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圆培优之圆与圆的位置关系

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圆与圆的位置关系

１．已知两圆半径R = 5 cｍ, r= 3 cｍ，则当两圆的圆心距d满足

时，两圆相交;当d满足

两圆相切;

２.两圆圆心距8d，两圆半径的长分别是方程01272xx的两个根，则这两圆的位置关系是 ;

3.如果两个圆的半径分别是３cｍ和５ｃｍ，圆心距为7ｃm,那么这两个圆有 条公切线。

４．如图,两个等圆⊙O和⊙O′外切，过Ｏ作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AＯＢ等于

５.如图：这是某机械传动部分的示意图,已知两轮的外沿直径分别为２分米和８分米,轴心距为6分米,那么两轮上的外公切线长为 分米。

６.⊙O1和⊙O2半径之比为3:4:rR,当Ｏ1O2＝ 21 cｍ时,两圆外切,当两圆内切时，O1O2的长度应为

７． 两圆相切，圆心距为5，其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为 .

8、如图，图2 是一个组合烟花（图1）的横截面，其中1６个圆的半径相同，点O１、O2、O3、O4分布是四个角上的圆的圆心，且四边形O１O2O3O4正方形。若圆的半径为ｒ,组合烟花的高度为h,则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（解缝面积不计）（ )

9.图(十四）中,CA、CD分别切圆Ｏ1于A、Ｄ两点,CB、CE分别切圆O2于B、E两点．若∠１=6０∘，∠2=６５∘,判断AB、CD、CE的长度,下列关系何者正确？

A.AB＞CE>CD B.AB=CE>CD C．AB＞CD＞CE Ｄ.AB＝CD＝CE

1０、如图，⊙1o、⊙2o相内切于点A,其半径分别是8和4,将⊙2o沿直线1o2o平移至两圆相外切时,则点2o移动的长度是

第1０题图

１1如图，在⊙O中，60AOB,3cmAB, 则劣弧错误!的长为 ｃm．

1２、某铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是3６米2，错误!的长度为9米,那么半径OA ＝ OO'AB第4题图

★ •

第50题图 5图

第11题 A B O

第13题

第12题 --

米．

第17题图

13、如图，已知扇形的半径为3cm,圆心角为1２０°,则扇形的面积为_＿_＿___＿＿_ 2cm.(结果保留)

14、已知扇形的半径为2cm，面积是243cm,则扇形的弧长是 cm，扇形的圆心角为 °．

１5、如图,正六边形内接于圆O，圆O的半径为1０，则圆中阴影部分的面积为 ．

１6如图,图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为C1;图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为C2；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切,且与正方形的边相切,设这九个圆的周长为C３;……，依次规律，当正方形边长为2时，则C1+ C2＋ C3+…Ｃ99+ Ｃ10０=

17、已知：如图，三个半圆以此相外切,它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y=33x相切，设半圆C1、半圆Ｃ２、半圆C３的半径分别是r1、ｒ2、r3，则当r1=１时，r３=

第18题图 第19题图

１8、如图，小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为(a，0)，半径为５．如果两圆内含,那么a的取值范围是___＿__＿＿.

１9、三个半径为2的圆如图所示叠放在一起,用一根一定长的绳子绕三个圆刚好一圈，则绳的长为

20．如图，半圆Ｏ的直径AＢ=4，与半圆Ｏ内切的动圆Ol与AB切于点Ｍ,设⊙Ol的半径为y,AM的长为x，则y与x的函数关系是 ,自变量x的取值范围是 ．

２1．如图,施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )

２2.如图１，△AＢC是正三角形，曲线ABCDEＦ…叫做“正三角形的渐开线”，圆心依次按A、B、Ｃ循环,它们依次相连接，如果AB＝1，那么曲线ＣDＥF的长是

A.８π B.6π C.4π ﻩD.2π

23.如图2,一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条ＡB、ＡC的夹角为1２0°，AＢ长为３0 cm,贴纸部分BD长为2０ ｃm,贴纸部分的面积为

