算法分析与设计习题集整理

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第一章算法引论

一、填空题：

1、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂度和空间复杂度。

2、多项式10()mmAnanana的上界为O(nm)。

3、算法的基本特征：输入、输出、确定性、有限性。

4、如何从两个方面评价一个算法的优劣：时间复杂度、空间复杂度。

5、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n3) 。

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

{c[i][j]=0;

for(k=1;k<=n;k++)

c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];

}

6、描述算法常用的方法：自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD图。

7、算法设计的基本要求：正确性 和 可读性。

8、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n2) 。

for（i＝1；i

{ y=y+1;

for（j＝0；j <=2n；j++ ）

x＋＋；

}

9、计算机求解问题的步骤：问题分析、数学模型建立、算法设计与选择、算法表示、算法分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制。

10、算法是指解决问题的 方法或过程 。

11、算法由操作、控制结构、数据结构三要素组成。

二、简答题：

1、按照时间复杂度从低到高排列：O( 4n2)、O( logn)、O( 3n)、O( 20n)、O( 2)、O( n2/3),

O( n!)应该排在哪一位？

答：O( 2)，O( logn)，O( n2/3)，O( 20n)，O( 4n2)，O( 3n)，O( n!)

2、什么是算法？算法的特征有哪些？

答：1）算法：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。

2）特征：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)确定性 ； ４)有穷性

3、给出算法的定义？何谓算法的复杂性？

计算下例在最坏情况下的时间复杂性？

for(j=1;j<=n;j++) (1) for(i=1;i<=n;i++) (2)

{c[i][j]=0; (3)

for(k=1;k<=n;k++) (4)

c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } (5)

答：1）定义：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

2）算法的复杂性：指的是算法在运行过程中所需要的资源（时间、空间）多少。

所需资源越多，表明算法的复杂性越高

3）该算法的主要元操作是语句5，其执行次数是n3次。 故该算法的时间复杂度记为O(n3).

4、算法A和算法B解同一问题，设算法A的时间复杂性满足递归方程1n , n)2/n(T4)n(T 1n , 1)n(T，算法B的时间复杂性满足递归方程1n , n)4/n(aT)n(T 1n , 1)n(T，若要使得算法A时间复杂性的阶高于算法B时间复杂性的阶，a的最大整数值可取多少？

答：分别记算法A和算法B的时间复杂性为)n(TA和)n(TB，解相应的递归方程得：

)n(O)n(T2A

4a , )n(O4a , )nlogn(O4a , )n(O)n(TalogB4

依题意，要求最大的整数a使得)n(TB〈)n(TA。显然，当a<=4时，)n(TB〈)n(TA；当a>4时，)n(TB〈(n)TA 2alog4 a<24=16。

所以，所求的a的最大整数值为15。

5、算法分析的目的？

答：1)为了对算法的某些特定输入，估算该算法所需的内存空间和运行时间；

2)是为了建立衡量算法优劣的标准，用以比较同一类问题的不同算法。

6、算法设计常用的技术？（写５种）

答： ①分治法; ②回溯法； ③贪心法； ④动态规划法

⑤分治限界法 ； ⑥蛮力法； ⑦倒推法

三、算法设计题

1、蛮力法：百鸡百钱问题？

2、倒推法：穿越沙漠问题？

第二章 分治算法（1）----递归循环

一、填空题：

1、直接或间接地调用自身的算法称为 递归算法 ，用函数自身给出定义的函数称为 递归函数 。

2、递归方程 和 约束函数（递归终止条件）是递归函数的两个要素。

二、判断题：

1、所有的递归函数都能找到对应的非递归定义。 （ √ ）

2、定义递归函数时可以没有初始值。 （ X ）

三、简答题：

1、什么是递归算法？递归算法的特点？

答：1 )递归算法:是一个模块（函数、过程）除了可调用其它模块（函数、过程）外，还可以直接或间接地调用自身的算法。

2) 递归算法特点：

①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否则，递归函数无法计算；（递归终止条件）

②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值；（递归方程式）

2、比较循环与递归的异同？

答：

1) 相同：

递归与循环都是解决“重复操作”的机制。

2) 不同：

就效率而言，递归算法的实现往往要比迭代算法耗费更多的时间（调用和返回均需要额外的时间）与存贮空间（用来保存不同次调用情况下变量的当前值的栈栈空间），也限制了递归的深度。

每个迭代算法原则上总可以转换成与它等价的递归算法；反之不然 。

递归的层次是可以控制的，而循环嵌套的层次只能是固定的，因此递归是比循环更灵活的重复操作的机制。

3、递归算法解题通常有三个步骤？

答： 1）分析问题、寻找递归：找出大规模问题与小规模问题的关系，这样通过递归使问题的规模逐渐变小。

2）设置边界、控制递归：找出停止条件，即算法可解的最小规模问题。

3）设计函数、确定参数：和其它算法模块一样设计函数体中的操作及相关参数。

四、算法设计题： 1、楼梯上有n个台阶，上楼时可以上1步，也可以上2步，设计一递归算法求出共有多少种上楼方法F(n)。

①写出F(n)的递归表达式？

②并写出其相应的递归算法？

解：①写出F(n)的递归表达式

分析：到n阶有两种走法：

1）n-1阶到n阶；

2）n-2阶到n阶；

1 n=1

F(n) ＝ 2 n=2

F(n-1) + F(n-2) n>2

②写出其相应的递归算法？

Int F(int n)

{

if(n=1) return 1;

else if(n=2)

return 2;

else

return F(n-1)+ F(n-2);

}

2、设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：

规则1：每次只能移动1个圆盘；

规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；

规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。

①写出该问题的解题步骤？

②并写出其相应的递归算法？

解：

①第一步：将n－1个盘子看成一个整体，从A移到C；

第二步：将第n个盘子移到B;

第三步：将n－1个盘子看成一个整体，从C移到B；

②写出其相应的递归算法：

void hanoi(int n, int a, int b, int c)

{if (n > 0)

{

hanoi(n-1, a, c, b);

move(a,b);

hanoi(n-1, c, b, a);

} }

第二章 分治算法（2）分治算法

一、填空题：

1、在快速排序、插入排序和合并排序算法中， 插入排序 算法不是分治算法。

2、合并排序算法使用的是 分治 算法设计的思想。

3、二分搜索算法是利用 分治 算法思想设计的。

二、简答题：

1、适合用分治算法求解的问题具有的基本特征？

答：1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决;

2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；

3）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

4）利用该问题分解出子问题解可以合并为该问题解;

2、分治算法基本思想，解题步骤？

三、算法设计题：

1、改写二分查找算法：

设a[1…n]是一个已经排好序的数组，改写二分查找算法，使得当搜索元素x不在数组中时，返回小于x的最大元素位置i，和大于x的最小元素位置j；当搜索元素x在数组中时，i和j相同，均为x在数组中的位置。

并分析其时间复杂度？

解：int binsearch( int a[n], int x ,) //x待查数据

{int mid, i , j; low=1;

int high=n;

while(low<=high)

{mid=(low+high)/2;

if(a[mid]=x) return i=j=mid;

if(a[mid]>x) high=mid-1; //继续在左边查找

else // (a[mid]

low=mid+1; //继续在右边查找

}

i=right; j=left;

return 0；//low大于high查找区间为空，查找失败