河南省济源第一中学2016级理科实验班A能力提升26
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数学是思维的体操
思考是数学的灵魂
凡事预则立 不预则废
河南省济源第一中学 2016 级理科实验班能力提高 26
考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 第 I 卷（选择题）
A.22
B.24
C.26
D.28
9．一个有 11 项的等差数列，奇数项之和为 30，则它的中间项为
A.8
B.7
C.6
3.B【解析】本题主要考查数列的定义、周期性以及递推公式的应用，考查了分析问题与解决问题的能力.因为 ,所以 ， ， ，…，所以数列 是周期为 3 的数列，因为
4.C【解析】由题意得 a5=3×5+1=16,a2=2×2-1=3,则 a5-a2=13.【备注】无 5.C【解析】本题主要考查等差中项及二次函数的图象与 x 轴的交点个数的知识.∵a, ,c 构成等差数列,∴b=a+c, ∴二次函数对应的二次方程的判别式Δ=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2.∵a, ,c 的公差不为 0,∴a≠c,∴Δ>0,∴f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点,故选 C.【备注】无 6.A【解析】本题主要考查数列的概念等差数列的前 n 项和公式.由所给数列的前 10 项可知： ( ),( ),( ),( ), ,第一份 1 项，第二份 2 项，第三份 3 项，第四份 4 项， ,因此，由等差数列前 n 项
，求证：对任意正整数 ，均有
.
的前 项和为
19．已知数列 a1,a2,…,
,其中 a1,a2,…,
2
是首项为 1,公差为 1 的等差数列;
,
,…,
是公差为 d 的等差数
21．设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n≥2),Tn 是数列{log2an}的前 n 项和.
2 2 2
故满足条件的最大正整数 n 的值为 251. 【解析】数列综合题的运算一般比较繁杂,容易出错,可以使用“特例检验法”进行检验.如第(1)问将 n=2 代入结果 an=22n-1 中进行检验:a2=22×2-1=8,符合题意;第(2)问将 n=1 代入结果 Tn=n2 中进行检验:T1=1=log22=1 符合题意;第(3) 问将 n=2 代入中间结果 中进行检验: =1- =1- 符合题意.高考对于数列的考查常与不等式相结合,但主要
还是考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和前 n 项和公式及其性质,考查运用“错位相减法”、“裂项相消法” 等求解特殊数列的和. 【备注】无 22.(1)由 f(2)=1,得 f(x)= =1,所以 2a+b=2.
(3)所给数列可推广为无穷数列{an},其中 a1,a2,…,a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,当 n≥1 时,数列 a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差为 dn 的等差数列. 20.解：(1)设等差数列 由 又∵ 即 ∴ (2) ∴ = 得: 成等比数列，∴ 得: 的公差为 , ，∴ ； ①
由
，解得
．∴
，排除；选项Ｄ中，
，排除.故选 D.【备注】无 ． 12.A【解析】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式在实际问题中的应用.由题意可知,今年年末的总产值为 1.1a 亿元,从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列,首项为 1.1a,公比为 1.1.所以其前 5 项和为 ，所以 【备注】无 S5= =11×(1.15-1)a,故选 A.
6．已知数列
B.1
C.2
D.不确定
（1）求
，
，
；（2）求证：
是等差数列；（3）求数列
的通项公式
.
, ,依它的前 10 项的规律,这个数列的第 2013 项 a2013 满足
A.0<a2013<
B. ≤a2013<1
C.1≤a2013≤10
D.a2013>10
7．求数列 1
，2
，3
，…，n
，…的前 n 项和.
列; (1)若
,
,…, =40,求 d;
是公差为 d 的等差数列(d≠0).
(1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Tn; (3)求满足(1- )(1- )…(1- )> 的最大正整数 n 的值.
(2)试写出
关于 d 的关系式,并求 , ,…,
的取值范围; 是公差为 d3 的等差数列,…,依此类推,把已知数列推广为无穷数列.
