21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1. 公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式 ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
2. 应用公式法求解一元二次方程的步骤及实例：通过具体实例，让学生掌握如何将一元二次方程转化为标准形式，并运用公式求解。同时，讨论判别式 b^2 - 4ac 的值对方程解的性质的影响，分为有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和无实数根三种情况。
二、核心素养目标
1. 让学生掌握一元二次方程公式法的基本概念和求解步骤，培养其逻辑思维能力和数学运算能力。
2. 培养学生将实际问题抽象为一元二次方程，并运用公式法解决问题的能力，提升数学建模素养。
3. 通过对判别式 b^2 - 4ac 的讨论，培养学生分析问题和解决问题的能力，提高数学推理素养。
4. 引导学生在解决问题过程中体会数学的严谨性和应用的广泛性，培养数学抽象、数学思维和数学应用的核心素养。
5. 培养学生合作交流、勇于探索的精神，提高数学探究和数学交流的核心素养。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 理解并掌握一元二次方程的标准形式及其求解公式。
- 学会运用公式法求解一元二次方程的步骤，包括将方程化为标准形式、计算判别式、根据判别式的值求解方程。
- 掌握判别式 b^2 - 4ac 的值对方程解的性质的影响，能够根据判别式的值判断方程解的情况。
举例：对于方程 3x^2 - 4x - 7 = 0，学生需要能够将其识别为标准形式的一元二次方程，并正确应用公式求解，得出 x = (4 ± √52) / 6。
2. 教学难点
- 公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
－ 1 － 第二讲 一元二次方程的应用
【基础回顾】
1.（1）若方程1531xxkk是关于x的一元二次方程，求k的值为____________
（2）已知x1=－1是方程052mxx的一个根，则m的值为________，方程的另一根是______.
（3）已知关于x的方程2690kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
(4)已知方程2520xx的两个解分别为1x、2x，则1212xxxx的值为（ ）。
A．7 B．3 C．7 D．3
（5）已知三角形两边长是方程2560xx的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是_____________;
2.解方程
（1）210x （2）01422xx （3）0542xx
【例题讲解】
【例1】(1)如果一人患上流感，经过两轮传染后，共有256人患了流感．按照这样的传染速度，三轮传染后共有多少人患流感？
(2)某一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111．每个支干长出多少小分支？
－ 2 － (3)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
(4)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为 .
(5) 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
一元二次方程的应用（共2课时）
诸城市枳沟初中 丁刚
一．学习目标：
1. 经历把实际问题中的等量关系抽象为一元二次方程的过程，体会方程是转化现实数量关系的有效数学模型。
2. 会列一元二次方程解决简单的实际问题，培养应用意识和分析问题以及解决实际问题的能力。
3. 会根据实际问题的意义，检验方程的解是否符合题意，做到理论联系实际。
二．重点难点
重点：熟练分析并总结一元二次方程中面积问题、增长率问题和商品销售问题的解决步骤与方法
难点：准确分析等量关系列出方程并准确求解和检验。
、
【第1课时】——（面积、增长率问题）
教学过程
1.知识对接，温故达标；
复习提问：列方程解应用题的一般步骤
【时间5分钟】
（小组成员交流归纳，由一名成员展示，再在班内交流补充）
教师总结：【时间2分钟】
（1）分析题意，找出等量关系，分析题中的数量及其关系，用字母表示问题里的未知数；
（2）根据等量关系列出方程；
（3）解方程，求出未知数的值； 2.自主学习，整体感知；
预习例题1
按解方程的步骤设未知量根据等量关系列出方程。【8分钟】
例题1、有一块长方形的铁皮，长40厘米，宽30厘米,现在把它的四角各剪去一个小方块，然后把四边折起来做成一只没有盖的盒子，使这个盒子的底面积是原来铁皮面积的一半，求盒子的高。
【要求】先独立思考，然后小组讨论应该设哪个量为未知量，应该根据哪个等量关系列方程。
未知量：盒子的高
等量关系：盒子的底面积=1/2矩形铁片的面积
3.自主交流，赏评互补；
（选一个小组展示，其余小组补充纠正） 【5分钟】
展示时，让学生画图结合语言叙述已知条件以及方程的列出。
设小方块的边长即盒子的高为X
(40*30)/2=(40-2X)(30-2X)
4.自主合作，探究新知；-----【10分钟】
小组合作求方程的解，并注意验证方程的解是否符合题意。
参照例题1的方法与步骤，小组自行解决例题2增长率问题。
1 / 3 一元二次方程的应用题
本节课的内容涉及三方面的内容：数字问题、面积问题、增长率或降低率的问题。下面就这三方面的内容作进一步的说明和补充。
一、数字问题
解决此类问题的关键是正确而巧妙地设未知数，一般采用间接设的方法。多位数字用各数位上的数字与其数位值的乘积的和表示，如百、十、个位数字分别为a,b,c的三位数可表示为100a + 10b + c。
注意：
1、连续整数的表示方法：通常设中间的数为x，再用含x的代数式表示其他的数，根据连续整数相邻两个数相差1的特征，可分别设前一个数为x—1，后一个数为x+1。
2、连续奇（偶）数的表示方法：通常设中间一个数为x，再用含x 的代数式表示其他的数，根据 连续奇（偶）数相邻两个数相差2的特征，可分别设前一个数为x-2，后一个数为x+2。
二、面积问题
面积问题是一元二次方程中常见的问题，通常是求线段的长度，如长方形的长或宽等等。此类问题的等量关系即为几何图形的面积公式，如长×宽=长方形面积。解决此类问题的关键就是如何用未知数x表示公式中的未知量，如利用未知数表示长方形的长或宽。
三、增长率、降低率的问题
1、增长率问题是在某个数据的基础上，连续增长两次得到新的数据。此类问题的等量关系是a（1+增长率）2=b，其中a表示增长前的数据，b表示增长后的数据。
2、降低率问题是在某个数据的基础上，连续降低两次得到新的数据。此类问题的等量关系是a（1-降低率）2=b，其中a表示降低前的数据，b表示降低后的数据。
四、补充相关中考新题型
1、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
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某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游，
