重庆中考数学压轴题专题精练

2024年中考数学考前押题密卷（重庆卷）全解全析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．14−的相反数是（ ） A ．14− B ．4C ．4−D ．14【答案】D【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【详解】解：14−的相反数是14．故选：D ．【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．【详解】解：根据俯视图的特征，应选C ． 故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键． 3．如图，直线m n ∥，点A 在直线m 上，点B 在直线n 上，连接AB ，过点A 作AC AB ⊥，交直线n 于 点C ．若150∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】B【分析】根据平行线的性质可得150ACB ∠=∠=︒，进而根据90BAC ∠=︒，即可求解． 【详解】解：∵m n ∥，150∠=︒， ∴150ACB ∠=∠=︒， ∵AC AB ⊥， ∴90BAC ∠=︒，∴29040ACB ∠=︒−∠=︒， 故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将ABO 缩小为原来的12，得到CDO ．若点A 的坐标是()2,4−−，则点C 的坐标是（ ）A ．()1,2−−B ．()1,2C ．()2,1D ．()2,1−−【答案】B【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵将ABO 缩小为原来的12，得到CDO ，点A 的坐标是()2,4−−， ∴点C 的坐标为112,422⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−−⨯− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1,2， 故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ， 那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k −．5．估计）A ．0与1之间B ．1与2之间C ．2与3之间D ．3与4之间【答案】B【分析】先进行二次根式的混合运算，再进行无理数的估算即可得到答案．【详解】解：4===∵469＜＜，∴23，∴32−−＜，∴142−＜，∴1与2之间．故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．6．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的 16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多 售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子 售价降低x 元，则可列方程为（ ） A ．()()1610200801440x x −−+= B ．()()16200801440x x −+= C ．()()1610200801440x x −−+= D ．()()16200801440x −+=【答案】A【分析】设每袋粽子售价降低x 元，由于每天的利润为1440元，根据利润＝（定价﹣进价）×销售量即可列出方程．【详解】解：设每袋粽子售价降低x 元，每天的利润为1440元． 根据题意，得()()1610200801440x x −−+=， 故选：A ．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．7．如图是由大小相同的“△”按照一定的规律排列组成的，第①个图中有3个“△”，第②个图中有8个 “△”，第③个图中有15个“△”，…，依据规律，第⑥个图中“△”的个数为（ ）A ．24B ．35C ．36D ．48【答案】D【分析】第①个图中“△”的个数为：2321=−，第②个图中“△”的个数为：2831=−，第③个图中“△”的个数为21541=−，…，据此可求得第n 个图中“△”的个数，从而可求解． 【详解】解：∵第①个图中“△”的个数为：2321=−， 第②个图中“△”的个数为：2831=−， 第③个图中“△”的个数为：21541=−， …，∴第n 个图中“△”的个数为：()211n +−， ∴第⑥个图中“△”的个数为：27148−=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．8．如图，已知AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，22.5ACD ∠=︒，1AE =，则CD 的长为（ ）A ．B 2C ．1+D ．2【答案】D【分析】连接OD ，根据垂径定理可得45AOD ∠=︒，再根据垂径定理可得2CD DE =，90OED ∠=︒，然后在Rt OED 中，利用锐角三角函数的定义可得DE OE =，最后设O 的半径为r ，则1OE r =−，在Rt OED 中，利用勾股定理列出关于x 的方程进行计算，即可解答．【详解】解：连接OD ，∵22.5ACD ∠=︒，∴245AOD ACD ∠=∠=︒， ∵直径CD AB ⊥，∴2CD DE =，90OED ∠=︒，在Rt OED 中，tan 45DE OE OE =⋅︒=， 设O 的半径为r ，则1OE OA AE r =−=−，在Rt OED 中，222OE DE OD +=， ∴222OE OD =， ∴()2221r r −=，解得：12r =，22r =（舍去），∴11DE r =−=∴22CD DE ==+，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助 线是解题的关键．9．如图，延长矩形ABCD 的边CB 至点E ，使EB AC =，连接DE ，若BAC α∠=，则E ∠的度数是（ ）A ．2αB ．452α︒−C ．45α−︒D ．302α︒+【答案】B【分析】连接BD 交AC 于点O ，由矩形的性质得90ABC ∠=︒，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，AC BD =，则OA OB =，所以OBA BAC α∠=∠=，而BE AC DB ==，则BDE E ∠=∠，所以290CBD BDE E E α∠=∠+∠=∠=︒−，则452E α∠=︒−，于是得到问题的答案．【详解】解：连接BD 交AC 于点O ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90ABC ∠=︒，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，AC BD =， ∴OA OB =，∴OBA BAC α∠=∠=， ∴90CBD α∠=︒−， ∵BE AC DB ==， ∴BDE E ∠=∠，∴2CBD BDE E E ∠=∠+∠=∠， ∴290E α∠=︒−， ∴452E α∠=︒−，故选：B ．【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．10（0x ≥），将这两个二次根式进行如下操作：的和记为1M ，差记为1N ；第二次操作：将1M 与1N 的和记为2M ，差记为2N ； 第三次操作：将2M 与2N 的和记为3M ，差记为3N ； …； 以此类推． 