第16 章 蒙特卡罗方法与自助法

并行化处理和加速技术
并行化模拟
将模拟过程分解为多个独立的子任务，并分配给不同的计 算节点进行并行处理，从而加快模拟速度。
GPU加速技术
利用GPU的并行计算能力，对蒙特·卡罗模拟中的计算密集 型任务进行加速处理。
分布式处理技术
将大规模模拟任务分解为多个小任务，并分配给分布式系 统中的多个节点进行处理，以实现更高效的模拟和更短的 计算时间。
02
蒙特·卡罗方法数学基础
概率论与数理统计基础
概率空间与事件
定义概率空间，理解事件的独立性、 互斥性等基本性质。
随机变量及其分布
掌握离散型和连续型随机变量的概念 ，熟悉常见的概率分布（如二项分布 、正态分布等）。
数学期望与方差
理解数学期望和方差的概念，会计算 随机变量的数学期望和方差。
大数定律与中心极限定理
蒙特·卡罗方法可用于模拟结构在各种工况下的响应，优化结构 设计方案，提高结构的安全性和经济性。
工艺流程优化
通过蒙特·卡罗方法模拟工艺流程中的各种不确定因素，优化工 艺参数和操作条件，提高产品质量和生产效率。
控制策略优化
蒙特·卡罗方法可用于模拟控制系统的动态过程，优化控制策略 ，提高控制系统的稳定性和控制精度。
系统故障模拟
蒙特·卡罗方法可用于模拟复杂系 统的故障过程，评估系统的可靠
性和维修性。
风险评估
通过蒙特·卡罗方法模拟各种风险 因素对系统的影响，量化风险指标 ，为风险管理提供决策支持。
敏感性分析
蒙特·卡罗方法可用于分析系统参数 变化对系统性能的影响，确定关键 参数和敏感因素。
工程设计优化问题
结构优化设计
根据设计的模拟流程，编写相应的模拟程 序，实现模拟实验的自动化进行。

3.5 舍选抽样法 几何解释
– 在二维图上，随机选取位于曲线cQ*(x)下的点[x,u]； – 选取位于曲线P*(x)下的那些点，则这些点将服从概率密度为P(x)的分布
常数c的选取
– 常数c应尽可能地小,因为抽样效率与c成反比 – c=max{P*(x)/Q*(x)}, x ∈[a,b]
蒙特卡罗方法(Monte Carlo simulation)
直接抽样法不可用、舍选抽样法效率低 假定：概率密度函数可写成下面的因子化形式
f ( x)dx = C f ,
f ( x) =
1 f ( x) Cf
p ( x) = f ( x) g ( x)
其中：
– – f(x)包含了p(x)的峰值部分且可用直接抽样法进行抽样 g(x)是一个相对变化平缓的函数，包含了p(x)函数的大部分的数学复杂性；
k k
pk ≥ 0; ∑ pk = 1;
抽样方法：
∫f
k
( x)dx = 1
– 利用离散型的随机变量的抽样方法抽取序号k;
r ∈ U [0,1];
∑p
i =1
k 1
i
≤ r ≤ ∑ pi
i =1
kf ( x ) = 0 .5 e
,0 )
x
例：用复合法产生双指数分布随机数
ε=
ε ∈ [ε 0 ,1]
E0 ; E1
me c 2 ; me c 2 + E0 (1 cos θ )
E1 = E1min → ε 0 =
me c 2 me c 2 + 2 E0
如何抽取散射光子的能量？==〉乘加抽样法
2 ε sin θ 1 Φ (ε ) + ε 1 = f (ε ) g (ε ) = [α 1 f1 (ε ) + α 2 f 2 (ε ) ]g (ε ) 1+ ε 2 ε

p P A l sin
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0

l sin
0
1 d
2l dAd d
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例1. 蒲丰投针问题

数学建模专题之 Monte Carlo方法
利用关系式：
2l p d
求出π值
2l 2l 1 2l N ( ) dp d p d n
其中Ｎ 为投计次数，n 为针与平行线相交 次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
分析：这是一个概率问题，可以通过理论计算得到相应的概 率和期望值.但这样只能给出作战行动的最终静态结果，而显 示不出作战行动的动态过程. 为了能显示我方20次射击的过程，现采用模拟的方式。
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问题分析
需要模拟出以下rlo方法
[1] 观察所对目标的指示正确与否
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Matlab中的取整函数
fix(x) floor(x) ceil(x) round(x)
数学建模专题之 Monte Carlo方法
: 截尾取整，直接将小数部分舍去 : 不超过 x 的最大整数 : 不小于 x 的最小整数
: 四舍五入取整
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小实例一：投掷硬币
数学建模专题之 Monte Carlo方法
模拟结果
试验 序号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 投硬币 结 果 正 正 反 正 正 反 正 正 反 反 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ３ ６ ∨ ∨ 指示 正确 ∨ ∨ ∨ １ ２ 指 示 不正确 掷骰子 结 果 ４ ４ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ０ １ ∨ ∨
数学建模专题之 Monte Carlo方法
John Von Neumann (1903-1957)

蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。

传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

这也是我们采用该方法的原因。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。

这就是蒙特卡罗方法的基本思想。

蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。

它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。

蒙特卡罗解题三个主要步骤：构造或描述概率过程：对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。

即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

实现从已知概率分布抽样：构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。

最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。

随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。

随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。