一维P—Laplacian算子的非线性三点边值问题解的存在性

一维奇异p-Laplacian三点边值问题正解的存在性白杰;祖力【摘要】利用非线性Leray-Schauder抉择定理和锥不动点定理,在假设条件下证明一维非线性奇异p-Laplacian三点边值问题解的存在性.结果表明,在区间(O,1]上至少存在一个正解.%By means of nonlinear Leray-Schauder alternative theorem and fixed point theorem in cones, thernauthors proved the existence of the solutions for one-dimensional singular p-Laplacian three-point boundaryrnvalue problems under assumptive conditions. There is at least one positive value in the interval from zero tornone.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)004【总页数】7页(P621-627)【关键词】Leray-Schauder抉择定理;锥不动点定理;奇异边值问题;正解的存在性【作者】白杰;祖力【作者单位】东北师范大学人文学院信息技术学院,长春130117;长春大学理学院,长春130022;东北师范大学数学与统计学院,长春130024【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言关于一维p-Laplacian边值问题的研究目前已有许多结果[1-10]. 翁世有等[8]利用Schauder不动点原理和非线性Leray-Schauder抉择定理建立了一维p-Laplacian奇异边值问题解的一些存在性原则; Agarwal等[11-12]利用Leray-Schauder抉择定理得到了p=2时正解的存在性.考虑如下奇异边值问题:(1)其中: Φ(s)=s; p>1; q(t)在t=0处有奇性; 非线性项f可能在u=0 处有奇性. 本文应用文献[11-12]的方法, 证明p>1时问题(1)存在正解.1 预备知识假设：(H1) q(t): (0,1)→(0,∞)连续, 并且存在0≤α<p-1, 使得tαq(t)dt<∞成立;(H2) f(u)=g(u)+h(u), 其中: g>0在(0,∞)上连续且单调不增; h≥0在[0,∞)上连续; 且h/g在(0,∞)上单调不减;(H3) 存在一个常数r>0, 使得(2)成立, 其中Φ-1(u) ∶=sgn u是Φ(u)的反函数.例如, 当α∈(a-1,p-1)∩[0,p-1)时, 函数q(t)=t-a(0<t<1, 0≤a<p)满足条件(H1). 注1 容易验证条件(H1)表明若函数u(t)满足下列条件, 则u(t)是问题(1)的一个正解:1) u∈C[0,1]∩C1(0,1];2) 对任意的t∈(0,1], 有u(t)>0, 并且u(0)=0, u(1)=u(ξ), 0<ξ<1;3) Φ(u′(t))在(0,1)上一致绝对连续, 且(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1.定义1[13] 设X为实Banach空间, K是X中的闭凸子集, 若K满足下列条件, 则称K是X中的闭锥(简称锥):1) 若x∈K, λ≥0, 则λx∈K;2) 若x∈K, -x∈K, 则x=0.引理1(非线性Leray-Schauder抉择定理)[14] 假设K为Banach空间E的一个凸集, Ω为K的一个相对开子集, 0∈Ω, 映射为一个紧算子, 则下列条件必有一个成立:1) A在上有一个不动点;2) 存在x∈∂Ω和0<λ<1, 使得x=λA(x).定义C[0,1]中锥K为: K ∶={u∈C[0,1]: u(t)是非负的凹函数}.引理2 令h(t): (0,1)→(0,∞)连续, 且存在0≤α<p-1, 使得tαh(t)dt<∞, 则(3)存在唯一的正解V∈C[0,1]∩C1(0,1].证明：先证解的存在性.当0<t≤1时, 设显然, 由注1知, y(t)在(0,1]上连续严格增, 且y(ξ)<0<y(1). 因此, y(t)在(0,1)上只有一个零点. 令σ是y(t)在(0,1)上的唯一零点. 则令(4)则V在(0,1]上有定义, 且在(0,1]上V(t)>0. 进一步, 有(5)由(H2)知, 对0<t≤σ, 有则V(0)=0.类似可得V(1)=V(ξ). 因此, V(t)在[0,1]上连续, 且V(0)=0, V(1)=V(ξ); [Φ(V′(t))]′=-h(t), t∈(0,1).由比较原理易证唯一性. 证毕.令n≥4是一个固定的自然数. 对每个u∈K, 考虑如下问题:(6)其中F(u)=g*(u)+h(u), 满足注2 g*(u)≤g(u), ∀u∈(0,∞).由引理2, 可得:引理3 对每个固定的u∈K, 边值问题(6)存在唯一的解:w(t)=(Ψu)(t), w∈K,其中(7)σu∈(0,1)为如下方程在0≤τ≤1时的唯一解:对u∈K, 由w和Ψ的定义知:1)2) 在(0,1)中, (Φ(w′(t)))′=-q(t)F(u(t)), 且w(0)=1/n, w(1)=w(ξ);3) w=Ψu∈K, ‖w‖=w(σu).表明w(t)是问题(6)的一个解, 且为定义在[0,1]上的凹函数.类似文献[7]中引理2.6～引理2.9的证明方法, 可得下列引理.引理4 令wi(t)是F=Fi(i=1,2)时问题(6)的一个解. 如果F1≤F2, 则w1(t)≤w2(t).引理5 设[a,1]⊂(0,1]是一紧区间, 且令w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w′(t)≤C(a,M), a≤t≤1.其中: M是一个正常数; C(a,M)是一个与a,M有关的正常数.