下列说法：①当1x =时，246830N N N N +++=；②12M =③221212nn n M N ++⋅=（n 为自然数）．其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】先根据已知条件，分别求出1M ，2M ，3M ，4M ，5M ，6M ，7M ，8M ，1N ，2N ，3N ，4N ，5N ，6N ，7N ，8N ，然后根据计算的结果，分别列出各种说法中的算式，进行计算，然后判断即可．【详解】解：由题意得：1M =1N =2M ==，2N ==322M M N =+=3N =4M =4N =5M =，5N =6M =6N =7M =，7N =8M =8N =9M =9N =10M =10N =；11M =11N =；12M =12N =，∴当1x =时，246830N N N N +++====，∴①的说法正确；由以上计算可知：12M = ∴②的说法正确；∵(()23341442M N x x ⋅==+−==；(()45516116162M N x x ⋅==+−==； (()67764164642M N x x ⋅==+−==；…∵221212nn n M N ++⋅=∴③的说法正确，综上可知：正确的个数为3个， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解题意，找出规律，进行解答即可．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的横线上）11．计算：)2sin 302︒+＝ ．【答案】2．【分析】利用特殊锐角三角函数值，零指数幂计算即可． 【详解】解：原式＝12122⨯+=， 故答案为：2．【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．如图是反比例函数2m y x−=的图象，那么实数m 的取值范围是 ．【答案】2m ＞．【分析】根据反比例的函数图象与系数的关系直接解答即可．【详解】解：根据反比例函数图象在坐标系中的位置，可判断比例系数0＞，即20m −＞，故2m ＞． 故答案为：2m ＞．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 13．从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，这个多边形的边数是 ． 【答案】8．【分析】根据从n 边形的一个顶点可以作对角线的条数公式()3n −求出边数即可得解． 【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n ， ∴35n −=， 解得8n =． 故答案为8．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出()3n −条对角线是解题的关键．14．重庆园博园内桃花盛开，一片春意盎然．周末甲、乙两名同学去游园，园内有A 、B 、C 三条不同的赏 花路线，两名同学每人随机选择一条路线，那么他们选择相同路线的概率是 ． 【答案】13． 【分析】用树状图法得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．【详解】解：列表如下：由表格知，共有9种等可能结果，其中他们选择相同路线的有3种结果， 所以他们选择相同路线的概率为3193=， 故答案为：13． 【点睛】此题考查了用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．15．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、AC 上（均不与点A 、B 、C 重合），且140C ∠=∠=︒， 若BD CE =，则BAD ∠＝ 度．【答案】30．【分析】先求出100BAC ∠=︒，再证明EDC DAB ≌，得到DAE DEA ∠=∠，进而可求出BAD ∠的度数．【详解】解：∵AB AC =， ∴C B ∠=∠． ∵140C ∠=∠=︒， ∴140C B ∠=∠=∠=︒，∴1804040100BAC ∠=︒−︒−︒=︒， ∵1ADC EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠， ∴EDC BAD ∠=∠， 又∵C B ∠=∠，EC BD =， ∴()EDC DAB AAS ≌，∴ED AD =， ∴18040702DAE DEA ︒−︒∠=∠==︒， ∴1007030BAD BAC DAE ∠=∠−∠=︒−︒=︒． 故答案为：30．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明EDC DAB ≌是解答本题的关 键．16．如图，在正方形ABCD 中，以A 为圆心，AD 为半径画弧，再以AD 为直径作半圆，连接AC ，若正 方形边长为4，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】24π−．【分析】根据题意得到S 阴影，即可得到答案．【详解】解：如图，设半圆与AC 的交点为点E ，取AD 的中点为点O ，连接OE 、DE ，设以A 为圆心，AD 为半径画弧交AC 于点F ，∴90AED ∠=︒，122OE OD OA AD ====， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴45DAE ∠=︒，∴45ADE DAE ∠=∠=︒， ∴OE AD ⊥， ∴2114422482ADEDAF S S Sππ=−=⨯⨯−⨯⨯=−阴影扇形，故答案为：24π−．【点睛】此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式、正方形的性质是关键．17．如果关于x的不等式组312231xxx x m−⎧+⎪⎨⎪+≥+⎩＜至少有两个整数解，且关于y的分式方程3111y my y=−−−的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为．【答案】12．【分析】解不等式组，并根据题意得到关于m的范围即可．【详解】解：解不等式组312231xxx x m−⎧+⎪⎨⎪+≥+⎩＜，得：512xmx⎧⎪⎨−≥⎪⎩＜，∵不等式组至少有两个整数解，∴13 2m−≤，解得：7m≤，解关于y的分式方程3111y my y=−−−，得：12my−=，且10y−≠，∴12my−=，3m≠，∵分式方程解为正整数，且3m≠，∴符合条件的所有整数m的值为5，7，∴符合条件的所有整数m的和为5712+=．故答案为：12．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于m的范围是解题的关键．18．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字 与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，则最大的“逢双数”为： ；对于 “逢双数”m ，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为()G m ．若“逢双 数”m 千位上的数字与个位上的数字之和为8，且()G m 能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”m 的 最大值与最小值的差为 ． 【答案】9819；6174．【分析】根据题中对“逢双数”的定义，即可求出最大的“逢双数”，先表示出()G m ，再进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：由题知，当千位数字和个位数字都是9，且百位数字是8，十位数字是1时， 所得“逢双数”最大为：9819．