2020届高三数学（理）“小题速练”2913. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z =21i+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =（ ）A ．{}37x x <≤B ．{}37x x ≤≤C ．{}13x x ≤≤D ．{}13x x ≤<3．下列叙述中正确的是（ ）A ．函数222()2f x x x =++的最小值是2 B ．“04m <”是“210mx mx ++”的充要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为的实轴长为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．函数3x xe e y x x--=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A B C D ．(4π+7．设a =20．1，b =ln 12，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3C ．2D ．39．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称10．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．2-D ．23-11．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=，则球O 的表面积为（ ）A ．169π B ．163π C ．649π D ．643π 12．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．213e -B ．216e -C ．216e D ．213e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．14．已知向量()()1,,2,4a k b =-=-，若()3//a b a +，则实数k = ． 15．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C于P ，Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =，则AQQF= ． 16．在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 边上的点，且AC 3AD =，4BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ．2020届高三数学（理）“小题速练”29（答案解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z =21i+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题意得22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，∴复数21iz =+在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限，故选D ．2．已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =（ ）A ．{}37x x <≤ B ．{}37x x ≤≤C ．{}13x x ≤≤D ．{}13x x ≤<【答案】C【解析】由{}{2303M x x x x x =->=>或}0x <，∴{}03R C M x x =≤≤，又{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选C ．3．下列叙述中正确的是（ ）A ．函数222()2f x x x =++的最小值是2 B ．“04m <”是“210mx mx ++”的充要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题 【答案】C【解析】对于A ：()2222222222f x x x x x =+=++-++2≥中，22222x x +=+的等号不成立，A 错；当0m =时210mx mx ++≥也成立，B 错；当13x =，2y =时1xy <也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，∴D 错，故选C ．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为的实轴长为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】∵双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，∵两条渐近线互相垂直，∴21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得a b =，∵双曲线焦距为c =222c a b =+可知228a =，∴2a =，∴实轴长为24a =，故选B ．5．函数3x xe e y x x--=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()3x xe ef x x x--=-，则()()f x f x -=，故函数为偶函数，图像关于y 轴对称，排除C 选项．由30x x -≠，解得0x ≠且1x ≠±．()0.50.510.500.1250.5e ef -=<-，排除D 选项．()10101101100010e ef -=>-，故可排除B 选项．故选A ． 6．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A．(43π+ B．(86π+ C．(83π+ D．(4π+【答案】B【解析】该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为B ． 7．设a =20．1，b =ln 12，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【答案】B【解析】由题意得a =20．1>1，b =ln 12<0，c =log 32∈(0，1)，∴a >c >b ，故选B ． 8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．213log 32+ B ．2log 3C ．2D ．3【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得s ＝3，i=1；满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log i=2；满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log log i=3；满足条件i 3≤，执行循环体，s ＝3+log 4log log =，i=4；不满足条件i 3≤，退出循环，输出s 的值为s ＝242log =；故选C ． 9．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】B【解析】∵()3sin 2cos 2244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ，由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，即()y f x =的单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；∴()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=∈；即函数()y f x =的对称轴为：,2k x k Z π=∈；因此其图象关于直线2x π=对称，故选B ．