淮北师范大学
2013届学士学位论文
常微分方程数值解法的误差分析
学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学
研 究 方 向 计算数学
学 生 姓 名 李 娜
学 号 20091101070
指导教师姓名 陈 昊
指导教师职称 讲 师
年 月 日
常微分方程数值解法的误差分析
李 娜
（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）
摘 要
自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。
关键词： 常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差
Error Analysis of Numerical Method for Solving the
Ordinary Differential Equation
Li Na
(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)
Abstract
In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem
实验报告
一、实验目的
解初值问题各种方法比较。
二、实验题目
给定初值问题
,0)1(,21yxxexydxdyx，
其精确解为)(eexyx，按
（1）改进欧拉法，步长01.0,1.0hh；
（2）四阶标准龙格-库塔法，步长1.0h；
求在节点)10,...,2,1(1.01kkxk处的数值解及其误差，比较各个方法的优缺点。
三、实验原理
改进欧拉法程序，四阶标准龙格-库塔法程序。
四、实验内容及结果
1.用改进欧拉法求解初值问题：
1）先输入改进欧拉法的M程序，在MATLAB的M文件窗口中输入以下内容并保存：
function [x,y]=maeuler(dyfun,xspan,y0,h)
x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0;
for n=1:(length(x)-1)
k1=feval(dyfun,x(n),y(n));
y(n+1)=y(n)+h*k1;
k2=feval(dyfun,x(n+1),y(n+1));
y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2;
end
x=x';y=y';
2）再输入以下程序，在M文件窗口输入以下内容并保存：
clc;
clear;
dyfun=inline('y./x+x.*exp(x)');
[x,y]=maeuler(dyfun,[1,2],0,0.1);
[x';y']
y1=x.*(exp(x)-exp(1));y1'
(y1-y)'./y'*100
3）在MATLAB的主程序窗口输出以下结果：
ans =
1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000
1.8000 1.9000 2.0000
0 0.3135 0.7202 1.2333 1.8675 2.6398 3.5692 4.6771
常微分方程的解析解与数值解
常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。解析解和数值解是求解常微分方程的两种常用方法。本文将介绍常微分方程的解析解和数值解的概念、特点以及应用，并讨论两者在不同情况下的优缺点。
一、解析解
解析解是指通过数学方法直接获得的方程的解。对于某些简单的常微分方程，可以通过变量分离、分离变量、常数变易等方法获得解析解。解析解具有以下几个特点：
1. 精确性：解析解是通过数学方法得到的，是方程的精确解。它可以给出方程在任意时刻的解，对于问题的研究具有重要意义。
2. 通用性：解析解适用于一类具有相同形式的常微分方程。一旦求得了一类方程的解析解，就可以应用到同类问题中。
3. 物理含义明确：解析解通常具有明确的物理含义，能够帮助我们理解问题的本质和规律。
解析解在一些特定情况下具有明显的优势。例如，当方程形式简单、边界条件明确、初值明确时，解析解能够提供准确的结果。此外，解析解也有助于我们对问题的理论分析和深入研究。
二、数值解 数值解是通过数值计算方法获得的方程的近似解。对于复杂的常微分方程，往往难以找到解析解，这时候就需要借助数值方法进行求解。数值解具有以下几个特点：
1. 近似性：数值解是通过数值计算获得的，只能提供方程的近似解。随着计算步长的减小，近似解会逐渐接近真实解。
2. 条件灵活：数值解对问题的条件要求相对较低。例如，数值方法可以求解非线性方程、高阶方程、边值问题等各种复杂情况。
3. 计算复杂度：数值解通常需要借助计算机进行迭代计算，计算复杂度较高。
数值解在实际问题中应用广泛且有效。数值方法可以通过逼近、插值、差分等数值计算技术，将方程转化成逐步计算的步骤，获得精确度可控的近似解。数值解的优势在于对于复杂问题的求解能力和计算相对高效。
三、解析解与数值解的比较
解析解和数值解各自具有不同的特点和优势，在不同的问题和求解需求中有着相应的应用。
常微分方程数值解
常微分方程数值解是数学中的一门重要学科，主要研究如何求解常微分方程，在科学计算中有着重要的应用。常微分方程模型是自然界中广泛存在的现象描述方法，有着广泛的应用领域。比如，在物理学中，运动中的物体的位置、速度和加速度随时间的关系就可以通过微分方程描述；在经济学中，经济变化随时间的变化也可以用微分方程来描述。而常微分方程数值解的求解方法则提供了一种快速、高效的计算手段。
一、 常微分方程数值解的基本概念
常微分方程就是一个描述自变量（通常是时间）与其导数之间关系的方程。其一般形式如下：
$\frac{dy}{dt} = f(y,t)$
其中 $f(y,t)$ 是一个已知的函数。
常微分方程数值解就是对于一个常微分方程，对其进行数字计算求解的方法。常微分方程数值解常使用数值积分的方法来求解。由于常微分方程很少有解析解，因此数值解的求解方法显得尤为重要。
二、 常微分方程数值解的求解方法
常微分方程数值解的求解方法很多，以下介绍其中两种方法。
1.欧拉法
欧拉法是最简单的一种数值算法，其思想是通过将一个微分方程转化为一个数值积分方程来求解。其数值积分方程为：
$y_{i+1}=y_i+hf(y_i,t_i)$
其中 $h$ 为步长，可以理解为每次计算的间隔。欧拉法的主要缺点是其精度比较低，收敛速度比较慢。因此，当需要高精度的数值解时就需要使用其他的算法。
2.级数展开方法
级数展开法是通过将一个待求解的微分方程进行Taylor级数展开来求解。通过对Taylor级数展开的前若干项进行求和，可以得到微分方程与其解的近似解。由于级数展开法的收敛速度很快，因此可以得到相对较高精度的数值解。但是，当级数过多时，会出现截断误差。因此，在实际应用中需要根据所需精度和计算资源的限制来选择适当的级数。
三、 常微分方程数值解的应用
常微分方程数值解在现代科学技术中有着广泛的应用。以下介绍其中两个应用领域。