设“逢双数”m 的个位数字为x ，则千位数字为()8x −，设其十位数字为y ，则百位数字为()4y −， 所以17x ≤≤，13y ≤≤．()()()()()()()10041010081010081041008104G m y y x x y x x y x x y y=−+++−+++−+−++−+−+297992880x y =−−+，又因为()G m 能被4整除，且()2979928803296962880x y x y x y −−+=−−+−−+， 所以3x y −−能被4整除， 又因为17x ≤≤，13y ≤≤， 当1y =时，1x =或5； 当2y =时，2x =或6； 当3y =时，3x =或7；又因为()()10008100410m x y y x =−+−++， 所以当1x =，1y =时，m 取值最大值为：7311； 当7x =，3y =时，m 取得最小值为：1137；所以m 的最大值与最小值的差为：731111376174−=． 故答案为：6174．【点睛】本题考查不定方程的应用，正确的分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上） 19．计算：（1）()()242x x y x y −−−； （2）2344111x x x x x −+⎛⎫−+÷⎪++⎝⎭． 【答案】（1）24y −；（2）22x x +−−． 【分析】（1）根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．【详解】解：（1）()()22222424444x x y x y x xy x xy y y −−−=−−+−=−；（2）()()2222234431141221111112222x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫−+−+−+++⎛⎫−+÷=−⋅=⋅==− ⎪ ⎪+++++−−⎝⎭−−⎝⎭． 【点睛】本题考查分式的混合运算、单项式乘多项式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关 键．20．在学习完勾股定理后，喜欢思考的小明想进一步探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：在Rt ABC 中，先作出直角边AC 的垂直平分线，并猜测它与斜边AB 的交点是中点，于是他把交点与点C 连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系． 请根据小明的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规作AC 的垂直平分线交AB 与点D ，垂足为点E ，连接CD ．（保留作图痕迹，不写作法） 已知：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，ED 垂直平分AC ，垂足为点E ． 求证：12CD AB =． 证明：∵ED 垂直平分AC ， ∴AD ＝ ， ∴A ACD ∠=∠．∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∴90A B ∠+∠=︒，ACD ∠+ ＝90︒， ∴B BCD ∠=∠， ∴ ＝BD ， ∴12AD BD AB ==． ∴12CD AB =． 通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，请依照题意完成下面命题：直角三角形斜边的中线 ．【答案】作图见解析；CD ；BCD ∠；CD ；等于斜边的一半．【分析】根据线段垂直平分线的作图作直线DE 即可；根据线段垂直平分线的性质、角的和差关系以及等腰三角形的性质填空即可；由探究可得直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【详解】解：如图，直线DE 即为所求．∵ED 垂直平分AC ， ∴AD CD =， ∴A ACD ∠=∠．∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∴90A B ∠+∠=︒，90ACD BCD ∠+∠=︒， ∴B BCD ∠=∠，∴CD BD=，∴12AD BD AB==．∴12CD AB=．通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，请依照题意完成下面命题：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．故答案为：CD；BCD∠；CD；等于斜边的一半．【点睛】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．12月2日是“全国交通安全日”，为了解七、八年级学生对交通安全知识的掌握情况，某学校举行了交通安全知识竞赛活动．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数量是D组数量的一半，在C组中的数据为：84，86，87，89；八年级抽取的学生竞赛成绩为：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝．（2）该校；七、八年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数．（3）根据以上数据，你认为哪一个年级参加竞赛活动的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）86.5，98，10；（2）估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数约420人；（3）八年级参加竞赛活动的学生成绩更好，理由见解析．【分析】（1）根据中位数、众数的意义，分别求出七年级的中位数和八年级的众数，有“1”减去其他三组所占百分比可得m 的值； （2）利用样本估计总体即可；（3）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可．【详解】解：（1）根据题意，将七年级的竞赛成绩从大到小排列后，处在中间位置的两个数分别是87，86，故中位数为878686.52+=，即86.5a =； 八年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是98，共出现4次，因此众数是98，即98b =；48%130%10%2020m =−−−=，即10m =． 故答案为：86.5，98，10； （2）48166006000.742040++⎛⎫⨯=⨯=⎪⎝⎭（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数约420人； （3）八年级参加竞赛活动的学生成绩更好，理由如下：∵两个年级的平均数相同都是88，但八年级学生竞赛成绩的中位数87高于七年级学生竞赛成绩的中位数86.5，所以八年级参加竞赛活动的学生成绩更好．【点睛】本题考查了中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的根据．22．2019年10月17日是我国第6个扶贫日，也是第27个国际消除贫困日．