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线性代数期末考试试题(含答案)

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江西理工大学《线性代数》考题

填空题（每空3分，共15分）

[ a 1 b〔 c〔 [ 'a-i b1 d1

1.设矩阵A = a 2 b? C2 ,B = a2 b2 d2 且 A =4, B| =1 贝U A+

B - a3 b3 C3 1 a3 b3 d3 _

2. 二次型f （Xi,X2,X3）=x「+X22 -tX2X3 +4X32是正定的，则t的取值范围 _____________

1 1 *

3. A为3阶方阵，且|A|=q，贝U （3A）」—2A = ____________

4. 设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 ________________

5. 设A为n阶方阵，r「2「「n为A的n个列向量，若方程组AX二0只有零解，则向量组（r「2,…X）的

秩为 _______

二、选择题（每题3分，共15分）

b/ -ax2 = -2ab

6. 设线性方程组 -2CX2 3bX3二be，则下列结论正确的是（）

CXi ' ax3 — 0

（A）当a,b,c取任意实数时，方程组均有解 （B）当a= 0时，方程组无解

7. A.B同为n阶方阵，则（）成立

(B) AB 二 BA

[ an a12 a13 a21 a22 a23 _0 1 01

8.设 A = a21 a22 a23 ，B = an a12 a13 ,R

: - 1 0 0

a31 a32 a33 1 .an *a31 a12 * a 32 a13 *833

- 0 0 1

一 (C) AB = BA (D) (A B) —A’ B* （C）当b= 0时，方程组无解 （D）当c= 0时，方程组无解

(A) AP1P2 (B) AP2P (C) P1P2A (D) P2RA

9. A, B均为n阶可逆方阵，则 AB的伴随矩阵（AB）*二（） ）成立

(A) A*B* (B) AB A斗B 斗 (C) B^A一 (D) B* A*10.设A为n n矩阵，r(A) = r < n，那么A的n个列向量中()

(A) 任意r个列向量线性无关

(B) 必有某r个列向量线性无关

(C) 任意r个列向量均构成极大线性无关组

(D) 任意1个列向量均可由其余n—1个列向量线性表示

三、计算题(每题 7分，共21分)

『3 0 0、

11.设 A = 1 4 0 。求(A_2E)」

3 0 3

1 -1 1 X —1

1 -1 X 十1 -1

12.计算行列式

1 X —1 1 -1

X +1 -1 1 -1

(-2 0 0、

f 10 0、

13.已知矩阵A = 2 a 2 与B = 0 2 0 相似，求a和b的值

< 1 1丿 3 0 b丿

四、计算题(每题 7分，共14分)

S 1 1

14.设方阵A = 1 2 1 的逆矩阵A」的特征向量为己= k

J 1 2丿

J丿

(1

⑴ £

线性无关(2)当口 1«2«3线性无关

时，将［表示成它们的线性组合

五、证明题(每题7分，共14分)

|x1 ' 2x2 - 2x3 二 0

16. 设3阶方阵B = 0 , B的每一列都是方程组 2X1 -X2 * X = 0的解

3x1 X2 一 X3 = 0 1,0=1 (1)问人为何值时, ,求k的值

15.设：-J3 - ：2

17. 已知冷，「2,〉3, ： 4为n维线性无关向量，设

fci \ fa \ fa y （a. \

El = 1汕2 = 2 “3 = 3 “4 = 4 ，证明：向量?1^2^3^4线性无关 J丿 3丿 J丿 I0丿

六、解答题（10分）

"（1 + 扎）x<| +x2 + x3 = 0

18. 方程组x-i （^ ■■■）x2 x3 =3，满足什么条件时，方程组

x1 x2 （1 " ；■ ）x3 = ■

（1）有惟一解（2）无解（3）有无穷多解，并在此时求出其通解

七、解答题（11分）

19.已知二次型f（X1,X2X）=x「+2x?2+3X32 -4^X2-4X2X3，试写出二次型的矩阵，并用正交变换法化二次

型为标准型。

（二） ACCDB（1）求■的值（2）证明: =0

1、20 2、 -4 t 4 16

27 n, 2 5、_n 0 1 0 0

（三） 11、 1 1 0

12、（x4） 13、（a=0,b = —2） _2 2

0 0 1

1 J

（四） 14、 （k = —2 或

k = 0） 15、 （（1）^-1 1 1 1

（2用=尹1_沙—1）°2+严）

（五） 16 （ ⑴人 =1 ⑵略） 17略

（六） 18、（ （1） ■ - -3且■ -0;（2） ■ =0;（3） 1. - -3,解略）

（七） 19、C =-1,2,5,其余略）

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线性代数期末考试试题及答案

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线性代数期末考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个选项是正确的？

A. A的行列式为0

B. A的行列式不为0

C. A的逆矩阵不存在

D. A的逆矩阵是其转置矩阵

答案：B

2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：

A. 系数矩阵的行列式为0

B. 系数矩阵的行列式不为0

C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩

D. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩

答案：B

3. 设A是n阶方阵，若A的特征值均为1，则A可能是：

A. 零矩阵

B. 单位矩阵

C. 任意对角矩阵

D. 任意方阵

答案：B

4. 向量空间中，若两个向量组等价，则它们：

A. 包含相同数量的向量 B. 包含相同数量的线性无关向量

C. 可以相互线性表出

D. 具有相同的维数

答案：D

二、填空题（每题5分，共20分）

1. 设矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量组和列向量组的最大线性无关组包含的向量数量均为______。

