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第四讲 边角混合问题

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第 1 页 共 4 页 第四讲 边角混合问题

一 学习目标

1.能熟练地解决边角混合问题

二 知识梳理及拓展

边角互化

(1) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C

(2) sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R

三 考点梳理

考点1：化边

【例1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【例2】若△ABC的内角满足CBAsin2sin2sin,则Ccos的最小值是 .

【例3】已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，a=2，且(2)(sinsin)()bABcbC，则ABC面积的最大值为 .

考点2：化角

【例4】在ABC中，角CBA,,所对应的边分别为cba,,，已知bBcCb2coscos，则ba .

【例5】ABC的内角A， B，C的对边分别别为a， b，c，已知2cos(coscos).CaB+bAc ———————————————————————————————————————————————————————————————————————————

第 2 页 共 4 页 （1）求C；

（2）若7c，ABC的面积为332，求ABC的周长．

【例6】在ABC中，角A， B，C的对边分别别为a， b，c，已知

cosAtanB+cosBtanA=tanB)+2(tanA

（1）证明：2abc；

（2）求Ccos的最小值．

四 课后习题

1．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设———————————————————————————————————————————————————————————————————————————

第 3 页 共 4 页 ABC三个内角ABC、、所对的边分别为abc、、，面积为S，则 “三斜求积”公式为222222142acbSac.若222sin4sin12aCAacb，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为（ ）

A. 3 B. 2 C. 3 D. 6

2．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )．

A．90° B．120° C．135° D．150°

3．在△ABC中,A最大,C最小,且A=2C,a+c=2b,求此三角形的三边之比.

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第 4 页 共 4 页 课后习题答案

1.答案 A 解析 根据正弦定理：由a2sinC=sinA，得ac=4,则由(a+c)2=12+b2得a2+c2-b2=4,

则S△ABC=3

2.答案 B 解析 根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，由余弦定理可得，cosθ=21，则θ=60°，所以他们的和为120°

3.由正弦定理得

ac=CAsinsin=CCsin2sin=2cosC,即cosC=ca2.

由余弦定理得

cosC=abcba2222=abbcaca2))((2,

∵a+c=2b

∴cosC=ab22ca*bc)-2b(a=acaca22)(2

∴ca2=acaca22)(2

整理得2a2-5ac+3c2=0

计算得出a=c23,a=c（舍去，因为A=2C）

又a+c=2b

所以a:b=6:5

所以a:b:c = 6:5:4

所以三角形的三边之比为6：5：4.

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专题1-4 边角边判定三角形全等-重难点题型(举一反三)(苏科版)(解析版)

专题1-4 边角边判定三角形全等-重难点题型(举一反三)(苏科版)(解析版)

专题1.4 边角边判定三角形全等-重难点题型

【苏科版】

【知识点1 基本事实“边角边”（SAS）】

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.

【题型1 边角边判定三角形全等的条件】

【例1】（2021春•锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）

A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC

C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC

【分析】由AB＝DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等．

【解答】解：A、若AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．

B、若AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；

C、若AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；

D、若AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意； 故选：A．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．

【变式1-1】（2020秋•喀什地区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）

A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB

【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．

【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，

∴△ABC≌△DCB（SAS），

故选：A．

【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

第4讲.四边形综合.尖子班.教师版

第4讲.四边形综合.尖子班.教师版

1 四边形综合（提高班）(教师)

在近年的中考试题中，几何内容的考查在不断推陈出新，但经典题型——动手操作题却经久不衰，大量出现在各地的中考试卷上．这种题型充分考查了学生的想象能力、构图能力及动手操作能力，主要有以下三个考查方式：

1图形折叠

图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．

图形的折叠问题分两大类题型：

⑴考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，既对应边相等，对应角相等；

⑵考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连成的线段且平分对应边所形成的夹角．

2图形分割

近年中考中图形分割的基本类型有：

⑴把图形分割成面积相等的几部分（等面积）；

⑵把图形分割成形状相同的几部分（相似或全等）；

⑶把图形分割成轴对称或中心对称图形（等腰三角形或特殊四边形）；

⑷把图形分割成满足特定要求的几部分．

思路：只要抓住分割后图形的特殊性即可．

3图形剪拼

图形剪拼是一种常见的几何题目，“剪”就是将整体的图形分割为各个部分；而“拼”则是把若干分散的图形组合成为一个整体图形．

思路：此类问题一般只需根据剪拼过程中面积不变即可．

典题精练

【例1】 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求折痕MN的长度．

NMFEDCBAHNMFEDCBA

【解析】 方法一：如图1，作MH∥BC，MN是折痕，则MNDE

只需证明MHNDCE△≌△得出MNDE，由勾股定理求出45DE，

所以45MN．

方法二：延长NE交AB延长线于点H，由题意可知

3NC，4CE，5NE

∴NECHEB△≌△，5HE，10HN

∵DNMENM，ABCD∥，∴10MHNH，10MH

作NKAH，3KBBH，4MK，8KN∴45MN

【点评】 此题是一道非常典型的考察折痕的问题，方法一是应用折痕垂直平分对应点连线段，应用正方形的一个经典模型，将MN转化，方法二是折痕平分对应边所成的夹角，和平行线一起构成等腰三角形，建议老师仔细讲解此题．