为组织开展好铜陵市2019年 扶贫日系列活动，促进我市贫困地区农产品销售，增加贫困群众收入，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一 批铜陵生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种 货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等． （1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？（2）如果这批生姜有1520箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了40箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？【答案】（1）甲种货车每辆车可装100箱生姜，乙种货车每辆车可装80箱生姜；（2）甲种货车有14辆，乙种货车有2辆．【分析】（1）设乙种货车每辆车可装x 箱生姜，则甲种货车每辆车可装()20x +箱生姜，根据甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设甲种货车有m 辆，则乙种货车有()16m −辆，根据货物的总箱数＝每辆车可装的箱数×车的辆数，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设乙种货车每辆车可装x 箱生姜，则甲种货车每辆车可装（x +20）箱生姜， 依题意，得：100080020x x=+，解得：80x =，经检验，80x =是原方程的解，且符合题意， ∴20100x +=．答：甲种货车每辆车可装100箱生姜，乙种货车每辆车可装80箱生姜． （2）设甲种货车有m 辆，则乙种货车有()16m −辆， 依题意，得：()10080161401520m m +−−+=， 解得：14m =， ∴162m −=．答：甲种货车有14辆，乙种货车有2辆．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C 处，集合点位于点E 处，现有两条路线可以选择：①C →E ，②C →A →D →E ．已知B 位于C 的正西方，A 位于B 的北偏西30°方向处，且位于C 的北偏西53︒方向处．D 位于A 的正西方向E 位于C 的西南方向，且正好位于D 的正南方向． 1.414≈ 1.732≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈） （1）求A 与C 之间的距离（结果保留整数）；（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）【答案】（1）A 与C 之间的距离为500米；（2）走线路①用时更短．【分析】（1）过点A 作AH CB ⊥，交CB 的延长线于点H ，利用锐角三角函数依次求出AH 、AC 即可；（2）设CH 与DE 的交点为M ；利用矩形的性质、解直角三角形等知识求出300DM AH ==米，400CH =米，MH AD ==(400CM ME ==+米，()200CE ==米，再分别求出两条线路的用时，比较后即可得到结论．【详解】解：（1）如图，过点A 作AH CB ⊥，交CB 的延长线于点H ， 则90AHB ∠=︒，由题意可知，AB =903060ABH ∠=︒−︒=︒，905337ACH ∠=︒−︒=︒，∴sin 300AH AB ABH =∠==（米）， ∴3003000.6500sin sin 37AH AC ACH ==≈÷=∠︒（米），即A 与C 之间的距离为500米；（2）设CH 与DE 的交点为M ，由题意可知，90ADM DMH AHM ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ADMH 是矩形，∴300DM AH ==米，cos 5000.8400CH AC ACH =∠=⨯=（米），MH AD ==由题意可知，45MCE ∠=︒，18090CME DMH ∠=︒−∠=︒， ∴CME 是等腰直角三角形，∴(400CM ME CH MH ==+=+米，∴()200CE ==+米，∴路线①519.1=+≈（分钟）路线②的步行的时间为5003004001619.8753+++=+≈（分钟）∵19.119.8＜，∴走线路①用时更短．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和熟练掌握方位角的概念是解题的关键．24．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为AB 边的中点，点F 为BC 边上的三等分点（CF BF ＜）， 动点P 从点A 出发，沿折线A →D →C 运动，到C 点停止运动．点P 的运动速度为每秒2个单位长度，设 点P 运动时间为x 秒，PEF 的面积为y ．（1）请直接写出y 关于x 的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当直线12y x b =−+与该函数图象有两个交点时，b 的取值范围．【答案】（1）()()240342235x x y x x +≤≤⎧⎪=⎨−+≤⎪⎩＜；（2）作图见解析，当03x ＜＜时，y 随着x 的增大而增大，当35x ＜＜时，y 随着x 的增大而减小；（3）1216b ≤＜．【分析】（1）分03x ≤≤和35x ≤＜两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；（3）分别求出直线12y x b =−+经过点()5,2和点()3,10时b 的值，结合图象写出答案即可． 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，4AB CD ==，6BC AD ==， ∵点E 为AB 边的中点，点F 为BC 边上的三等分点（CF BF ＜）， ∴122AE BE AB ===，123CF BC ==，243BF BC ==，当点P 在AD 上时，则2AP x =026x ≤≤，即03x ≤≤， 此时62DP x =−，∴PEF 的面积()11146222y AE AP BE BF CF DP CD =⨯−⋅−⋅−+⋅ ()111462224262424222x x x =⨯−⨯⨯−⨯⨯−+−⨯=+；当点P 在CD 上时，即35x ≤＜时，如图，则26DP x =−，∴PEF 的面积()11146222y BE BF CP CF AE DP AD =⨯−⋅−⋅−+⋅ ()()111462421022266422222x x x =⨯−⨯⨯−⨯⨯−−+−⨯=−+；∴()()240342235x x y x x +≤≤⎧⎪=⎨−+≤⎪⎩＜； （2）函数图象如图所示，当03x ＜＜时，y 随着x 的增大而增大，当35x ＜＜时，y 随着x 的增大而减小； （3）当直线12y x b =−+经过点()5,2时，225b =−⨯+，则12b =， 当直线12y x b =−+经过点()3,10时，1023b =−⨯+，则16b =，结合图象可知，直线12y x b =−+与该函数图象有两个交点时，b 的取值范围是1216b ≤＜．【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．25．如图1，已知抛物线23y ax bx =++（a ，b 为常数，0a ≠）经过点()3,0A −，()1,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P 为第二象限内抛物线上一点，连接AP 、CP 、BC 、PB ，当APC 与PCB 的面积和最大时，求点P 的坐标及此时APC 与PCB 的面积和；（3）如图3，点Q 是抛物线上一点，连接BQ ，当QBA ACB ∠=∠时，求点Q 的坐标．