('Chen2', 1, y);y = Y(size(Y,1),:);y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];y0=GS(y0);mod(1)=norm(y0(:,1));mod(2)=norm(y0(:,2));mod(3)=norm(y0(:,3));lp = lp+log(abs(mod));y0(:,1)=y0(:,1)/mod(1);y0(:,2)=y0(:,2)/mod(2);y0(:,3)=y0(:,3)/mod(3);y(4:12) = y0';endlp=lp/200;Z1=[Z1 lp(1)];Z2=[Z2 lp(2)];Z3=[Z3 lp(3)];enda=linspace(32,40,100);plot(a,Z1,'-',a,Z2,'-',a,Z3,'-');title('Lyapunov exponents of Chen')xlabel('b=3,c=28,parameter a'),ylabel('lyapunov exponents') grid on以上是三个变量的Lyapunov指数谱，下面是最大的Lyapunov指数谱：Z=[];d0=1e-8;for a=linspace(32,40,80)lsum=0;x=1;y=1;z=1;x1=1;y1=1;z1=1+d0;for i=1:100[T1,Y1]=ode45('Chen',1,[x;y;z;a;3;28]);[T2,Y2]=ode45('Chen',1,[x1;y1;z1;a;3;28]);n1=length(Y1);n2=length(Y2);x=Y1(n1,1);y=Y1(n1,2);z=Y1(n1,3);x1=Y2(n2,1);y1=Y2(n2,2);z1=Y2(n2,3);d1=sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2);x1=x+(d0/d1)*(x1-x);y1=y+(d0/d1)*(y1-y);z1=z+(d0/d1)*(z1-z);if i>50lsum=lsum+log(d1/d0);endendZ=[Z lsum/(i-50)];enda=linspace(32,40,80);plot(a,Z,'-');title('Chen 系统最大lyapunov指数')xlabel('parameter a'),ylabel('lyapunov exponents')二模拟 Lorenz 系统最大lyapunov指数谱function ly=jose_ly(b,k)% the largest lyapunov exponent of josephson% k 迭代步数，b 参数% 方程如下:% θ''+G*θ'+sinθ=I+A*sin(ωt)+αsin(βωt) % 变化：% dx=y% dy=-G*y-sin(x)+I+A*sin(w*t)+a*sin(b*w*t) %% Example:% ly=jose_ly(0,800)%% Author:LDYU%Author'semail:*******************.cn%d0=1e-8;ly=0;lsum=0;x=[0;2;b];x1=[d0;2;b];for t=1:k[T1,Y1]=ode45('Josephon',[t-1,t],x);[T2,Y2]=ode45('Josephon',[t-1,t],x1);x=Y1(end,:);x1=Y2(end,:);d1=norm(x-x1);x1=x+(d0/d1)*(x1-x);lsum=lsum+log(d1/d0);endly=lsum/k;。