注3 设w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w(t)≤1/n+VM(t), 即(Ψu)(t)≤1/n+VM(t).注4 设w(t)是F(u)≥m时问题(6)的一个解, 则w(t)≥1/n+Vm(t), 即(Ψu)(t)≥1/n+Vm(t).引理6 对任意有界闭子集Ω⊂K, 集合Ψ(Ω)在[0,1]上等度连续.引理7 对任意的有界闭子集Ω⊂K, 映射Ψ: Ω→K是连续的.综合引理3～引理7, 可得:引理8 Ψ: K→K是全连续的.2 主要结果定理1 假设条件(H1)～(H3)成立, 则在区间(0,1]上, 系统(1)至少存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 满足u>0, 且‖u‖<r.证明: 先用引理1证明解的存在性. 选择ε>0, 且ε<r, 使得(9)选择n0∈{1,2,…}, 使得1/n0<ε. 令N+={n0,n0+1,…}.下面证明边值问题:(10)在(0,1]上有一个解: 且‖un‖<r.∀n∈N+, 为证式(10)有一个解, 需考虑如下边值问题:(11)其中F的定义见式(6).固定n∈N+. 定义为式(7), 式(7)中σu∈(0,1)为如下方程的唯一解:由引理8, 可得是全连续的.下面证明u≠λΨu, λ∈(0,1), u∈∂Ωr.(12)假设式(12)不成立, 即存在一个λ∈(0,1)和u∈∂Ωr, 使得u=λΨu, 则有(13)显然存在σn∈(0,1), 使得在(0,σn)上, u′(t)≥0; 在(σn,1)上, u′(t)≤0, 且u(σn)=‖u‖=r. 再注意到F(u(t))≤g(u(t))+h(u(t)), t∈(0,1),则当z∈(0,1)时,(14)对式(14)从t(0<t≤σn)到σn积分, 得(15)则有(16)再从0到σn积分得(17)即(18)因此(19)这与条件(9)矛盾, 于是式(12)成立.由引理1可知Ψ有一个不动点即1/n≤‖un‖≤r(注意到, 如果‖un‖=r, 则与式(14)～(19)的证明同理可得矛盾). 因为un≥1/n, 所以un(t)也是问题(10)的一个解. 由(H2), 当r>0时,g(un(t))≥g(r), f(un)=h(un)+g(un)≥g(r).则由注4, 可得(20)注5 注意到在区间(0,1]上, Vg(r)(t)>0, 则un(t)>0, t∈(0,1].下面证明{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续. 由式(14)(用un代替u), 可得(21)因为在[0,1]上, un(t)≥1/n, 则在(0,σn)上存在σn∈(0,1), 使得而在(σn,1)上, 且un(σn)=‖un‖≤r.对式(21)从t(0<t<σn)到σn积分得(22)下面证明存在a0>0, 使得a0<inf{σn: n∈N+}≤1.(23)如果式(23)不成立, 则存在N+的子列S, 使得当S中的n→∞时, σn→ 0. 对式(22)从0到σn积分得(24)其中n∈S. 因为当n→∞时, σn→ 0, 则由式(24)可得, 当n→∞时, un(σn)→ 0. 又因为un在[0,1]上σn处取得最大值, 所以当n→∞时, C[0,1]中的函数un→ 0. 这与式(20)矛盾. 表明(25)其中W(t)=q(z)dz. 由注2知, Φ-1(W)∈L1[0,1].对式(21)从σn(σn<t<1)到t积分得当σn≤t≤1时, 有(26)则式(25),(26)表明, 当t∈(0,1)时,(27)定义I: [0,∞)→[0,∞)为I(z) 注意到I: [0,∞)→[0,∞)是单调增的映射, 且I(∞)=∞, 这是因为g(u)>0在(0,∞)上单调不减, 且对任意的B>0, I在[0,B]上连续.{I(un)}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续, 其等度连续性可从下式得到(这里t,s∈[0,1]):由不等式(28)、 I-1的一致连续性及un(t)-un(s)=I-1(I(un(t)))-I(un(s))可知{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续.由Arzela-Ascoli定理, N+存在一个子列N⊂N+, 使得当n∈N, n→∞时, 存在u∈C[0,1], 使得un在[0,1]上一致收敛于u. 则由式(20)知, 在[0,1]上,un(t)≥Vg(r)(t). 特别地, 在(0,1]上, u(t)>0.固定t∈(0,1], 有(29)由式(26), 有则有一个收敛子列; 为方便, 仍用表示该子列, 并且令r0∈R表示其极限. 则对上面固定的t∈(0,1], 在N上, 令n→∞(注意到q f在紧子区间[t,1]×(0,r]上一致连续)得(30)t取遍(0,1]可得因此r0=u′(1), 从而有(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1, u(0)=u(1)-u(ξ)=0.最后易证‖u‖<r(注意到如果‖u‖=r, 与式(14)～(19)的证明同理可推出矛盾). 从而证明了问题(1)至少有一个正解u(t)∈C[0,1]∩C1(0,1], 且‖u‖<r. 证毕.3 应用实例考虑奇异边值问题:(31)其中: 0≤m<p; σ>0; α>0; β>p-1.设则b0=σ1/(p-1)b1.应用定理1可知, 如果存在r>0满足(32)则问题(31)存在一个正解.设则选择r=x0, 则式(32)成立. 显然, 定理1中的(H1)～(H3)成立. 因此, 问题(31)存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 使得在(0,1]上, u>0且‖u‖<r=x0.参考文献【相关文献】[1] XU Xian. Multiplicity Results for Positive Solutions of Some Semi-position Three-Point Boundary Value Problems [J]. J Math Anal Appl, 2004, 291(2): 673-689.