【答案】（1）223y x x =−−+；（2）57,24P ⎛⎫−⎪⎝⎭，此时APC 与PCB 的面积和254；（3）()1,4Q −或()5,12Q −−．【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）由131322BOCS=⨯⨯=，193322AOC S =⨯⨯=，设()2,23P x x x −−+，13322POC S x x =⨯=−，()22193233222PAOSx x x x =⨯−−+=−−+，()22113123222PBO S x x x x =⨯⨯−−+=−−+再建立面积和的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；（3）如图，连接CB ，记BQ ，AC 的交点为K ，过K 作KT AB ⊥于T ，证明ABK ACB ∽，可得3AK ==，求解18,33K ⎛⎫− ⎪⎝⎭，可得直线BK 为22y x =−+，再求解函数交点坐标即可，同理K关于x 轴对称的点33,22K ⎛⎫'−− ⎪⎝⎭，此时BK '与抛物线的交点Q 也符合题意；同理可得：直线BK '的解析式为：22y x =−，再求解函数交点坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线23y ax bx =++点()3,0A −，()1,0B ，∴933030a b a b −+=⎧⎨++=⎩，解方程组得12a b =−⎧⎨=−⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =−−+； （2）如图2，连接OP ，BP ，由223y x x =−−+，∴()0,3C ，而()1,0B ，()3,0A −， ∴131322BOCS=⨯⨯=，193322AOCS =⨯⨯=， 设()2,23P x x x −−+， ∴13322POCSx x =⨯=−，()221393233222PAO S x x x x =⨯−−+=−−+， ()22113123222PBO S x x x x =⨯⨯−−+=−−+，∴APC 与PCB 的面积和PAOPCOACOPAOPCOBOCPAOPBO SSSSSSSS=+−+++−−2PCOACOPAOBOCPBOSSSSS=−++−222939313335222222x x x x x x x ⎛⎫=−−−−++−−−+=−− ⎪⎝⎭，当()55212x −=−=−⨯−时，面积和最大，最大面积为：255255224⎛⎫⎛⎫−−−⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴57,24P ⎛⎫−⎪⎝⎭；（3）如图3，连接CB ，记BQ ，AC 的交点为K ，过K 作KT AB ⊥于T ，∵()3,0A −，()1,0B ，()0,3C ，∴4AB =，AC ==，45CAO ∠=︒， ∵QBA ACB ∠=∠，CAB BAK ∠=∠， ∴ABK ACB ∽， ∴AB AKAC AB=，∴3AK ==，∴8323AT KT ===， ∴81333OT =−=， ∴18,33K ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 设BK 为y kx b =+，∴01833k b k b +=⎧⎪⎨−+=⎪⎩，解得：22k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线BK 为22y x =−+，∴22322y x x y x ⎧=−−+⎨=−+⎩，解得：10x y =⎧⎨=⎩或14x y =−⎧⎨=⎩，∴()1,4Q −，∵K 关于x 轴对称的点18,33K ⎛⎫'−− ⎪⎝⎭， 此时BK '与抛物线的交点Q 也符合题意； 同理可得：直线BK '的解析式为：22y x =−，∴22322y x x y x ⎧=−−+⎨=−⎩，解得：10x y =⎧⎨=⎩或512x y =−⎧⎨=−⎩，∴()5,12Q −−，综上：()1,4Q −或()5,12Q −−．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，函数交点坐标的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26．在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点E 是线段AC 上一点，点F 是直线BC 上的点， 连接BE 、AF ，直线AF 交直线BE 于点G ．（1）如图1，点F 在线段BC 延长线上，若AB BG =，BG AC ⊥，证明：45F ∠=︒．（2）如图2，点F 在线段BC 上，连接GD 并延长至点H ，使得DH DG =，连接BH ，若60AEB AFB ∠=∠=︒2BH =+．（3）如图3，点F 在线段BC 延长线上，若6AB BC AC ===，AD FD =，点Q 为AD 上一点，2AQ DQ =，连接FQ ，点I 在AF 的下方且AQ AI =，AQ AI ⊥，连接QI ．点M 为FQ 的中点，连接DM ，点N 为线段DF 上的动点，连接MN ，将DMN 沿直线MN 翻折得到D MN '，连接QD '，点P 为QD '的中点，连接AP ，BP ．当AP AI +最大时，直接写出ABP 的面积．．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3 【分析】（1）设BAD α∠=，推理和计算出45F ∠=︒；（2）连接CG ，作AM CG ⊥，交CG 的延长线于点M ，作BK AG ⊥于K ，延长AF 至N ，使FN CF =，连接CN ，可证明CDG BDH ≌，从而CG BH =，设ABC ACB α∠=∠=，可推出120BAF AGB α∠=∠=︒−，进而得出ACN BGF ≌，从而FG CN CF ==，进一步得出302AFBFGC FCG ∠∠=∠==︒，可证得BAK CAM ≌，从而BK CM =，进一步得出结论；（3）取MQ 的中点O ，连接OP ，进而得出124OP D M '==，从而点P 在以点O 4为半径的圆上运动，从而点A ，O ，P 共线时，AP 最大，此时AP AI +最大，可得14OQ FQ ==，从而OP OQ =，从而点P 在BC 上，进一步得出结果．【详解】（1）证明：设BAD α∠=， ∵AB AC =，AD 是BC 上的高，∴CAD BAD α∠=∠=，90ABD α∠=︒−，90CAD ACB ∠+∠=︒， ∵BG AC ⊥， ∴90BEC ∠=︒，∴90CBE ACB ∠+∠=︒， ∴CBE CAD α∠=∠=，∴902BAG ABD CBE α∠=∠−∠=︒−， ∵AB BG =， ∴180452BAGBAG BGA α︒−∠∠=∠==︒+，∴()45245CAF BAG BAC ααα∠=∠−∠=︒+−=︒−， ∴()()904545F ACB CAF αα∠=∠−∠=︒−−︒−=︒； （2）证明：如图1，连接CG ，作AM CG ⊥，交CG 的延长线于点M ，作BK AG ⊥于K ，延长AF 至N ，使FN CF =，连接CN ，∴sin sin 60BK BF AFB BF BF =⋅∠=⋅︒=， ∵AB AC =，AD BC ⊥， ∴BD CD =，∵DG DH =，BDH CDG ∠=∠， ∴()CDG BDH SAS ≌， ∴CG BH =，设ABC ACB α∠=∠=，∴1802BAC α∠=︒−，60CAF AFB ACB α∠=∠−∠=︒−， ∴()6060120AGB CAF AEB αα∠=∠+∠=︒−+︒=︒−，()()180260120BAF BAC CAF ααα∠=∠−∠=︒−−︒−=︒−，∴BAF