10．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．2-D ．23-【答案】B【解析】6(1)x +展开式的通项公式为16r r r T C x +=，分别令2,3x x ==，可求得2x 的系数为2615C =，3x 的系数为3620C =，故6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为1201510a ⨯-=-，解得2a =，故选B ．11．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=，则球O 的表面积为（ ）A ．169π B ．163π C ．649π D ．643π 【答案】D 【解析】在ABC中，2120AB AC BAC ==∠=︒，，BC ∴==由正弦定理可得平面ABC 截球所得圆的半径（即ABC 的外接圆半径），2r ==，又∵球心到平面ABC 的距离12d R =， ∴球的O半径2163R R =∴=，故球O 的表面积26443S R ππ==， 故选D ． 12．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．213e-B ．216e-C ．216eD ．213e【答案】D【解析】设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,x y ，∵26(),a f x x'=()24g x x a '=-，∴200624a x a x -=，则220230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =．∵()()00f x g x =，∴2200046ln x ax b a x --=，2236ln 3b a a a =--(0)a >．设()h a b =，∴()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13ea =． ∴当103e a <<时，()0'>h a ；当13e a >时，()0h a '<，∴b 的最大值为2113e 3eh ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】4【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4．14．已知向量()()1,,2,4a k b =-=-，若()3//a b a +，则实数k = ． 【答案】2．【解析】由题意，得()()()331,2,45,34a b k k +=-+-=--，∵()3//a b a +，∴()()13450k k ⨯----=，解得2k =，故答案为：2．15．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =，则AQQF= ． 【答案】2【解析】过P ，Q 分别作PM ，QN 垂直准线l 于,M N ，如图，3PF FQ =，1||||4QF PQ ∴=，由抛物线定义知，||||,||||PM PF QF QN ==，||3||PM QN ∴=，//PM QN ，||||1||||3AQ QN AP PM ∴==， 11||||4||2||22AQ QP QF QF ∴==⨯=，2AQ QF ∴=，故答案为：2．16．在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 边上的点，且AC 3AD =，4BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】9【解析】∵AC 3AD =，∴3ABC ABD S S ∆∆=，设AD x =，则3AB x =，由343x x x x +>>-得12x <<，222291658cos 233x x x A x x x +--==⋅⋅，sin A ==11sin 322ABDS AB AD A x ∆=⋅=⋅⋅==，∵12x <<，∴252x =时，ABD S ∆取得最大值3=，∴ABC S ∆最大值为9，故答案为：9．。
2020年高考数学（理）复习【空间点、线、面的位置关系】小题精练卷刷题增分练○27一、选择题1．下列说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案：D解析：由异面直线的定义可知D正确．2．如图，正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的是()答案：D解析：A选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；B选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；C选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；D选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS，QR异面，所以这四点不共面．故选D.3．[2019·益阳市、湘潭市调研]下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④答案：C解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连接GN，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN 异面．故选C.4．[2019·银川模拟]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是()A．m⊥n B．m∥n C．m与n相交D．m与n异面答案：A解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故m⊥n，选A.5．[2019·山西临汾模拟]已知平面α及直线a，b，下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直答案：D解析：若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不一定平行；若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直；若直线a，b平行，这两条直线可能都和平面α相交(不平行)；若直线a，b垂直，则直线a，b不平行，而这两条直线与平面α都垂直等价于直线a，b平行，因此若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直．故选D.6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在平面β内的射影，l⊥m，则n⊥m；③若m⊂α，n∥m，则n∥α；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β.其中真命题为()A．①②B．①②③C．②③④D．①③④答案：A解析：由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题；易得②为真命题；根据直线与平面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，③中缺少条件n⊄α，所以得到的结论可能为n∥α，也可能为n⊂α，所以③为假命题；若α⊥γ，β⊥γ，则得到的结论可能为β∥α，也可能为β，α相交，所以④为假命题．