[2] SUN Jing-xian, XU Xian, O’Regan D. Nodal Solutions for m-Point Boundary Value Problems Using Bifurcation Methods [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2008, 68(10): 3034-3046.[3] Gupta C P. Existence and Uniqueness Theorems for the Bending of an Elastic Beam Equations [J]. Appl Anal, 1988, 26(4): 289-304.[4] Gupta C P. Solvability of a Three-Point Nonlinear Boundary Value Problem for a Second Order Ordinary Differential Equation [J]. J Math Anal Appl, 1992, 168(2): 540-551.[5] KONG Ling-bin, WANG Jun-yu. Multiple Positive Solutions for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2000, 42(8): 1327-1333. [6] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Sin gular Dirichlet Problems [J]. J Math Anal Appl, 1999, 240(2): 433-445.[7] JIANG Da-qing, XU Xiao-jie. Multiple Positive Solutions to a Class of Singular Boundary Value Problems for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Comput Math Appl, 2004,47(4/5): 667-681.[8] WENG Shi-you, GAO Hai-yin, ZHANG Xiao-ying, et al. Existence Principles for Singular Boundary Value Prolems of One Dimension p-Laplacian [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2006, 44(3): 351-356. (翁世有, 高海音, 张晓颖, 等. 一维p-Laplacian奇异边值问题的存在性原则 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2006, 44(3): 351-356.)[9] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan, MENG Qing-yuan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions of Fourth-Order Nonlinear Singular Discrete Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Northeast Normal University: Natural Science Edition, 2010, 42(1): 5-9. (苑成军, 文香丹, 孟庆元. 奇异四阶p-Lapacian差分方程边值正解的存在唯一性 [J]. 东北师大学报: 自然科学版, 2010, 42(1): 5-9.)[10] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for Fourth-Order Nonlinear Singular Continuous Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 2009, 26(2): 190-193. (苑成军, 文香丹. 奇异四阶p-Lapacian微分方程边值正解的存在惟一性 [J]. 黑龙江大学自然科学学报， 2009, 26(2): 190-193.)[11] Agarwal R P, O’Regan D. Existence Theory for Single and Multiple Solutions to Singular Positone Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 2001, 175(2): 393-414.[12] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Singular Boundary Value Problems [J]. Proc Amer Math Soc, 2000, 128: 2085-2094.[13] 钟承奎, 范先令, 陈文源. 非线性泛函分析引论 [M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1998.[14] Agarwal R P, O’Regan D. Nonlinear Superlinear Singular and Nonsingular Second Order Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 1998, 143(1): 60-95.。