AGB ∠=∠， ∴AC AB BG ==，∵60CFN AFB ∠=∠=︒，FN CF =， ∴CFN 是等边三角形， ∴60N ∠=︒， CN CF =， ∴N AFB ∠=∠，∵60AFB AEB ∠=∠=︒，AGE BGF ∠=∠， ∴CAF GBF ∠=∠，∴()ACN BGF AAS ≌， ∴FG CN CF ==， ∴302AFBFGC FCG ∠∠=∠==︒， ∴30ACM ACB FCG α∠=∠−∠=−︒，30AGM FGC ∠=∠=︒，∴()909030120CAM ACM αα∠=︒−∠=︒−−︒=︒−，cos 2MG AG AGM AG =⋅∠=， ∴BAF CAM ∠=∠， ∵90AKB M ∠=∠=︒， ∴()BAK CAM AAS ≌， ∴BK CM CG GM ==+，AG BH =+，2BH =+． （3）解：如图2，∵6AB BC AC ===，AD BC ⊥，∴AD AB == ∵2AQ DQ =，∴AI AQ ==DQ =DF AD ==∴FQ ==∴12D M DM FQ '===取MQ 的中点O ，连接OP ， ∵点P 是QD '的中点，∴124OP D M '==，∴点P 在以点O 为圆心，4∴点A ，O ，P 共线时，AP 最大，此时AP AI +最大，∵14OQ FQ ==， ∴OP OQ =，∴点P 在BC 上，且DP DQ ==∴(11322ABPSBP AD =⋅=+⨯=．【点睛】等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．。

重庆历届中考数学压轴题汇总及答案（2020年26题.）如图，在中，，，点是边上一动点，连接，把绕点逆时针旋转90°，得到，连接，.点是的中点，连接. （1）求证：； （2）如图2所示，在点运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为，请直接用含的式子表示的Rt ABC △°90BAC ∠=AB AC =D BC AD AD A AE CE DE F DE CF CF AD =D 2BD CD =CF BA G AG BC D AD P PA PB PC ++PA PB PC ++AP m m CE（2019年26题.）（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x --＝与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN BD ⊥，交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH x ⊥轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求13HF FP PC ++的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值，13HF FP PC ++取得最小值时，把点P 向上平移个单位得到点Q ，连结AQ ，把AOQ △绕点O 顺时针旋转一定的角度α0360α︒︒＜＜，得到A OQ ''△，其中边A Q ''交坐标轴于点G ．在旋转过程中，是否存在一点G ，使得''Q Q OG ∠＝∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．(2018年26题)(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1). （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE △的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值； （3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH △绕点C 顺时针旋转60后得到CF H ''△，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标；若不存在，请说明理由.（2016年26题.）(本小题满分12分)3在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,抛物线的顶点为点E .(1)判断ABC △的形状,并说明理由；(2)经过B ,C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D ,点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点,当PCD △的面积最大时,点Q 从点P 出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M 处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处,最后沿适当的路径运动到点A 处停止.当点Q 的运动路径最短时,求点N 的坐标及点Q 经过的最短路径的长；(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E 在射线AE 上移动,点E 平移后的对应点为点E ',点A 的对应点为点A '.将AOC △绕点O 顺时针旋转至11AOC △的位置,点A ,C 的对应点分别为点1A ,1C ,且点1A 恰好落在AC 上,连接1C A ',1C E '.1A C E ''△是否能为等腰三角形？若能,请求出所有符合条件的点E '的坐标；若不能,请说明理由.（2015年26题） (本小题满分12分)在点B 的左侧),交y 轴于点W ,顶点为C ,抛物线的对称轴与x 轴的交点为D .(1)求直线BC 的解析式；(2)点(,0)E m ,(2,0)F m +为x 轴上两点,其中24m ＜＜.EE ',FF '分别垂直于x 轴,交抛物线于点E ',F ',交BC 于点M ,N .当ME NF ''+的值最大时,在y 轴上找一点R ,使||RF RE ''-的值最大,请求出点R 的坐标及||RF RE ''-的最大值；(3)如图2,已知x 轴上的一点P 9(,0)2,现以P 为顶点,23为边长在x 轴上方作等边三角形QPG ,使QP x ⊥轴,现将QPG △沿PA 方向以每秒1个单位长度的速度平移,当点P 到达点A 时停止.记平移后的QPG △为Q P G '''△,设Q P G '''△与ADC △的重叠部分面积为s .当点Q '到x 轴的距离与点Q '到直线AW 的距离相等时,求s 的值.（2020年）26.【答案】（1）2CF AD =，证明如下：90BAC DAE ︒∠=∠=∵，BAD CAE ∠=∠∴，AB AC =∵，AD AE =，∴在ABD △和ACE △中BAD CAE AB ACAD AE =∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ABD ACE ≅∴△△，45ABD ACE ︒∠=∠=∴，90DCE ACB ACE ︒∠=∠+∠=∴，在Rt ADE △中，F 为DE 中点（同时AD AE =），45ADE AED ︒∠=∠=，AF DE ⊥∴，即Rt ADF △为等腰直角三角形，AF DF AD ==∴， CF DF =∵，CF AD =∴； （2）由（1）得ABD ACE ≅△△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，454590DCB BCA ACE ︒︒︒∠=∠+∠=+=∴，在Rt DCB △中，()2DE BD CE CD ==，F ∵为DE 中点，12DE EF DE ===∴， 在四边形ADCE 中，有90CAG DCE ︒∠=∠=，180CZG DCE ︒∠+∠=，∴点A ，D ，C ，E 四点共圆， F ∵为DE 中点，F ∴为圆心，则CF AF =，在Rt AGC △中，CF AF =∵，F ∴为CG中点，即2CG CF ==，22AG AC DC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∴，即BC =；（3）设点P 存在，由费马定理可得120APB BPC CPA ︒∠=∠=∠=，60BPD ︒∠=∴，设PD 为a ，BD =∴，又AD BD =，a m +∴， )1m a =a又BD CE =CE ∴. 