①—②得 即 由①，及 因此， 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，因为 所以当 时， ，当 综上，对任意正整数 n ，均有 ，因此， 得 是以 ，即 因为 ，于是
. ， ，
∴ (2) ，裂项相消可得 .【备注】掌握“裂项相消法”
为首项，2 为公比的等比数列， . ，所以对任意正整数 ， ，
21.(1)∵当 n≥2 时,Sn+1+4Sn-1=5Sn,∴Sn+1-Sn=4(Sn-Sn-1), 又 an=Sn-Sn-1,∴an+1=4an. ∴an=2·4n-1=22n-1. (2)由(1)得 log2an=log222n-1=2n-1, ∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+3+…+(2n-1)= =n2. ① ∵a1=2,a2=8,∴a2=4a1 满足①式,∴数列{an}是以 a1=2 为首项,4 为公比的等比数列,
=x 有唯一解,即 ax2+(b-1)x=0 有唯一解,
因为 a≠0,所以Δ=(b-1)2=0,解得 b=1, 代入①,得 a= .所以 f(x)= (2)由(1)得 xn=f(xn-1)= 所以 , + ,即 , .
所以数列{ }为等差数列.
【解析】本题考查等差数列的通项与求和，等比数列. (1)由 得 ；又∵ 成等比数列，∴ 得 ;
8．在等差数列{an}中,有 a3+a4+a5=12,那么{an}的前 7 项和 S7=
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18．已知数列
满足下列条件： 的通项公式；
，
.
20．已知公差不为 0 的等差数列
的前 项和为
,若
,且
成等比数列.
（Ⅰ）求
(1)求 (2)设
的通项公式; ,求数列 .
（Ⅱ）设
的前 n 项和为
参考答案
9.D【解析】无【备注】无 10.A【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和性质的应用.在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10 成等比数列,因为
1.D【解析】本题考查了函数的单调性问、数列的概念与性质的应用. 数列{an}是递增数列，
S10:S5=1:2,所以 S5=2S10,S15= S5,得 S15:S5=3:4,故选 A. 11.B【解析】判断 成立时 n 的值正确去掉绝对值符号，熟练掌握等比数列的通项公式、等比数列的前 n ， ，
13.768【解析】利用 Sn-Sn-1=an 可以得到 an+1 与 an 的关系,继而判断数列{an}的类型,并写出其通项公式,则 a6 易得. 由 an+1 =3Sn,得 an =3Sn-1(n ≥ 2),相减得 an+1-an =3(Sn-Sn-1)= 3an,则 an+1=4an(n ≥ 2),又 a1=1,所以 a2=3,则 a6= a2·44=768. 14.100【解析】因为正项数列{ }为“调和数列”,所以 bn+1-bn=d,即数列{bn}为等差数列,由等差数列的性质,得 b1+b2+…+b9=9b5=90,所以 b5=10,则 b4+b6=2b5=20,所以 b4b6=b4(20-b4)=大值 100. 15.6【解析】设等差数列{an}的公差为 d,则由题意可得 Sn=na1+ n(n-1)d=n2-12n=(n-6)2-36,故当 n=6 时,Sn 最小.
(3)续写已知数列,使得
22．已知 f(x)=
(a,b 为常数,a≠0)满足 f(2)=1,且 f(x)=x 有唯一解.
(1)求 f(x)的解析式; (2)如果数列 xn=f(xn-1),且 xn>0(n≥2,n∈N*),求证:数列{ }为等差数列.
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(3)(1- )(1- )…(1- )=(1- )(1- )…(1- )=(1- )(1+ )(1- )(1+ )(1- )(1+ )…(1- )(1+ ) 时，显然有 . . = 令 通项公式，结合 ×…× ,解得 n< . = .
【解析本题主要考查数列的递推公式、通项公式等比数列性质以及数列的求和.(Ⅰ)根据 ，构造等比数列即可证明，结合等比数列来求通项公式；(Ⅱ)根据 放缩法和等比数列的前 项和来证明. 【解析】无【备注】本题是数列的常考题型，需要熟练的掌握已知递推公式来求通项公式的方法，把握数列求和 有关的不等式的证明，常用是放缩法、错位相减法、裂项相消法以及构造函数法. 19.(1)由题意知 a10=10,a20=10+10d=40,解得 d=3. (2)a30=a20+10d =10(1+d+d )(d≠0),即 a30=10[(d+ ) + ],当 d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈[7.5,+∞)且 a30≠10.
且 an=
(n∈N*),则
，
项和公式是解题的关键．设正项等比数列{an}的公比为 ，解得 ．∴
解得 1＜λ＜ ，∴λ的取值范围是（1， ）．【备注】函数、数列 2.D【解析】本题考查求数列的通项.解答本题时要注意可以采用排除法进行选择.当 ，排除；选项 B 中， 选项 B 中， ，选项 C 中 时，选项 A 中 .当 时，