一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。

它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。

2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。

如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。

3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。

缺一不可，边值问题解才能有存在性。

4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。

这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。

5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。

这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。

6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。

一类p-Laplacian算子边值问题三个正解的存在性
李志艳;李翠哲
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2004(0)S1
【摘要】本文利用一种新的不动点定理得到了一类具有p Laplacian算子的非线性边值问题三个正解的存在性 .
【总页数】5页(P101-105)
【关键词】不动点定理;p-Laplacian算子;边值问题;正解
【作者】李志艳;李翠哲
【作者单位】北京理工大学应用数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177
【相关文献】
1.一类p-Laplacian算子分数阶q-差分系统边值问题正解的存在性 [J], 周蜜;李成福
2.一类带有p-Laplacian算子的分数阶q-差分边值问题的多重正解的存在性 [J], 林秋彤;葛琦
3.一类具p-Laplacian算子的分数阶边值问题正解的存在性 [J], 邵欣;王和香
4.一类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 段佳艳;王文霞;郭晓珍
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具P-Laplacian的三阶边值问题正解的存在性王峰;贾宝瑞;官飞【摘要】利用Guo-Krasnoselskii不动点定理,讨论了一类具P-Laplacian的边值问题正解的存在性,得到一些充分条件,扩充了以往文献的结果.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)002【总页数】5页(P125-129)【关键词】P-Laplacian;BVP;Guo-krasnoselskii不动点定理【作者】王峰;贾宝瑞;官飞【作者单位】安徽大学数学科学学院,合肥230039;安徽大学数学科学学院,合肥230039;安徽大学数学科学学院,合肥230039【正文语种】中文【中图分类】O175.8考虑如下BVP:正解的存在性.其中:具P-Laplacian算子的微分方程的边值问题在诸多领域如非牛顿力学、弹性理论等中有广泛的应用.近年来，许多学者对此类BVP正解的存在性与多重性做了一系列的研究，并取得了一些成果，参见文献［1－6］.文献［2］中，作者借助Guo-krasnoselskii不动点定理及Avery-Peterson不动点定理研究了BVP:至少一个、两个或三个正解的存在性.文献［3］与文献［4］中，作者利用Avery-Peterson不动点定理分别研究了:在多点边界条件:下多重正解的存在性.文献［5］中，在方程（3）自治的情况下研究了其在边界条件:下三个正解的存在性.显然，上述文献及相关文献中讨论的往往是二阶情况，而对三阶的情况文献还比较少，尤其是对于方程（1）中允许a（t），f（t，u，v）在t=0，t=1及u=0处奇异的情况还未有涉及.此处就是利用Guo-Krasnoselskii不动点定理讨论了式（1）（2）在上述情况下正解的存在性问题.文中总假设以下条件成立:1 预备知识定义1 设E是一个实Banach空间，如果P是E中某个非空凸闭子集，并且满足下面两个条件:（1）若x∈P，λ≥0，则λx∈P;（2）x∈P，－x∈P，则 x=0.则称P 是 E 中的一个锥.定理1 设X是一个Banach空间，P⊂X是一个锥.假设Ω1，Ω2是X中的两个有界开集，且是全连续算子，使得（i）‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω1，‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω2或（ii）‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω1，‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω2，则 T 在中至少有一个不动点.2 基本引理令Ε=C1（0，1），定义范数，则Ε按上述范数构成Banach空间.在Ε上定义锥Ρ={u（t）:u（t）≥0，u（t）在（0，1）上是凹的}.引理1 设u∈Ρ，且满足式（2），则存在常数γ＞0，使得引理 2 在条件（Η1）下，若 h（t）∈L1［0，1］，则 BVP:有唯一解其中:易知Ρ（t）为t的函数，q（s）为s的函数.引理3 设条件（Η1）－（Η3）成立，则u（t）∈C［0，1］∩C3（0，1）是式（1）（2）的一个解，当且仅当u（t）∈Ε是积分方程:的一个解.以上三个引理的证明从略.对任意u∈Ρ，定义算子Τ:Ρ→Ε引理4 设条件（Η1）－（Η3）满足，则Τ:Ρ→Ρ是一个全连续算子.证明对∀u∈Ρ，由条件（Η1）－（Η3）及式（8）可知Τu∈Ε，（Τu）（t）≥0，t∈［0，1］，且经过计算可知（Τu）″（t）≤0，故Τu在区间［0，1］上是凹函数，故Τ（Ρ）⊂Ρ.下证算子Τ:Ρ→Ρ是一个全连续算子.设D是Ρ的任一有界集，则∃Μ＞0，使得D⊂{u∈Ρ:u≤Μ}.则可取u，v），从而对∀u∈D，有:可知Τ（Ρ）是等度连续的，从而由Ascoli-Arzela定理可知Τ（Ρ）为列紧的.再由Lebesgue控制收敛定理知，Τ是连续的.因此Τ:Ρ→Ρ是全连续的.证毕.3 主要结论定理2 在条件（H1）－（H3）下，当f∞ ＞0，f0＜∞时，如果λ∈（a，b），那么式（1）（2）至少存在一个正解，其中:证明（I）由λ∈（a，b）可知，∃ε ＞0，使得aε≤λ≤bε，其中从而根据Guo-Krasnoselskii不动点定理，Τ至少存在一个不动点u*∈Ρ∩（\Ω1），且据（Τu*）″（t）≤0及定义的Ρ，Ω1，Ω2可知，u*（t）是式（1）（2）的一个正解.证毕参考文献:【相关文献】［1］SUN B，GE W G.Existence and iteration of positive solutions for some p-Laplacian boundary value problems［J］.Nonlinear Analysis，2007（67）:1820-1830［2］WANG Z F，ZHANG J H.Positive solutions for one-dimensional p-Laplacianboundary valve problems with dependence on the first order derivative［J］.J Math Anal Appl，2006（314）:618-630［3］JI D H，GE W G.Multiple positive solutions for some p-Laplacian boundary valve problems［J］.Appl Math Compu，2007（187）:1315-1325［4］WANG Y Y，GE W G.Multiple positive solutions for multipoint boundary valve problems with one-dimensional p-Laplacian［J］.J Math Anal Appl，2007（327）:1381-1395［5］LI X F.Multiple positive solutions for some four-point boundary valve problems with P-Laplacian［J］.Appl Math Compu，2008（202）:413-426［6］郭大钧.非线性泛函分析［M］.济南:山东科学技术出版社，2001。