答案：r

2. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+β,

α2+β, ..., αn+β线性相关，其中β为非零向量，这说明向量组α1, α2, ..., αn的线性相关性与向量β的______有关。

答案：选择

3. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于______。

答案：1/2

4. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B具有相同的秩，则该线性方程组的解集的维数为n-r，其中n是矩阵A的阶数，r是矩阵A的秩，则该线性方程组的解集的维数为______。

答案：n-r

三、解答题（每题15分，共40分）

1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：

特征值λ1 = 5，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}-2 \\

线性代数期末考试试题及答案 2

线性代数期末考试试题及答案 2

线性代数期末考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共30分）

1. 若矩阵A的秩为r(A)，则下列结论正确的是（ ）

A. r(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数

B. r(A) ≤ m，其中m是矩阵A的行数

C. r(A) ≤ min(m, n)

D. r(A) = max(m, n)

答案：C

2. 下列矩阵中，哪一个不是对称矩阵？（ ）

A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)

B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)

C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &

5 \end{pmatrix}\)

D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &

9 \end{pmatrix}\)

答案：D

3. 若向量组α1, α2, α3线性无关，则向量组（ ）

A. α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 线性无关

B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关

C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关

D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关

答案：B

4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（ ）

A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵

B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵

C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵

D. A的n次幂An也是可逆矩阵

答案：D

5. 若行列式D = |A|的值为0，则下列结论正确的是（ ）

A. 方程组Ax = b有唯一解

B. 方程组Ax = b无解

C. 方程组Ax = 0有非零解

D. 方程组Ax = b有无穷多解

线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案

一、单项选择题（每题3分，共30分）

1. 向量组的线性相关性是指（ ）。

A. 至少有一个向量可以由其他向量线性表示

B. 所有向量都为零向量

C. 所有向量线性无关

D. 向量组中存在非零向量

答案：A

2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（ ）。

A. 可逆

B. 不可逆

C. 行向量线性无关

D. 行向量线性相关

答案：B

3. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（ ）。

A. 系数矩阵的行列式为0

B. 系数矩阵的秩小于未知数的个数

C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数

D. 系数矩阵的秩大于未知数的个数

答案：B

4. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为零矩阵，则（ ）。

A. A和B中至少有一个是零矩阵

B. A和B都是零矩阵

C. A和B的行列式都为0

D. A和B的行列式乘积为0

答案：A

5. 向量组的秩是指（ ）。

A. 向量组中线性无关向量的最大个数

B. 向量组中向量的最大个数

C. 向量组中向量的最小个数

D. 向量组中向量的平均个数

答案：A

6. 矩阵A的转置矩阵记作（ ）。

A. A'

B. A^T

C. A^H

D. A^

答案：B

7. 矩阵A的特征值是指（ ）。

A. 矩阵A的对角线元素 B. 矩阵A的非零特征向量

C. 满足|A-λI|=0的λ值

D. 矩阵A的行列式

答案：C

8. 矩阵A和矩阵B相似的充分必要条件是（ ）。

A. A和B的行列式相等

B. A和B的秩相等

C. A和B的特征值相同

D. A和B的迹相等

答案：C

9. 矩阵A的逆矩阵记作（ ）。

A. A'

B. A^T

C. A^-1 D. A^H

答案：C

10. 向量组的正交性是指（ ）。

A. 向量组中任意两个向量的数量积为0

B. 向量组中任意两个向量的长度相等

C. 向量组中任意两个向量的长度之和为1

D. 向量组中任意两个向量的长度之积为1

答案：A

线性代数期末考试试题及答案 3

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线性代数期末考试试题及答案

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？

A. 线性无关

B. 可以表示空间中的任何向量

C. 可以线性组合出空间中的任何向量

D. 以上都是

2. 矩阵的秩是指：

A. 矩阵中非零行的最大数目

B. 矩阵中非零列的最大数目

C. 矩阵的行向量组的秩

D. 矩阵的列向量组的秩

3. 线性变换的核是指：

A. 变换后为零的向量集合

B. 变换后为单位向量的向量集合

C. 变换后保持不变的向量集合

D. 变换后向量长度为1的向量集合

4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：

A. 变换后保持不变

B. 变换后与原向量成比例

C. 变换后与原向量垂直

D. 变换后与原向量正交

5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？ A. A的转置矩阵

B. A的伴随矩阵

C. A的行列式

D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵

6. 行列式的性质不包括：

A. 行列式与矩阵的转置相等

B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关

C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关

D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关

7. 线性方程组有唯一解的条件是：

A. 方程组的系数矩阵是可逆的

B. 方程组的系数矩阵是方阵

C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数

8. 矩阵的迹是指：

A. 矩阵的对角线元素之和

B. 矩阵的行向量长度之和

C. 矩阵的列向量长度之和

D. 矩阵的行列式

9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：

A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数

B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数