7．[2019·成都市高中毕业班诊断性检测]已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是()A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α答案：C解析：选项A中，若m⊂α，则直线m和平面β可能垂直，也可能平行或相交，故选项A不正确；选项B中，直线m与直线n的关系不确定，可能平行，也可能相交或异面，故选项B不正确；选项C 中，若m⊥β，则m∥α或m⊂α，又m⊄α，故m∥α，选项C正确；选项D中，缺少条件n⊂β，故选项D 不正确，故选C.8．[2019·宁夏银川一中模拟]已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：如图．取AC中点D，连接DN，DM，由已知条件可得DN＝23，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，则cos∠DNM＝16＋12－42×4×23＝32，∴∠DNM＝30°.二、非选择题9．[2019·湖南联考]已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是________．答案：①④解析：对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，若α⊥β，则m∥l或m⊥l或m 与l异面，故②错误；对于③，若m⊥l，则α⊥β或α与β相交，故③错误；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故④正确．10．[2019·陕西西安模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．答案：③④解析：A ，M ，C 1三点共面，且在平面AD 1C 1B 中，但C ∉平面AD 1C 1B ，C 1∉AM ，因此直线AM 与CC 1是异面直线，同理，AM 与BN 也是异面直线，AM 与DD 1也是异面直线，①②错，④正确；M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，B ∉MB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线，③正确．11．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点．若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是______________．答案：30°解析：如图，取CB 的中点G ，连接EG ，FG .则EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角为∠EFG .又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°.12．[2019·日照模拟]如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．其中正确结论的序号为________．答案：①③解析：连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．刷题课时增分练○27一、选择题1．经过两条异面直线a，b外的一点P作与a，b都平行的平面，则这样的平面()A．有且仅有一个B．恰有两个C．至多有一个D．至少有一个答案：C解析：(1)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面平行b(或a)时，过点P作不出与a，b都平行的平面；(2)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面与b(或a)不平行时，可过点P作a′∥a，b′∥b.因为a，b为异面直线，所以a′，b′不重合且相交于点P.因为a′∩b′＝P，a′，b′确定的平面与a，b都平行，所以可作出一个平面与a，b都平行．综上，选C.2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1答案：D解析：只有直线B1C1与直线EF在同一平面内，且两者是相交的，直线AA1，A1B1，A1D1与直线EF都是异面直线．3．将下面的平面图形(图中每个点是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是()A．①②B．②④C．①④D．①③答案：C解析：图②翻折后N与Q重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行，因此选C.4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.其中正确命题的序号是()A．①④B．②③C．②④D．③④答案：D解析：①α与β可能相交，m，n都与α，β的交线平行即可，故该命题错误；②当α⊥β，m∥α时，m ⊂β也可能成立，故该命题错误；③当m⊥α，m⊥n时，n⊂α或n∥α，又n⊥β，所以α⊥β，故该命题正确；④显然该命题正确．综上，选D.5．[2019·衡阳模拟]若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交答案：A解析：当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C 错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.6．[2019·湖南常德模拟]一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°答案：D解析：如图，把展开图中的各正方形按图(1)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(2)所示的直观图，可得选项A，B，C不正确．图(2)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD 所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.7．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB1D1平行的直线有()A．18条B．20条C．21条D．22条答案：C解析：设各棱的中点如图所示(各点连线略)，其中与D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与CO平行的有GH1，FE1，共2条；与D1P平行的有H1L，NF，共2条；与B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21(条)．8．[2019·内蒙古赤峰模拟]已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α答案：C解析：对于选项A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，故A 错误．对于选项B ，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设平面ABCD 为平面α，平面CDD ′C ′为平面β，直线BB ′为直线m ，直线A ′B 为直线n ，则m ⊥α，n ∥β，α⊥β，但直线n 与m 不垂直，故B 错误．对于选项C ，设过m 的平面γ与α交于a ，过m 的平面θ与β交于b ，∵m ∥α，m ⊂γ，α∩γ＝a ，∴m ∥a ，同理可得m ∥b .