24、．已知如图３，两同心圆中大圆的半径OA、OB交小圆于C、D,OC∶CA=3∶２,则和的长度比为

2３.如图4，ＡＢ为半圆O的直径，C是半圆上一点,且∠COＡ＝６0°，设扇形AOC、△ＣOＢ、弓形ＢO

第15题

（a，0） x y

O · 3 5

--

mC的面积为S1、Ｓ2、S3,则它们之间的关系是

A.S1＜Ｓ2

A B

C

D E

F

ﻩ ﻩﻩA C D B O

图1 图2 ﻩ 图３ 图４

1．已知：如图47-2，⊙O1、⊙O2相交于A、B、PE切⊙Ｏ1于P，PＡ、PB交⊙O２于C、D;求证：CD∥ＰE；

2.如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B，直线AO1交⊙O1于Ｃ,交⊙Ｏ2于D,CB的延长线交⊙O2于Ｅ，连结DE，若ＣＤ ＝ 1０,ＤE =

6，求O1O2的长；

3、如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径.

ﻩﻩ

ﻩﻩ

O1O2PABC图47-2DEO1O2ABCDEA --

4. （2011湖北黄石)已知⊙Ｏ1与⊙Ｏ２相交于Ａ、Ｂ两点,点Ｏ1在⊙O2上，C为O2上一点(不与A，B，Ｏ１重合），直线CB与⊙O１交于另一点Ｄ。

（1）如图（8），若AC是⊙O2的直径，求证：ＡC=CD

（2)如图(9),若Ｃ是⊙O１外一点，求证:O1Ｃ⊥AD

(３）如图（１０）,若Ｃ是⊙O１内的一点，判断(2)中的结论是否成立。

5、．已知：如图,⊙Ｏ与相交于Ａ,Ｂ两点,点P在⊙Ｏ上,⊙O的弦AC切⊙Ｐ于点A，ＣP及其延长线交⊙P

P于点D,Ｅ，过点Ｅ作EF⊥CＥ交ＣB的延长线于F.

（1）求证:BC是⊙P的切线;

(2)若ＣD=2,CB=22，求EF的长；

（３)若k=PE：CE,是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在,请说明理由．

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6、.如图，⊙Ａ和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2,⊙Ｂ的半径长为１，AB=4，Ｐ为连接两圆圆心的线段AB上的一点,PＣ切⊙A于点C,ＰD切⊙B于点D.

(1)若PC=PD，求PB的长;

(２)试问线段ＡＢ上是否存在一点P,使ＰC2+PD２=4?,如果存在，问这样的P点有几个?并求出ＰＢ的值；如果不存在,说明理由;

(3)当点Ｆ在线段ＡB上运动到某处,使PC⊥ＰD时,就有△ＡPC∽△PＢD.

请问：除上述情况外,当点P在线段ＡB上运动到何处(说明PＢ的长为多少,或PＣ、PＤ具有何种关系)时,这两个三角形仍相似；并判断此时直线ＣP与OＢ的位置关系，证明你的结论.

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圆与圆有关的位置关系 讲义(教师版)

圆与圆有关的位置关系 讲义(教师版)

第1页

与圆有关的位置关系

1.能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系；

2.能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系；

3.能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．

1.点与圆的位置关系的判定；

2.直线与圆的位置关系的判定.

第1页

点与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：

点P在圆内d

点P在圆上d=r

点P在圆外d>r

【注意】点与圆的位置关系是由点P到圆心的距离ｄ和圆的半径ｒ的数量关系决定的，在运用这一性质时应注意“形”与“数”之间的转化．

2.确定圆的条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆．

【注意】可以让学生通过作图进行归纳总结“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，熟练掌握其方法，经过一点或经过两点作圆，因为圆心不能唯一确定，半径也就不能确定．所以作出的圆都有无限多个．“不在同一直线上的三点确定一个圆”，这个“确定”的含义是“有且只有”．

3.外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

【注意】要注意的是，锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是三角形斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立．

例1.矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）

A.点B、C均在圆P外 B.点B在圆P外、点C在圆P内

C.点B在圆P内、点C在圆P外 D.点B、C均在圆P内

【答案】解：连接PD、PC，

直线与圆、圆与圆的位置关系讲义

直线与圆、圆与圆的位置关系讲义

直线与圆、圆与圆的位置关系讲义

一、知识梳理

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．

dr⇔相离．

(2)代数法：――――→判别式Δ＝b2－4ac >0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.

