变系数线性微分方程的算子解法

二阶变系数线性微分方程求解法探究
李雷民
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2015(000)017
【摘要】二阶线性齐次微分方程是微分理论的重要组成部分,在现代科技、工程等领域中都有广泛应用,这其中很多的应用情况都归属于二阶线性常微分方程的范畴中。

在微分理论中常系数微分方程可以利用线性常微分的理论求解,但变系数类型的求解则相对较难,至今都很难找到有效的求解方法。

本文以二阶边系数线性微分方程的求解意义作为出发点,对一般与特殊的二阶变系数线性微分方程的解法进行探讨,希望能为相关研究人员提供些许参考作用。

【总页数】1页(P99-99)
【作者】李雷民
【作者单位】河南化工职业学院,河南郑州450042
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法
2.高阶变系数线性微分方程的一种求解法
3.关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究
4.某类—阶变系数线性齐次微分方程组的求解法
5.二阶变系数线性微分方程的解法探讨
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二阶变系数线性微分方程的解法研究作者：白慧来源：《知识文库》2018年第08期众所周知的是，对与二阶变系数线性微分方程其一般解析式：y"+p（x）y'+q（x）y=f（x）①基于其定义我们可以知道P（x）、G（x）、F（x）是连续的，那么方程的解是存在的。

但是其可积性也只能是三者处于特定的情况下才能存在。

这部分内容比较深奥，在大部分普通高校微积分的教材中虽然没有对其解法的完整体现，但是学生们在自行阅读的时候很可能会阅读到相关方面的文献的时候很可能会看到相关的问题。

因此针对这种情况我们应该积极的寻找其中的相通之处进而找为学生们的更好的理解这些问题的重要途径。

1可积条件首先在方程①，我们通常所使用的方式是采用变量对上述的方程进行替换，并且一般替换的对象是可降价的方程或者是常系数线性方程。

这种方式的制约性就是在选择使用怎样的方式来进行替换的时候必须要看P（x）和Q（x）之间存在怎样的关系来确定。

就是在进行计算的过程中需要受到很多方面的影响，变量的不确定性大大增加了在解方程过程那种的困难性。

接下来我们探讨方程①可积的重要条件：P（x）、G（x）、F（x）≠0以及常数b、c②经过变换我们不难看出当①中的p（x）和q（x）分解为②时，即方程：③经过双变化之后不难看出其常系数线性方程：④之后可以再次经过转化得出：⑤在对方程：⑥双变换完成之后：显然上述的公式是错误的。

上述方程①中是的p（x）和q（x），在进行分解的过程中一般都不会将其分解成②的形式，一般在针对某些简单的情况下，我们可以使用拼凑法的形式；而在比较麻烦的情况下，往往可以使用“分项比较法”的方式来完成实现结题的过程。

基于此，本人认为，对可积方程①的求解，首先是观察方程①是不是能够形式简单并且便于记忆的方程，若不是再进行考虑如②的分解方式，这样可以为自己的结题提供一种比较简单的并且简捷的思路，从而不至于在拼凑的项目中难以找到相应G（x）、F（x）以及b、c 的值。

一类变系数微分方程通解公式的求法一类变系数微分方程通解公式的求法是一个重要的数学问题，它在应用数学和物理学中具有广泛的应用。

这类微分方程的特点是方程中的系数是随着自变量的变化而变化的。

为了解决这类微分方程，我们可以使用一种叫做常数变易法的方法。

常数变易法的基本思想是假设微分方程的解可以表示为一个未知函数乘以一个待定的常数，然后通过对常数的求导来消去未知函数，从而得到一个只含有常数的代数方程。

最后，通过求解这个代数方程来确定常数的值，从而得到微分方程的通解。

具体而言，假设我们要求解的微分方程为：[y'' + p(x)y' + q(x)y = 0]其中，(p(x))和(q(x))是给定的函数。

我们将解设为：[y(x) = u(x) cdot v(x)]其中，(u(x))是未知函数，(v(x))是待定的常数。

将这个解代入微分方程中，我们可以得到：[u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + p(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) = 0]我们再对上式两边关于(x)求导数，可以得到：[u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + p(x)u'(x)v(x) + p'(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) = 0]将上述两个式子相减，可以消去(u''(x)v(x))和(u'(x)v(x))两项，得到：[2u'(x)v'(x) + p'(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) = 0] 将上式整理，可以得到：[u'(x)v'(x) = -frac{p'(x)}{2}u(x)v(x)]我们可以看出，上式左边只含有(u'(x))和(v'(x))，而右边只含有(u(x))和(v(x))。