【解析】（1）先证BAD CAE ≅△△，可得°45ABD ACE ∠=∠=，可求°90BCE ∠=，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论.具体解题过程参照答案.（2）由（1）得ABD ACE △≌△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，推出°°°454590DCB BCA ACE ∠=∠+∠=+=，然后根据现有条件说明在Rt DCB △中，DE ==，点A ，D ，C ，E 四点共圆，F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC △中，推出AG ==，即可得出答案.具体解题过程参照答案.（3）设点P 存在，由费马定理可得°120APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设PD 为a ，得出BD =，AD BD ==，得出a m +=，解出a ，根据BD CE =即可得出答案.具体解题过程参照答案.【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数（2019年26题）【答案】解：（1）如图1∵抛物线223y x x --＝与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ∴令0y ＝解得：11x ＝-，23x ＝，令0x ＝，解得：3y ＝-， ∴()1,0A -，()3,0B ，()0,3C -∵点D 为抛物线的顶点，且2122b a --=-=，()2413444441ac b a ⨯⨯---==-⨯∴点D 的坐标为()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x -＝，由题意，可设点2,23N m m m --（），则点26F m m -（，）∴22262343NF m m m m m --+--＝（）-（）＝-∴当22bm a=-=时，NF 取到最大值，此时MN 取到最大值，此时2HF ＝，此时，()2,3N -，()2,2F -，()2,0H在x 轴上找一点K ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接CK ，过点F 作CK 的垂线交CK 于点J 点，交y 轴于点P ，∴1sin 3OCK ∠＝，直线KC 的解析式为：3y =--，且点()2,2F -，∴13PJ PC ＝，直线FJ 的解析式为：442y x +=-∴点J ⎝⎭∴13FP PC +的最小值即为FJ 的长，且1||33FJ =+∴min 1||3HF FP PC ++=；（2）由（1）知，点0,P ⎛ ⎝⎭，∵把点P 个单位得到点Q ∴点()0,2Q -∴在Rt AOQ △中，90AOG ︒∠＝，AQ ，取AQ 的中点G ，连接OG ，则12OG GQ AQ ＝＝，此时，AQO GOQ ∠＝∠ 把AOQ △绕点O 顺时针旋转一定的角度()0360αα︒︒＜＜，得到A OQ ''△，其中边A Q ''交坐标轴于点G ①如图2G 点落在y 轴的负半轴，则0,G ⎛ ⎝⎭，过点'Q 作'Q I x ⊥轴交x 轴于点I ，且''GOQ Q ∠＝∠则'''IOQ OA Q OAQ ∠＝∠＝∠，∵sinOQ OAQ AQ ∠＝∴sin '2IQ IQ IOQ OQ ''∠'＝＝＝IO ＝∴在'Rt OIQ △中根据勾股定理可得OI ＝∴点'Q 的坐标为'Q ⎝⎭；②如图3，当G 点落在x 轴的正半轴上时，同理可得'Q ⎝⎭③如图4当G 点落在y 轴的正半轴上时，同理可得'Q ⎛ ⎝⎭ ④如图5当G 点落在x 轴的负半轴上时，同理可得'Q ⎛ ⎝⎭综上所述，所有满足条件的点'Q 的坐标为：⎝⎭，⎝⎭，⎛ ⎝⎭，⎛ ⎝⎭【考点】二次函数图象与坐标轴的交点求法，直角三角形的中线性质．（2018年26题）【答案】（1）2（2（3）点S 的坐标为(5,3)或(1,3-+或(1,3-或(1,8)-. 【解析】解：（1）抛物线的对称轴为422(1)x =-=⨯-.令1x =，得3y =.∴点A 的坐标为(1,3). 由抛物线的对称性可得，点B 的坐标为(3,3)， ∴线段AB 的长为2.（2）过点E 作EN PH ⊥，交PH 的延长线于点N ，PN 交BE 于点M ，如图1所示.点(1,1)E ，点(3,3)B ， ∴直线BE 的解析式为y x =.设点P 的坐标为2(4)(13)t t t t -+，＜＜， 则点M 的坐标为(,)t t . 则2211221()21(4)(31)3.2PBE PBM PEMS S S PM BH PM EN PM BH EN t t t t t =+=+=+=-++-⨯-=-△△△ 当32t =时，PBE △面积取得最大值，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭.H 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.3.4PH ∴=过原点O 在y 轴左侧作射线OJ ，使30COJ ∠=，如图2所示，过点H 作HG OJ ⊥，垂足为G ，HG 与y 轴的交点为K ，当点F 与点K 重合时，12FO HF +取得最小值，此时11.22FO HF OK KH KG KH HG +=+=+=3060.GOK OKG CKH ∠=∴∠=∠=，在Rt CHK △中，3602CH CKH =∠=，，30CHK ∴∠=. 3tan302CK CH KH CK ∴=⨯===3OK ∴= 在Rt GOK △中，11322KG OK ⎛==⨯= ⎝⎭HG KG KH ∴=+=+=12PH HF FO ∴++的最小值为34PH HG +==（3）点S 的坐标为(5,3)或(1,3-或(1,3-或(1,8)-.【提示】（1）根据抛物线解析式求出对称轴，并求出点A 的坐标，由对称性得点B 的坐标，从而求出AB 的长；（2）过E 点作PH 的垂线，根据B ，E 两点坐标求出直线BE 的解析式，根据抛物线解析式设点P 的坐标，根据三角形的面积公式求出三角形面积关于P 点横坐标的函数解析式，利用二次函数的性质求得面积的最大值，从而求出点P ，H 的坐标，即可求出PH 的长，然后确定线段和取得最小值的条件，根据条件结合锐角三角函数求出线段的长，从而求出线段和的最小值； （3）根据（2）的结果，结合旋转的性质，根据抛物线的解析式设出点的坐标，表示出线段的长，根据菱形的四边相等，分情况讨论，列出方程，求出待定系数的值，从而求出满足条件的点的坐标.【考点】抛物线的性质、特殊角的三角函数、旋转的性质、菱形的判定和性质.（2016年26题）【答案】(1)△ABC 为直角三角形.理由如下：当y =0时，即21303x -+=，解这个方程，得1x =2x =∴点A (0)，B (0).OA ∴=OB =当x =0时，y =3，∴点C (0，3)，3OC ∴=.在Rt △AOC 中，22222312AC OA OC =+=+=.