数的整除——崔氏特征数1.整除的定义
所谓“一个自然数a能被另一个自然数b 整除”就是说“商a
b
是一个整数”；或
者换句话说：存在着第三个自然数c，使得a b c
=⨯．这是我们就说“b整除a”
或者“a被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记作：“|b a”．
2.整除性质：
⑴传递性若|c b，|b a，则|c a．
⑵可加性若|c a，|c b，则|c a b
±
（）．
⑶可乘性若|c a，|d b，则|
cd ab．
3.整除的特征
⑴2,5，4,25,8,125,16,625的整除特征,能否被4和25整除是看末两位；能否被8和125整除是看末三位；能否被16和625整除是看末四位
(100425
=⨯,10008125
=⨯,1000016625
=⨯,100000323125
=⨯)
⑵3,9的整除特征
能否被9整除是看数字之和是否是9的倍数，并且这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是9的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表这个数除以九余几
⑶7,11,13的整除特征
①能否被7，11，13整除规律是把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看
奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被7,11,13除余几就代表这个数除以7,11,13余几
②能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否
为11的倍数，并且算出的差除以11余几就代表这个数除以11余几
③被99整除特征从右往左每两位一段，看各段之和能否被99整除
⑷其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征
如7289
=⨯，99119
=⨯，1234
=⨯，100171113
=⨯⨯
（这样我们就知道1至16所有整数的整除特征）
4.利用整除特征判断余数问题
一个数如果不能被11整除要问除以11余几，我们可以用奇数位数字之和减偶数位数字之和的差除以11的余数（如果不足补11的倍数）
本讲要点
在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数．
（1）、请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；
（2）、一共有多少种满足条件的填法？
【分析】 一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9
的倍数，而4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．
⑴依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数； ⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．
用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
【分析】 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所
以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．
要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每
组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A ；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B ．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：
偶位 奇位
⑴ 1，8 9，8
⑵ 1，9 8，8
⑶ 9，8 1，8
⑷ 8，8 1，9
经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：189A =+=，98320B =++=，
11B A -=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．
例2
例1
在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有 个。 共18个
下图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。比如a =5×10=50，b =50×12=600。那么c 方格内所填的自然数的末尾有___个连续的0。
c
b
a 2520
15
10
516
141210 共102个0，用崔氏造坦克法。
已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？
被99整除的规律是从末尾开始，两位一段，求和，和为99的倍数则原数就是99的倍数。很容易求得原数为200731212.
例5
例4
例3
1. 要使156ABC 能被36整除，而且所得的商最大，那么A 、B 、C 分别是多少？ 因为3649=⨯，所以6C 能被4整除，从而C 只可能是1，3，5，7，9.要使商最大，A 、B 应尽可能大，先取9A =，则3B C ++是9的倍数，8B =，7C =时，取得最大值。
2. 393□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所
得到的3个四位数：依次可被6，11，8整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?
2|6|39363|(393)3|a a a a a ⎫⎧⎪
⇒⇒=⎨⎬+++⇒⎪⎩⎭
或0
11|39311|(933)11|(3)8a a a a ⇒+--⇒+⇒=
8|3938|936a a a ⇒⇒=
所以三个数字和为68620++=。或0+8+6=14.
3. 六位自然数1082□□能被23整除，末两位数有多少种情况．
试除法。因为108200234704.....8÷=，把余8看做不足15。所以，方框中的数为15、38、61、84四种情况时，六位数能被23整除.所以末两位数有4种情况．
4. 975935972⨯⨯⨯，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应
填什么数？
积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5．9755539=⨯⨯，9355187=⨯，97222243=⨯⨯，共有3个5，2个2，所以方框内至少是22520⨯⨯=．
5. 试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，
那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)
设原序数为abcd ，则反序数为dcba ，则
abcd ＋dcba (100010010)(100010010)a b c d d c b a =+++++++
10011101101001a b c d =+++
家庭作业