常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。

1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。

设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。

（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。

这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。

给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。

不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。

“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。

浅谈线性微分方程的若干解法
线性微分方程是微分方程中最基本的一类，一般形式为：
\frac{d^n}{dx^n}y+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+\cdots+a_1(x)\frac{dy}{d x}+a_0(x)y=g(x)
其中y(x)是未知函数，a_i(x)和g(x)是已知函数，n为正整数。

线性微分方程的解法主要有以下几种方法。

1. 齐次线性微分方程的通解
当g(x)=0时，方程称为齐次线性微分方程。

这种方程的解法非常简单，可以使用代数的方法求解。

我们假设y(x)的一个解为y_1(x)，则齐次线性微分方程的通解为：
y(x)=c_1y_1(x)
其中c_1为任意常数。

2. 叠加原理
线性微分方程满足叠加原理，即如果y_1(x)和y_2(x)分别是方程的两个解，则它们的线性组合c_1y_1(x)+c_2y_2(x)也是方程的解。

对于非齐次线性微分方程，可以将其拆分为齐次线性微分方程和特解两部分，分别求解，然后将两部分的解相加即可得到原方程的通解。

4. 微积分学中的方法
有些线性微分方程可以使用微积分学中的方法求解，例如常系数线性微分方程和二阶线性齐次微分方程等。

5. 变量分离法
对于一些特殊的线性微分方程，可以使用变量分离法求解。

例如
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=0就可以使用变量分离法求解。

线性微分方程的解法是多种多样的，根据具体的方程形式和已知条件选择不同的解法进行求解。

以上只介绍了一些常见的解法，实际应用中可能还会用到其他更复杂的方法。

微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。

关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。

因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。

我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。

(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。

则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。

浅谈线性微分方程的若干解法线性微分方程是指形如：$$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)$$其中 $y$ 的导数 $y', y'', \cdots, y^{(n)}$ 和 $y$ 都是 $x$ 的函数，$a_0(x), a_1(x),\cdots, a_{n-1}(x) $ 和 $g(x)$ 也都是 $x$ 的函数的方程。

线性微分方程的解法很多，我们只介绍其中几种常见的。

一、常数变易法可以用常数变易法求解。

设此齐次方程的一个特解为 $y_1(x)$，则其通解为：二、利用指数函数求解对于形如：$$y^{(n)}+p(x)y'+q(x)y=0$$的线性齐次微分方程，可以用指数函数的形式求得其通解。

具体方法如下：设 $y=e^{rx}$ 为方程的解，则：$$y^\prime = re^{rx}, y^{\prime\prime} = r^2 e^{rx}, \cdots, y^{n}=r^n e^{rx}$$带入原方程，则有：$$r^ne^{rx} + p(x)re^{rx} + q(x) e^{rx} = 0$$等式两边除以 $e^{rx}$，得到：这是一个 $n$ 次代数方程，可以解出 $r_1,r_2,\cdots,r_n$，从而得到方程的$n$ 个线性无关解：它们的任意线性组合就是该方程的通解。

三、利用常系数齐次微分方程求解其通解为：的不同根。

$C_1,C_2,\cdots,C_n$ 是任意常数。

四、利用拉普拉斯变换求解拉普拉斯变换能够将微分方程转化为代数方程，对求解某些微分方程非常有用。

对于线性微分方程：其中右边的函数 $f(x)$ 满足一定的条件。

我们先对于方程两边作拉普拉斯变换：$$\mathcal{L}\left[y^{(n)}\right] +a_{n-1}\mathcal{L}\left[y^{(n-1)}\right]+\cdots+a_1\mathcal{L}\left[y^\prime\right]+a_0\mathcal{L}\left[y\right]=\mathcal{L}\left[f(x)\right]$$$$(s^n Y(s) - s^{n-1}y(0) - \cdots - y^{(n-1)}(0)) +a_{n-1}(s^{n-1}Y(s)-s^{n-2}y(0)-\cdots-y^{(n-2)})+\cdots+a_1sY(s)+a_0Y(s)=F(s) $$其中 $y(0),y'(0),\cdots,y^{n-1}(0)$ 是初值条件。

第３１卷第５期　２０１３年０９月　佳木斯大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３１　Ｎｏ．５　

Ｓｅｐ．　２０１３　

文章编号：１００８—１４０２（２０１３）０５—０７８６—０２　

一类变系数偏微分方程的解法①　宋杨　（吉林师范大学数学学院。吉林四平１３６０００）　

摘要：运用ＡＣ＝ＢＤ的思想，将一类变系数偏微分方程线性化，并利用行波法将方程约化成　常微分方程求出方程的行波解．　关键词：偏微分方程“ＡＣ＝ＢＤ”法行波法　中图分类号：０１７５．２　文献标识码：Ａ　