第四章三角形-三角形全等边角边(教案)

第四章三角形-三角形全等边角边(教案)

第四章三角形-三角形全等边角边（教案）

一、教学内容

第四章三角形-三角形全等边角边：本节课我们将围绕教材中关于三角形全等的“边角边”（SAS）判定定理进行深入学习。内容包括：

1. 理解并掌握“边角边”（SAS）判定两个三角形全等的方法。

2. 能够运用“边角边”（SAS）定理解决实际问题，如确定两个三角形的全等关系。

3. 通过具体实例，分析三角形全等在实际生活中的应用，如建筑、工程测量等领域。

4. 学会利用“边角边”（SAS）定理证明一些特定的几何问题，如证明两条线段相等，两个角相等等。

二、核心素养目标

本节课的核心素养目标旨在培养学生的几何直观、逻辑推理和数学建模能力。通过学习三角形全等边角边（SAS）定理，使学生能够：

1. 发展几何直观，通过观察和操作，理解几何图形的性质，感知图形之间的内在联系，为逻辑推理奠定基础。

2. 加强逻辑推理能力，学会运用“边角边”（SAS）定理进行严谨的证明，提高解决几何问题的能力。

3. 培养数学建模素养，将实际问题抽象为几何模型，运用三角形全等知识解决现实生活中的问题，体会数学与现实生活的密切联系。

4. 激发学生的探究精神，鼓励他们在解决几何问题时，勇于尝试、善于合作，培养良好的学习习惯和团队协作能力。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 核心内容：本节课的教学重点是使学生掌握“边角边”（SAS）判定两个三角形全等的方法，并能够运用此方法解决相关问题。

- 细节列举：

a. 理解“边角边”（SAS）判定定理的概念，即两个三角形中，如果两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。

b. 学会通过实际操作和观察，识别出几何图形中符合“边角边”（SAS）条件的部分，进而判定三角形全等。

c. 掌握使用“边角边”（SAS）定理进行证明的基本步骤和逻辑结构，包括画图、标出已知和求证的信息、运用定理进行推理等。

举例：在证明一个三角形的两个角和一边分别等于另一个三角形的两个角和一边时，学生需要能够准确地应用“边角边”（SAS）定理，并清晰地展示证明过程。

4.3.3利用“边角边”判定三角形全等(教案)

4.3.3利用“边角边”判定三角形全等(教案)

4.3.3利用“边角边”判定三角形全等（教案）

一、教学内容

本节课选自八年级数学教材《几何》第四章第三节，主要围绕“利用‘边角边’判定三角形全等”的内容展开。教学内容包括：

1. 掌握“边角边”（SAS）全等条件，即两个三角形中有两边及其夹角对应相等时，可以判定这两个三角形全等。

2. 学会运用“边角边”全等条件解决实际问题，如计算三角形边长、角度等。

3. 能够运用“边角边”判定方法，分析并解决一些简单的几何问题。

4. 通过实际例题，让学生体会“边角边”全等条件在几何证明中的应用价值。

本节课将结合实际例题，引导学生运用“边角边”全等条件，培养他们的逻辑思维能力和几何直观能力。

二、核心素养目标

本节课的核心素养目标如下：

1. 培养学生的几何直观能力，通过观察、分析、判断三角形全等的问题，提高他们对几何图形的认识和理解。

2. 培养学生的逻辑思维能力，学会运用“边角边”全等条件进行严谨的推理和证明，形成完整的解题思路。

3. 培养学生的数学建模能力，将实际问题转化为数学模型，运用“边角边”全等条件解决问题，提高解决实际问题的能力。

4. 培养学生的团队协作和交流表达能力，通过小组讨论、课堂分享，促进学生之间的相互学习和共同进步。

本节课将紧扣核心素养目标，结合教材内容，注重培养学生的综合能力和几何学科素养。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 理解并掌握“边角边”（SAS）全等条件：即两个三角形中有两边及其夹角对应相等时，可以判定这两个三角形全等。

- 学会运用“边角边”全等条件解决实际问题，如证明线段相等、角度相等等。

- 能够识别并构造满足“边角边”全等条件的几何图形，用于解决复杂几何问题。

举例：在例题中，给定三角形的两边和它们之间的夹角，要求证明另一三角形与给定三角形全等。此时，教师应重点讲解如何识别已知信息中的“边角边”关系，并指导学生运用这一条件进行证明。

2. 教学难点