在Rt △BOC 中，22222336BC OB OC =+=+=.又2248AB ⎡⎤==⎣⎦，1236=48+，222AC BC AB ∴+=.△ABC 为直角三角形.(2)如图1，点B (0)，C (0，3).图1∴直线BC 的解析式为3y =+. 过点P 做PG ∥y 轴交直线BC 于点G .设点P (a ，2133a -+)，则点G (a ，3+)，21(3)(3)3PG a ∴=-+-+21=3a -+.设D 点横坐标为D x ，C 点横坐标为C x .1()2PCDD C Sx x PG =⨯-⨯211()23a =-2=628a --+.0a <<∴当a =PCD 的面积最大，此时点P ，154).如图1，将点P 'P ，连接'AP 交y 轴于点N ，过点N 做NM ⊥抛物线对称轴于点M ，连接PM .点Q 沿P M N A →→→运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM +MN +NA 的长.又点A (0)，∴ 直线'AP 的解析式为52y =+. 当x =0时，52y =，点N (0，52).过'P 作'P H ⊥x 轴于点H ，则有HA =15'4P H =，'AP =.∴点Q 运动的最短路径的长为PM MN AN ++=(3)如图2，在Rt △AOC 中，图2tanOC OAC OA ∠===60OAC ∴∠=︒.1OA OA =，1OAA ∴为等边三角形，1=60AOA ∠︒. 130BOC ∠=︒.又由13OC OC ==，得点1C (2，32).点A (0)，E 4)，AE ∴=.''A E AE ∴==直线AE 的解析式为2y x =+，设点'E (a 2+)，则点A (a -2-).22213'(2)2C E a ∴=++-27=733a -+22213A'(2)2C a =-+--27=4933a -+若1'''C A A E =，则有221'''C A A E =，即22777=4933a a ++.解这个方程，得a =∴点'E ，5) 若1'''A C A E =，则有221'''A C A E =即2749=2833a a -+解这个方程，得1a =，2a =.∴点'E 7+或7.若1'''E A E C =，则有221'''E A E C =，即277=283a +.解这个方程，得12a ，22a (舍去).∴点'E ，3+.综上所述，符合条件的点'E 的坐标为，5)或7或，7或，3+. 【考点】直角三角形的判定，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，等腰三角形的性质（2015年26题）【答案】（1）y =+（2）R ，max '-'4RF RE =（3）S =【解析】（1）y =+ （2）22'(E M =++=+-2'F N =+故：2''E M F N +=+-当3m ==时，''E M F N +最大，此时E F∵'':E F y =+∵(0R ，max '-'4RF RE =（3）由题意，Q 点在CAB ∠的角平分线或外角平分线上 ①当Q 点在CAB ∠的角平分线上时，如图''Q M Q N ==，CW ='RMQ RNC ∆∆∽，故'RQRN =+△CRN ∵△CWO，故CN =∵4DN CD CN =-=故S =∵当Q 点在的外角平分线上时，如图'Q RN WCO △∽△，故'Q R =RM =RCM WCO △∽△，故CM =在''Rt Q MP ∆中，''3AM M ==，故''3CP MP CM =-=-在'Rt CP S ∆中，'P S =故S =综上所述，当点Q '到x 轴的距离与Q '到直线AW的距离相等时，S =S =．【提示】（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可； （2）先求出E′、F′的坐标表示，然后求出E′M 、F′N ，用二次函数的顶点坐标求出当3m =时，''ME NF +的值最大，得到E′、F′的坐标，再求出E′F′的解析式，当点R 在直线E′F′与y 轴的交点时，||RF RE ''﹣的最大值，从而求出R 点的坐标及||RF RE ''﹣的最大值； （3）分类讨论Q 点在∠CAB 的角平分线或外角平分线上时，运用三角形相似求出相应线段，在求出△Q′P′G′与△ADC 的重叠部分面积为S ． 【考点】二次函数综合题。

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重庆中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错难题篇一、二次函数1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3x =33∴点A 30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3（2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =33AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P 的坐标为（3，a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 的坐标为（3，0）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 的坐标为（3，﹣4）． 综上所述，点P 的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m -+=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =13k-+=31k -．将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-2323k k --，∴11AM AN +323231k k --3232k -3(32(31)k k - =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32或3322+或3322-；（3）13． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3．若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或32+或32-． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．4．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【详解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得30 4233 a ba b--=⎧⎨+-=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3） 设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y ＝﹣x ﹣1 ∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P 点纵坐标为﹣2， ∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝∵x ＞0∴x ＝． ∴P （，﹣2） 【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．5．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。