１　问题的提出　张鸿庆教授在１９７８年提出了关于微分方程求　解的“ＡＣ＝ＢＤ”模式及其应用，这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均　为微分算子．“ＡＣ＝ＢＤ”的基本思想方法为：已知　Ａｖ＝０和Ｄｕ＝０，寻找适当的变换口＝Ｃｕ，使得Ｄｕ　

＝０（其中Ｃ　ｋｅｒ　Ｄ］ｋｅｒＡ，ｋｅｒ表示算子的核），对　一般微分方程的求解，转化成对下面问题的解决：　给定算子Ａ构造算子Ｄ和使Ｃ　ｋｅｒ　Ｄ＝ｋｅｒ　Ａ如何　构造变换ｔ，＝Ｃｕ，把求解方程Ａｖ＝０的问题约化成　求解方程Ｄｕ＝０的问题…．　本文研究变系数偏微分方程　Ｏ　－Ｖ　＋ｍｌ。）（ａ　３

－－－Ｖ　Ⅲ　㈤（２　＝ｏ　

的求解，其中　（ｉ＝１，２）为ｔ的任意函数．　２　定义和引理　为了证明方程（１）给出定义２．１和引理２．１．　定义２．１　设　是线性空间，Ａ，　，Ｃ，Ｄ是从　到　的算子，对任意　∈Ｘ，　ＡＣ（　）＝Ａ（Ｃｖ），ＢＤ（　）＝Ｂ（Ｄｖ）　如果对Ｖｖ∈Ｘ，ＡＣ（　）＝Ｂ（Ｄｖ），则称ＡＣ＝ＢＤ．　引理２．１　设Ⅱ（　，　）Ｅ　Ｘ，是常系数ＫＤＶ方　程　＋６ｕｕｆ＋　搿　０　