∴a ∥b .∵b ⊂β，a ⊄β，∴a ∥β.∵α∩β＝l ，a ⊂α，∴a ∥l ，∴l ∥m .故C 正确．对于选项D ，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设平面ABCD 为平面α，平面ABB ′A ′为平面β，平面CDD ′C ′为平面γ，则α∩β＝AB ，α∩γ＝CD ，BC ⊥AB ，BC ⊥CD ，但BC ⊂平面ABCD ，故D 错误．故选C.二、非选择题9．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．答案：π3解析：如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，AG ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.10．[2019·宜昌调研]如图，在棱长均相等的四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥PA；④直线PD与MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)答案：①②③解析：如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，所以直线PD 与MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.11．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明：(1)如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.。
2020年高考数学（理）复习【算法初步】小题精练卷刷题增分练○40一、选择题1．[2019·吉林长春质检]执行如图所示的程序框图，则输出的B＝()A．31B．63C．127D．255答案：C解析：由框图得，A＝1，B＝1，满足A≤6，B＝2×1＋1＝3，A＝2；满足A≤6，B＝2×3＋1＝7，A＝3；满足A≤6，B＝2×7＋1＝15，A＝4；满足A≤6，B＝2×15＋1＝31，A＝5；满足A≤6，B＝2×31＋1＝63，A＝6；满足A≤6，B＝2×63＋1＝127，A＝7；不满足A≤6，所以输出的B＝127.故选C.2．[2019·太原模拟]如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中可填入的条件是()A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9答案：B解析：第一次执行循环体，得到S＝10，k＝9；第二次执行循环体，得到S＝90，k＝8；第三次执行循环体，得到S＝720，k＝7，此时满足条件．故选B.3．[2019·云南大理统测]我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺．瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n＝()A．4B．5C．6D．7解析：模拟执行程序，可得a＝0.7，S＝0，n＝1，S＝1.7；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝2，a＝1.4，S＝3.4；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝3，a＝2.1，S＝5.1；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝4，a＝2.8，S＝6.8；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝5，a＝3.5，S＝8.5；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝6，a＝4.2，S＝10.2.退出循环，输出n的值为6.故选C.第3题图第4题图4．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是()A．13B．13.5C．14D．14.5答案：A解析：当填i<13时，i值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到i＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13.5．[2019·江西南昌调研]执行如图所示的程序框图，输出的n为()A．1B．2C．3D．4解析：当n＝1时，f(x)＝x′＝1，此时f(x)＝f(－x)，但f(x)＝0无解；当n＝2时，f(x)＝(x2)′＝2x，此时f(x)≠f(－x)；当n＝3时，f(x)＝(x3)′＝3x2，此时f(x)＝f(－x)，且f(x)＝0有解，此时结束循环，输出的n为3.故选C.6．[2019·长沙模拟]1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程序的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”．至于如此简单明了的一个命题为什么都够开辟一个全新的领域，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i分别为()A．a是偶数6B．a是偶数8C．a是奇数5D．a是奇数7答案：D解析：由已知可得，①处应填写“a是奇数”．a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i ＝4；a＝4，i＝5；a＝2，i＝6；a＝1，i＝7，退出循环，输出的i＝7.故选D.7．[2019·甘肃模拟]某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量(单位：台)，把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的S＝()A．28B．29C．196D．203答案：B解析：由程序框图可知，该程序框图输出的是销售量的平均值，结合茎叶图可知，输出的S＝20＋22＋26＋33＋33＋34＋357＝29，故选B.8．[2019·广东省七校联考]如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是()A ．i >10B ．i <10C ．i >20D ．i <20答案：A解析：通解s ＝0，n ＝2，i ＝1；不满足条件，执行，s ＝12，n ＝4，i ＝2；不满足条件，执行，s ＝12＋14，n ＝6，i ＝3，…；不满足条件，执行，s ＝12＋14＋16＋…＋120，n ＝22，i ＝11；满足条件，输出的s ＝12＋14＋16＋…＋120，则判断框内应填入的条件是“i >10”，故选A.优解依题意，得12＋14＋16＋…＋120可表示为数列12n 的前10项和，故需循环10次，即当i ＝11时退出循环，所以判断框内应填入的条件是“i >10”，故选A.第8题图第9题图二、非选择题9．[2019·北京朝阳模拟]执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为________．答案：30解析：第一次，i ＝1，满足条件i <6，i ＝1＋2＝3，S ＝6；第二次，i ＝3，满足条件i <6，i ＝3＋2＝5，S ＝6＋10＝16；第三次，i ＝5，满足条件i <6，i ＝5＋2＝7，S ＝16＋14＝30；第四次，i ＝7，不满足条件i <6，循环终止，输出S ＝30.10．[2019·贵阳摸底]执行如图所示的程序框图，若输出的y ＝12，则输入的x 的最大值为________．