理论力学扭转

第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
第二节 动力传递与扭矩
扭矩图 ：表示扭矩沿轴线变化情况 的图线 。
例题1 图示传动轴,转速n=500r/min，轮B 为主 动轮，输入功率PB=10kW ，轮A与轮C均为从动 轮，输出功率PA=4kW， PC=6kW 。试计算轴的 扭矩，并画扭矩图。
max

Tmax WP


第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
Ip＝
d
32
4
对于实心圆截面
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 PP[θ12==]=31164087/kkmWW，，，G从 P=3动=802轮G221P、akW。3分，试别按[τ输强]=出度7功条0M率件P为求a，AB段的直 径定dd1的；大B小C段。的直径d2；若两段采用同一直径d，试确 解 (1)求外力偶矩
16T1

3
16 2819 3.14 70 106
0.059m 59mm
同理
d2 3
16T2

3
16 4238 3.14 70 106
0.068m 68mm
若两段采用同一直径，则取 d 68mm

其中：It—相当极惯性矩。
目录
注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：
查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。
h
³
b
h
t
1
T
t
max
注意！
b
目录
[例8] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的 作用 ，钢的G =80GPa ，[]=100M Pa，[]=1º/m ，试校核 此杆的强度和刚度。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
目录
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
汽车传动轴
目录
工 程 实 例
汽车方向盘
目录
§3-1 扭转的概念和实例
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大 小相等，方向相反的外力偶。 2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
扭矩和扭矩图
3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
m
m
m
T
x
目录
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
目录
2. 物理关系：
虎克定律： 代入上式得：
3. 静力学关系：
O
dA
令
代入物理关系式 得：
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。

例：图示传动轴，主动轮B 输入的功率 B=10kW，若不计 图示传动轴，主动轮 输入的功率P ， 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为P 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为 A=4kW， ， PC=6kW，轴的转速 = 500r/min，试作轴的扭矩图。 ，轴的转速n ，试作轴的扭矩图。
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max

理解材料力学核心问题：杆的扭转问题剪力流
材料力学——理解物质力学肌理的第一
步。

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本专栏将和您一起，抓住核心思想，提炼
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极速理解理论力学学科精要，轻松掌握学科应
用。

截面法是材料力学核心方法，是“处理杆件问题的最简方法”。

一个杆的最简单的受力情况，就是轴向拉压，杆件上每个截面都受到相等的轴向力。

在点力施加的局部会受到强烈的应力集中影响，但是当力逐渐向远处传播，截面上的应力会逐渐“趋于平均”，这就是圣维南原理：应力集中的影响区域是有限的。

轴向拉压状态下的应力矩阵
应变状态矩阵：
显然，-ν 是轴向拉伸时，引起的“非轴向上的被动压缩量”。

本期看点
•圆轴扭转的应力模式
•理解最大切应力求解方法
•工程扭转问题：有限元法应用
•闭口薄壁杆的自由扭转
圆轴的扭转的应力模式
在圆轴的一端施加一个扭矩，好像要把圆轴“扭转起来”，但是由于另一端是固定的，所以，圆轴只是发生了“将要扭转的趋势”——。