的解，Ｂ＿￣　ａｕ，　ａｕ

，　∈　，则有　

当ａ＜ｂ＜ｃ时，　Ｍ（．ｒ，　）＝ｂ＋（ｃ—ｂ）ｏｎ　

【　（ｃ－０）｝（　－２（。＋６＋ｃ）．ｒ＋　，　）】　其中ｌ＂ｔ为实数．　当０＜ｂ≠ｃ时，　（　，　）＝口＋（ｃ—ａ）ｓｅｅ　ｈ　

浅谈线性微分方程的若干解法【摘要】线性微分方程是微积分中的重要内容，解析解与数值解是两种常见的求解方式。

本文将从常系数和变系数线性齐次微分方程的解法入手，介绍了特解的求解方法。

然后深入探讨了常系数和变系数线性非齐次微分方程的解法，并比较了不同类型线性微分方程的求解方法。

结合实际问题讨论了线性微分方程的解法选择。

通过本文的学习，读者可以更全面地了解线性微分方程的若干解法，从而更好地解决相关问题。

【关键词】线性微分方程、解析解、数值解、常系数、变系数、齐次微分方程、非齐次微分方程、特解、求解方法、比较、解法选择。

1. 引言1.1 线性微分方程的基本概念线性微分方程是微积分学中一个重要的分支，它广泛应用于物理、工程、经济等领域。

线性微分方程的基本概念可以简单概括为含有未知函数及其导数的线性组合等于已知函数的微分方程。

未知函数通常代表某个物理量或者变量，而已知函数则是对未知函数的约束条件。

线性微分方程可以分为常系数线性微分方程和变系数线性微分方程两种类型。

常系数线性微分方程的特点是系数不随自变量而变化，而变系数线性微分方程则相反，系数是自变量的函数。

对于线性齐次微分方程，当右端为零时，即为齐次方程，否则为非齐次方程。

而解析解与数值解的区别在于，解析解是通过解析方法得到的一个公式表达式，而数值解则是通过数值计算方法近似得到的解。

理解线性微分方程的基本概念对于学习和应用微分方程至关重要。

通过掌握线性微分方程的基本概念，我们可以更好地理解和应用不同类型的线性微分方程的解法。

在接下来的内容中，我们将详细讨论常系数和变系数线性微分方程的解法以及特解的求解方法，帮助读者更深入地了解线性微分方程的解题技巧和方法。

1.2 解析解与数值解的区别解析解与数值解是两种不同的求解线性微分方程的方法。

解析解是通过数学分析和求解得到的精确解，通常以具体的函数形式表示。

而数值解则是通过数值计算方法得到的近似解，通常以数值形式表示。

解析解的优点在于能够给出精确的解析表达式，可以直接得到解的性质和特点。

目录1 引言12 一阶变系数常微分方程的解法探讨12.1 变系数一阶微分方程的几个可积类型12.2 应用举例73二阶变系数线性微分方程的解法探讨93.1用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解93.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索113.1.2 确定的通解123.1.3用常数变易法确定的特解143.1.4应用举例153.2二阶变系数线性微分方程的积分因子解法173.2.1关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论173.2.2讨论如何求出193.2.3应用举例203.3二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法223.3.1利用自变量的变换实现常系数化223.3.2利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化243.3.3 应用举例264三阶变系数线性微分方程的解法探讨284.1 方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件294.2 应用举例33结束语34参考文献34致35变系数常微分方程的解法探讨数学计算机学院数学与应用数学专业2013届余小艳摘要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法. 本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件. 又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解围.关键词：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换中图分类号：O175.1Discussion on the Solution of Ordinary Differential Equation withVariable CoefficientAbstract: So far, there hasn’t been an established method on how to solve Ordinary Differential Equation (ODE) with Variable Coefficients. This paper presents some methods of solving the second order linear ODE with variable coefficients by means of searching special solution and variable transformation, etc. This paper also gives an introduction to the necessary and sufficient conditions of first order linear ODE and 3 rd order linear ODE with variable coefficient that can be translated into constant coefficients. Moreover, we give some examples to illustrate the feasibility of these methods. Hence, the results effectively extend the solvable for the variable coefficient differential equations.Key words: variable coefficients ordinary differential equations；second order differential equations with variable coefficients；general solutions；variable transformation变系数常微分方程的解法探讨1 引言常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科,并且在求解问题,模型,指导实践中有着极为广泛的应用.二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中一类常见的方程，但迄今为止，二阶变系数常微分方程的通解问题在数学领域并没有解决.变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，因此，研究变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的理论意义和应用价值.众所周知，变系数一阶微分方程具有一般的解法，由于在理论研究和实际应用中出现有大量的二阶及三阶以上的高阶变系数线性微分方程，因此，近年来数学领域对高阶变系数线性微分方程求解方程的研究，并取得了一些成果.本文在总结变系数一阶常微分方程解法的同时，着重就二阶及三阶变系数线性微分方程的求法进行了探讨，最后又给出了这些解法的应用及推广.2一阶变系数常微分方程的解法探讨2.1变系数一阶微分方程的几个可积类型对于一阶常微分方程我们常用解法有：分离变量法，变量替换法，积分因子法，常数变易法等.在此，主要讨论变系数一阶微分方程的几个可积类型.为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数一阶微分方程的标准形式为：(2.1)定理2.1[2]设.如果等式(2.2)在I上成立（k为常数），则方程(2.3) 是可积的.证明令,则(2.4) 将（2.2），（2.4）代入（2.3），得,. 属于可分离变量型，而V可由（2.4）解出，所以方程（2.2）是可积的.推论2.1 设为常数，则方程(2.5) 是可积的.在定理2.1中，令,则,即得推论2.1.利用推论2.1，可以用化归为可分离变量型的求解方法，统一处理有关类型的一阶方程.(1)奇次方程(2.6)是（2.5）式，当时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.6）式化归为可分离变量型来求解.(2)线性一阶方程(2.7)是(2.5)式，当时的特例.由定理2.1，可令,将（2.7）化归为来求解，其中.(3) Bernoulli方程.(2.8)这是（2.5）式，在时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.8）化归为可分离变量型来求解.推论2.2 设如果存在常数,使得(2.9) 成立，则Riccati方程(2.10) 是可积的.证明将（2.9）式变形为令它是Brinoulli方程的通解.显然，.在定理2.1中，令,应用定理2.1（此时定理中的），知方程即（2.10）是可积的.推论2.3 为常数，则一阶微分方程是可积的，其中为常数.在定理2.1中，令即可得推论2.3.定理2.2设为常数，则方程（2.11）是可积的.证明令则（2.11）可变形为.由定理2.1推论2.1，知（2.11）是可积的.推论2.4 设为常数，则下列方程都是可积的..在（2.11）中，令分别等于即得结论.2.2 应用举例例2.1解方程(2.12)解将（2.11）变形为,.由定理2.1，推论2.1知，可令(2.12)可化为两边积分，得(2.12)的通解为例2.2解方程(2.13)解取，容易验证条件（2.9）是满足的.由定理2.1，推论2.2知，故（2.13）可积.令（2.13）变形为两边积分，得为任意常数. 令则为任意常数为（2.13）的通解.3 二阶变系数线性微分方程的解法探讨3.1 用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解众所周知，的通解为其中，,且线性独立.引理3.1[3]若为之解，则仍为之解，且时，为的通解.引理 3.2若为之一特解，则为之通解.关键性的问题是如何找的两线性无关的解和的特解.3.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索关于变系数线性二阶微分方程如何视查其特解，有如下的探索.（1）若，则为其特解.特殊地：当，即时，为其特解.当，即时，为其特解.例：①,为其特解；②,为其特解；③,为其特解；（2）若,则为其特解；（3）科西-尤拉方程(为常数) 令去试探例：解方程令,a得=0故有通解.3.1.2确定的通解定理3.1 若方程，已知一个特解，则可用公式确立其另一个特解：,且线性独立.证明令, 则带入方程整理：由有积分从而只要不是常数。