2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).

方法

位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况

外离 d>r1＋r2 无解

外切 d＝r1＋r2 一组实数解

相交 |r1－r2|

内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解

内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解

注意：1．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

二、基础检测

题组一：思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )

(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( ) (5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )

24.2.3圆和圆的位置关系

24.2.3圆和圆的位置关系

24.2.3圆和圆的位置关系

24.2.3圆和圆的位置关系

【知识要点】

两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件

两个圆相离外离

两个圆相切外切

两个圆相交

两个圆内切

两个圆内含

圆心距

【知识要点】

一、课前预习(5分钟训练)

1.圆和圆有五种不同的位置关系，它们是__________、__________、__________、__________、__________.

2.两圆相切是指这两个圆__________或__________两种.

3.已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有__________个.

4.已知⊙O的半径为5cm，⊙O1的半径为3cm，两圆的圆心距为7cm，则它们的位置关系是()

A.相交B.外切C.相离D.内切

5.下列命题中正确的是()A.如果两条直线被第三条直线所截,那么内错角一定相等

B.如果一个四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形一定是菱形

C.如果两个圆的圆心距等于它们的半径之和,那么这两个圆一定有三条公切线D.如果两个等圆不相交,那么这两个等圆一定外离

二、课中强化(10分钟训练)

1.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为____________.

2.已知关于x的一元二次方程x２－2(R＋r)ｘ＋d２=０没有实数根，其中R、r分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径，ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是()

A.外离B.相交C.外切D.内切

3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是()

A.相交B.内含C.内切D.外切

4.一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线.若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是()

A.相离B.相交C.外切D.内切

5.如果两圆的半径分别为3和4,圆心距为5,那么这两个圆的位置关系是()

九年级奥数培训圆和圆的位置关系-奥数精讲与测试

九年级奥数培训圆和圆的位置关系-奥数精讲与测试

第 1 / 6 页 知识点、重点、难点

两圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切（内切或外切）、两圆相离、两圆内含。

设两个圆为⊙1O、⊙2O,半径分别为1R、2R,且1R≥2R,1O与2O的距离为d,那么,

12dRR两圆相离4条公切线(2条外公切线,2条内公切线)；

12dRR两圆外切3条公切线(2条外公切线,1条内公切线)；

1212RRdRR两圆相交2条公切线(2条外公切线,无内公切线)；

12dRR两圆内切条公切线(1条外公切线,无内公切线)；

1dRR两圆内含无公切线。

两圆的内（外）公切线的长为2212()ldRR内；

2212().ldRR外

由圆的对称性知：

若两圆相交,则两圆的连心线垂直平分公共弦。

若两圆有两条外（内）公切线,那么这两条外（内）公切线长相等。若两条外（内）公切线相交,那么交点在连心线上,并且连心线平分两公切线所夹的角。

例题精讲

例1：如图,过⊙O外一点P作⊙O的切线PN,N为切点。令PN的中点为M,过PM的圆与⊙O交于A、B,BA的延长线与PM交于点Q,求证：

PM=3MQ．

解 因PN为切线,由切割线定理知

NQ2 = QA·QB = QM·QP.

设QM=x,QN=y,于是MP = MN=x＋y(x＞0,y＞0),故QP＝x＋(x＋y )= 2x＋y,所以2y=

x(2x+ y),即222xxyy=0.由此得(x＋y )(2x－y)=0,故2x = y或x=－y(舍去）,MP=x＋y = 3x = 3MQ.

例2：如图,△ABC的内切圆切BC边于D,求证△ABD和△ACD的内切圆相外切。 解 设E、F为△ABC内切圆与AC、AB的切点,1T、2T分别为⊙1O、

⊙2O与AD的切点,于是BF = BD,CE=CD.