带p-Laplacian算子的三阶微分方程边值问题正解的存在性郭彦平;李春景;韩迎迎【摘要】许多不同应用数学和物理领域的研究都可归结为带有p-Laplacian算子的边值问题,因此对此问题的研究具有重要的理论意义和应用价值.本文讨论了带p-Laplacian算子三阶三点边值问题:｛(φp(u′))″(t)+a(t)f(t,u(t),u′(t))=0,0＜t＜1,u(0)=0,φp(u′)(1)=αφp(u′)(η),(φp(u′))′(0)=0的正解的存在性,其中φp(s)=｜s｜p-2 s,p＞1.应用Avery-Peterson不动点定理,当非线性项f满足一定的增长条件时,得到上述边值问题至少存在三个正解的充分条件.【期刊名称】《河北科技大学学报》【年(卷),期】2014(035)006【总页数】5页(P524-528)【关键词】p-Laplacian;边值问题;Avery-Peterson不动点定理【作者】郭彦平;李春景;韩迎迎【作者单位】河北科技大学理学院,河北石家庄050018;河北科技大学理学院,河北石家庄050018;河北科技大学理学院,河北石家庄050018【正文语种】中文【中图分类】O175.8的正解的存在性，其中φp(s)=|s|p-2s,p>1。

应用Avery-Peterson不动点定理，当非线性项f满足一定的增长条件时，得到上述边值问题至少存在三个正解的充分条件。

本文讨论带p-Laplacian算子的三阶三点边值问题：的正解的存在性，其中φp(s)=|s|p-2s，p>1。

近年来，许多学者都在关注三阶微分方程边值问题，并研究其正解的存在性[1-15]。

张立新等在文献[1]中研究了三阶三点边值问题：其中φp(s)=|s|p-2s,p>1，利用Avery-Peterson不动点定理证明了3个正解的存在性。

郭少聪等在文献[2]中讨论了三点边值问题：3个拟对称正解的存在性，其中α>0,0<η<1,φp(s)=|s|p-2s。