变系数线性微分方程在微积分学中，我们学习了线性微分方程。

其中最常见的是一阶线性微分方程，它可以写成下面这个形式：$$y' + p(x)y = q(x)$$这个方程可以通过积分因子法来求解。

但是有时候，我们遇到的微分方程中的$p(x)$和$q(x)$并不是常数，而是$x$的函数。

这时候我们就需要考虑变系数线性微分方程：$$y'(x) + p(x)y(x) = q(x)$$这个方程的求解比较困难，但是它的解法和一阶常系数线性微分方程的解法有很多相似之处。

首先，我们需要找到一个积分因子来消掉$p(x)$的影响。

这个积分因子可以写成一个函数$u(x)$的指数形式，即$u(x)^{-p(x)}$。

将$y(x)$乘以这个积分因子，得到：$$u(x)^{-p(x)}y'(x) + u(x)^{-p(x)}p(x)y(x) = u(x)^{-p(x)}q(x)$$这个方程的左边可以写成乘积法的形式：$$(u(x)^{-p(x)}y(x))' = u(x)^{-p(x)}q(x)$$我们可以对两边同时积分，得到:$$u(x)^{-p(x)}y(x) = \int u(x)^{-p(x)}q(x)dx + C$$其中$C$是一个常数，可以通过初始条件来确定。

这个方程的解法比较复杂，需要先找到一个合适的积分因子，然后解一个一阶常系数微分方程。

但是它的解法也有一些特殊情况。

当$p(x)$和$q(x)$都是多项式函数或者指数函数时，可以使用常数变易法。

这种方法是假设$y(x)$是一个与$x$有关的常数$C$的函数，然后将这个函数$C$代入原方程中，得到一个关于$C$的代数方程，通过求解这个方程来得到$y(x)$的表达式。

另外一种情况是当$p(x)$和$q(x)$都是三角函数、指数函数或者多项式函数的乘积时，可以使用待定系数法。

这种方法是假设$y(x)$是一个多项式函数的形式，然后将这个多项式函数代入原方程中，通过求解多项式系数来得到$y(x)$的表达式。

一类变系数线性微分方程初值问题的连续
解
一类变系数线性微分方程初值问题是一类重要而常见的数学问题。

它以具有变系数的线性微分方程为基础，利用特定的初值条件，求解满足该线性微分方程的连续解。

定义：设某函数y=y(t)，在区间[a,b]上满足微分方程$$\frac{dy}{dt}=f(t,y),t\in[a,b],y(a)=y_a$$其中f(t,y)是[a,b]上的连续函数，y_a是给定的初值。

这样的问题，称为一类变系数线性微分方程初值问题。

一类变系数线性微分方程初值问题的解的存在性由几何极限定理证明：设[t_
0,t_1]是[a,b]上的任意区间，且t_0<t_
1。

若f(t,y)在[t_
0,t_1]×[y_
0,y_1]上有界，且f(t,y)在[t_
0,t_1]上连续，则存在唯一的连续函数y=y(t)，满足微分方程$$\frac{dy}{dt}=f(t,y),t\in[a,b],y(a)=y_a$$一类变系数线性微分方程初值问题的解的构造可以采用不同的方法，比如逐步逼近法、坐标变换法、积分法等。

逐步逼近法是一种简单而有效的求解方法，它采用分段函数作为解的近似，在不同的区间上使用不同的近似函数，并以此逐步逼近最终解。

坐标变换法是一种常用的求解方法，它利用变量变换将一类变系数线性微分方程转化为一类容易求解的常系数线性微分方程，从而求解原方程的解。

积分法是一种经典的求解方法，它利用积分的思想，从初值开始，将整个区间上的微分方程全部积分，求出满足初值条件的解。

一类变系数线性微分方程初值问题的求解是数学中重要而常见的问题，使用不同的方法可以求出满足初值条件的连续解。