答案：1解析：由程序框图知，当x ≤2，y ＝sin π6x ＝12，x ∈Z ，得π6x ＝π6＋2k π(k ∈Z )或π6x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，即x ＝1＋12k (k ∈Z )或x ＝5＋12k (k ∈Z )，所以x max ＝1；当x >2时，y ＝2x >4≠12.故输入的x 的最大值为1.11．根据如图所示的伪代码，输出的结果为________．答案：70解析：i ＝1，S ＝－2；i ＝3，S ＝3×3－2＝7；i ＝5，S ＝3×5＋7＝22；i ＝7，S ＝3×7＋22＝43；i ＝9，S ＝3×9＋43＝70，结束循环，输出的结果为70.第11题图第12题图12．执行如图所示的程序框图，若a ＝0.182，b ＝log 20.18，c ＝20.18，则输出的结果是________．答案：20.18解析：易知该程序框图的功能是输出a ，b ，c 中的最大者．结合函数y ＝0.18x ，y ＝log 2x ，y ＝2x 的图象(图略)易知0<a <1，b <0，c >1，∴b <a <c .故输出的结果是20.18.刷题课时增分练○401．[2019·郑州模拟]执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是()A ．(30,42]B ．(30,42)C ．(42,56]D ．(42,56)答案：A解析：k ＝1，S ＝2；k ＝2，S ＝2＋4＝6；k ＝3，S ＝6＋6＝12；k ＝4，S ＝12＋8＝20；k ＝5，S ＝20＋10＝30；k ＝6，S ＝30＋12＝42；k ＝7，此时不满足S ＝42<m ，退出循环，所以30<m ≤42，故选A.第1题图第2题图2．[2019·武昌调研]执行如图所示的程序框图，如果输入的a依次为2,2,5时，输出的S为17，那么在判断框中可以填入()A．k>n B．k<n C．k≥n D．k≤n答案：A解析：第一次输入a＝2，此时S＝0×2＋2＝2，k＝0＋1＝1，不满足k＝1>n＝2；第二次输入a＝2，此时S＝2×2＋2＝6，k＝1＋1＝2，不满足k＝2>n＝2；第三次输入a＝5，此时S＝6×2＋5＝17，k＝2＋1＝3，满足k＝3>n＝2，循环终止，输出的S＝17.故选A.3．[2019·河北唐山模拟]如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是()A．求1＋3＋5＋…＋(2n－1)B．求1＋3＋5＋…＋(2n＋1)C．求12＋22＋32＋…＋n2D．求12＋22＋32＋…＋(n＋1)2答案：C解析：根据题意得a＝0，S＝0，i＝1；a＝1；S＝1，i＝2；a＝4，S＝1＋4，i＝3；a＝9，S＝1＋4＋9，i＝4；a＝16，S＝1＋4＋9＋16，i＝5，……依次写出S的表达式，总结规律，选项C满足要求．故选C.4．[2019·兰州市诊断考试]图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6,8,0，则输出的i＝()A．3B．4C．5D．6答案：B解析：执行程序框图，可得a＝6，b＝8，i＝0；i＝1，不满足a>b，不满足a＝b，b＝8－6＝2；i＝2，满足a>b，a＝6－2＝4；i＝3，满足a>b，a＝4－2＝2；i＝4，不满足a>b，满足a＝b，故输出的a ＝2，i＝4.5．[2019·江西师大附中模拟]按如图所示的程序框图，若输入a＝110011，则输出的b＝() A．45B．47C．49D．51答案：D解析：程序框图的效果是将二进制的数转化为十进制的数，即110011＝25＋24＋21＋20＝51，故选D.第5题图第6题图6．[2019·福建漳州八校联考]执行如图所示的程序，若输出的值为1，则输入的值为()A．0B．1C．0或1D．－1,0或1答案：C解析：当x ≥1时，由x 2＝1得x ＝±1，∴x ＝1符合题设；当x <1时，由－x 2＋1＝1得x ＝0，符合题设．∴输入的值为0或1.7．[2019·辽宁鞍山模拟]执行如图所示的程序框图，若输出的结果是3132，则输入的a 为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C解析：n ＝1，S ＝0＋121＝12；n ＝2，S ＝12＋122＝34；n ＝3，S ＝34＋123＝78；n ＝4，S ＝78＋124＝1516；n ＝5，S ＝1516＋125＝3132.∴若输出的结果是3132，则输入的a 为5.8．[2018·全国卷Ⅱ]为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入()A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案：B解析：把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下．循环次数①②③…○50N0＋110＋11＋130＋11＋13＋15…0＋11＋13＋15＋…＋199T0＋120＋12＋140＋12＋14＋16…0＋12＋14＋16＋…＋1100S1－121－12＋13－141－12＋13－14＋15－16…1－12＋13－14＋…＋199－1100因为N＝N＋1i，由上表知i是1→3→5，…，所以i＝i＋2.故选B.二、非选择题9．[2019·临汾模拟]图1是随机抽取的15户居民月均用水量(单位：吨)的茎叶图，月均用水量依次记为A1、A2、…、A15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，则输出的n的值为________．答案：7解析：由程序框图知，算法的功能是计算15户居民中月均用水量大于2.1的户数，由茎叶图得，在这15户居民中，月均用水量大于2.1的户数为7，∴输出n的值为7.10．某超市一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…，a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该超市用右面的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，请将程序框图补充完整，将①②③处的内容填在下面对应的横线上．(要求：画出程序框并填写相应的内容)①处应填________．②处应填________．③处应填________．答案：①处应填②处应填S ＝S ＋A③处应填V ＝S ＋T11．[2019·菏泽市一模]执行如图的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为________．答案：778解析：执行如图所示的程序框图，如下：k ＝3，n ＝1，S ＝1，满足条件2S <kn ，执行循环体，n ＝2，S ＝53；满足条件2S <kn ，执行循环体，n ＝3，S ＝3512；满足条件2S <kn ，执行循环体，n ＝4，S ＝214；满足条件2S <kn ，执行循环体，n ＝5，S ＝778；不满足条件2S<kn，终止循环，输出S的值为77 8 .12．关于函数f(x)＝－x，1<x≤4，cos x，－1≤x≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a，b]，则输出的区间是________．答案：[0,1]解析：由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x，x∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x)＝－sin x≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0,1]．11。
