小学奥数-几何五大模型

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::SSSS或者1324SSSS

②1243::AOOCSSSS

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【分析】 根据蝴蝶定理求得3121.5AODS△平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC？

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCSV，那么6BGCSV；

⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AGGC． (？？？)

【例 2】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSSVV，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

解法一：∵::1:3ABDBDCAOOCSS，

∴236OC，

∴:6:32:1OCOD．

解法二：作AHBD于H，CGBD于G．

∵13ABDBCDSS，

任意四边形、梯形与相似模型 ∴13AHCG，

∴13AODDOCSS，

∴13AOCO，

∴236OC，

∴:6:32:1OCOD．

【例 3】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积。

【解析】 ⑴根据题意可知，BCD△的面积为244616，那么BCO△和CDO的面积都是1628，所以OCF△的面积为844；

⑵由于BCO△的面积为8，BOE△的面积为6，所以OCE△的面积为862，

根据蝴蝶定理，::2:41:2COECOFEGFGSS，所以::1:2GCEGCFSSEGFG，

那么11221233GCECEFSS．

【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【解析】 在ABEV，CDEV中有AEBCED，所以ABEV，CDEV 的面积比为()AEEB:()CEDE。同理有ADEV，BCEV的面积比为():()AEDEBEEC。所以有ABESV×CDESV=ADESV×BCESV，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即6ABESV=7ADESV，所以有ABEV与ADEV的面积比为7:6，ABESV=7392167公顷，ADESV=6391867公顷。

显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 。

【解析】 连接AD、CD、BC。

则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：41122，ACD的面积为：3313.52，ABD的面积为：42132．

所以::2:3.54:7ABCACDBOODSS，所以44123471111ABOABDSS．

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积。

【解析】 因为:2:5BDCE，且BD∥CE，所以:2:5DAAC，525ABCS，510277DBCS．

【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD中，2BEEC，CFFD，求三角形AEG的面积．

【解析】 连接EF．

因为2BEEC，CFFD，所以1111()23212DEFABCDABCDSSSWW． 因为12AEDABCDSSW，根据蝴蝶定理，11::6:1212AGGF，

所以6613677414AGDGDFADFABCDABCDSSSSSWW．

所以1322 21477AGEAEDAGDABCDABCDABCDSSSSSSWWW，

即三角形AEG的面积是27．

【例 7】 如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．

【解析】 连接AE，FE．

因为:2:3BEEC，:1:2DFFC，所以3111()53210DEFABCDABCDSSSV长方形长方形．

因为12AEDABCDSSV长方形，11::5:1210AGGF，所以510AGDGDFSSVV平方厘米，所以12AFDSV平方厘米．因为16AFDABCDSSV长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．

【例 8】 如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积．

【解析】 设BD与CE的交点为O，连接BE、DF．

由蝴蝶定理可知::BEDBCDEOOCSSVV，而14BEDABCDSSVW，12BCDABCDSSVW，

所以::1:2BEDBCDEOOCSSVV，故13EOEC．

由于F为CE中点，所以12EFEC，故:2:3EOEF，:1:2FOEO．

由蝴蝶定理可知::1:2BFDBEDSSFOEOVV，所以1128BFDBEDABCDSSSVVW，

那么11110106.2521616BGDBFDABCDSSSVVW（平方厘米）．

【例 9】 如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是3、2、1，则MNC的面积是 ．

【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．

根据蝴蝶定理得 31322AOMBONMONAOBSSSS

设MONSx，根据共边定理我们可以得

ANMABMMNCMBCSSSS，33322312xx，解得22.5x．

【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形123456AAAAAA的面积是2009平方厘米，123456BBBBBB分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．

【解析】 如图，设62BA与13BA的交点为O，则图中空白部分由6个与23AOA一样大小的三角形组成，只要求出了23AOA的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．

连接63AA、61BB、63BA．

设116ABB的面积为”1“，则126BAB面积为”1“，126AAB面积为”2“，那么636AAB面积为126AAB的2倍，为”4“，梯形1236AAAA的面积为224212，263ABA的面积为”6“，123BAA的面积为2．

根据蝴蝶定理，12632613:1:6BABAABBOAOSS，故23616AOAS，123127BAAS，

所以23123612::12:1:77AOAAAAASS梯形，即23AOA的面积为梯形1236AAAA面积的17，故为六边形123456AAAAAA面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147，所以阴影部分面积为32009111487(平方厘米)．

板块二 梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

①2213::SSab

②221324::::::SSSSababab；

③S的对应份数为2ab．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

【例 11】 如图，22S，34S，求梯形的面积．

【解析】 设1S为2a份，3S为2b份，根据梯形蝴蝶定理，234Sb，所以2b；又因为22Sab，所以1a；那么211Sa，42Sab，所以梯形面积123412429SSSSS，或者根据梯形蝴蝶定理，22129Sab．

【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB△与BOC△的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．

【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOBBOCSSaabVV，可得:5:7ab，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOBDOCSSabVV，所以49DOCSV(平方厘米)．那么梯形ABCD的面积为25353549144(平方厘米)．

【例 12】 梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的23，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．

【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOBBOCSSabbVV，可以求出:2:3ab，

再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AODBOCSSabVV．

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．

【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知1AO，并且35ABDCBD三角形的面积三角形的面积，那么OC的长是多少？