高中数学 课时天天提分练28 二倍角习题课 北师大版必修4

28 二倍角习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)

1．若π<α<2π，则化简1－α－π2的结果是( )

A．sinα2 B．cosα2
C．－cosα2 D．－sinα2
答案：C
解析：∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cosα2<0，原式＝1＋cosα2＝cosα2＝－cosα2.
故选C.
2．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为( )

A．－72 B．－12
C.12 D.72
答案：C

解析：方法一：原式左边＝sinπ2－2α－sinπ4－α

＝2sinπ4－αcosπ4－α－sinπ4－α
＝－2cosπ4－α
＝－2(sinα＋cosα)
＝－22

∴sinα＋cosα＝12，故选C.
方法二：原式＝cos2α－sin2αsinα·cosπ4－cosα·sinπ4

＝α－sinαα＋sinα22α－cosα
＝－2(sinα＋cosα)
＝－22
∴cosα＋sinα＝12，故选C.
3．若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sin(5π－θ)＝( )
A.34 B.74
C.34或74 D．－34
答案：A
解析：解法一：因为θ∈π4，π2，所以2θ∈π2，π.又sin2θ＝378，所以cos2θ

＝－1－sin22θ＝－1－3782＝－18，所以sin(5π－θ)＝sinθ＝1－cos2θ2＝
1＋
1
8
2＝34
.故选A.

解法二：因为sin2θ＝378，所以2sinθcosθ＝378，即sinθcosθ＝3716.又sin2θ
＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝9×7162，即sin4θ－sin2θ＋9×7162＝0，
解得sin2θ＝916或sin2θ＝716.又θ∈π4，π2，所以22≤sinθ≤1，所以sinθ＝34.所以
sin(5π－θ)＝sinθ＝34，故选A.
4．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )
A．－a2 B.a2
C．－a D．a
答案：C
解析：方法一：sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.

方法二：原式＝－12(cos2α－cos2β)

＝－12(2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－a.
5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2A2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
答案：B

解析：∵sinBsinC＝cos2A2，∴sinBsinC＝1＋cosA2，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，
2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
即cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.
6．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是( )
A．[－1,1] B.－12，12

C.－14，34 D.－34，14
答案：C
解析：cosAsinC＝12[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝14－12sin(A－C)，

∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈－14，34.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若θ∈5π4，3π2，sin2θ＝378，则sinθ的值为________．

答案：－34
解析：因为θ∈5π4，3π2，所以2θ∈5π2，3π，cos2θ<0，所以cos2θ＝－

1－sin22θ＝－18.又sinθ＝－1－cos2θ2＝－1－－182＝－34.
8.1sin10°－3sin80°的值为__________．
答案：4
解析：原式＝1sin10°－3cos10°＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝＋12sin20°＝4.

9．已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)＝__________.
答案：1
解析：tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα＝1－tanα1＋tanα＝tanπ4－α，

∵π4－α，β∈－π2，π2且y＝tanx在－π2，π2上是单调增函数，
∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tanπ4＝1.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．证明：cos2π7＋cos4π7＋cos6π7＝－2sinπ12cosπ12.

解析：左边＝12sinπ7·




2sinπ7cos2π7＋2sinπ7cos4π7＋2sinπ7cos
6π

7

＝12sinπ7 sin3π7－sinπ7＋

sin5π7－sin3π7


sin7π7－sin
5π

7
＝12sinπ7sinπ－sinπ7
＝－12，
右边＝－sinπ6＝－12，因为左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝sinx＋7π4＋cosx－3π4，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求f(β)．

解析：(1)f(x)＝sinxcos7π4＋cosxsin7π4＋cosxcos3π4＋sinxsin3π4＝2sinx－2
cosx＝2sinx－π4，
所以最小正周期T＝2π，f(x)min＝－2.
(2)cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝45， ①

cos(β＋α)＝cosβcosα－sinβsinα＝－45. ②
①＋②，得cosαcosβ＝0，
于是由0<α<β≤π2，得cosβ＝0，β＝π2.

故f(β)＝2sinπ2－π4＝2.
12．已知向量a＝(1，－3)，b＝(sinx,2cos2x2－1)，函数f(x)＝a·b.

(1)若f(θ)＝0，求2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解析：(1)∵a＝(1，－3)，b＝sinx，2cos2x2－1，

∴f(x)＝a·b＝sinx－32cos2x2－1＝sinx－3cosx.
∵f(θ)＝0，即sinθ－3cosθ＝0，
∴tanθ＝3，

∴2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1＝1－33＋1＝－2＋3.

(2)f(x)＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，
∵x∈[0，π]，∴x－π3∈－π3，2π3，
当x－π3＝－π3，即x＝0时，f(x)min＝－3；
当x－π3＝π2，即x＝5π6时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－3，2]．