概率统计复习资料

《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程 期 末 复 习 资 料 注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差与相关系数. 16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。

23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、2检验法、F检验法解题。 24、掌握正态总体均值与方差的检验法。

概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 5．会用中心极限定理解题。 6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断。 2．计算样本均值与样本方差及样本矩。 3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。 5．掌握无偏性与有效性的判断方法。 6．会求正态总体均值与方差的置信区间。 7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。

概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子 摸球模型 例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 例2：袋中有a个白球，ｂ个黑球，c个红球，从中任意取出ｍ(m≤a+ｂ)个球，求取出的m个球中有k1(≤a) 个白球、k2(≤b) 个黑球、k3(≤c) 个红球(k1＋k2＋k3=m)的概率. 占位模型 例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A={指定n个格子中各有一个质点}；(2) B={任意n个格子中各有一个质点}； (3) C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}. 抽数模型 例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？ 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 如对于事件A，B，A或B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为A或B之中的几个，求另外几个。 例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB) 例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(A－B)，P(AB)，)|(BAP，)|(BAP，)|(BAP

3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,„,n,„的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i | A)。 例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 (1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,„,n,„ 确定参数 求概率P(a求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)] 例：随机变量X的分布律为. X 1 2 3 4 p k 2k 3k 4k

确定参数k 求概率P(0求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数2)3(XY的分布律及期望2)3(XE

(2)已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x) 确定参数 求概率P(a求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数Y=g(X)的密度函数及期望E[g(X)]

例：已知随机变量X的概率密度为其他0202xkxxf， 确定参数k 求概率}31{XP 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数XY的密度及期望)(XE (3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,„,m,„；j=1,2,„,n,„ 确定参数 求概率P{(X,Y)G} 求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,„,m,„；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,„,n,„ 求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,„,m,„和P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,„,n,„ 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数XY，判断是否不相关 求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望E[g(X, Y)] 例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y X 0 1 2 3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.03 0.05 0.05 0.07 2 0.02 0.05 0.1 0.13 求概率P(X求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数XY，判断是否不相关 求Z=X+Y，W=max{X，Y}，V=min{X，Y}的分布律 (4)已知二维连续型随机变量X的联合密度函数f(x, y) 确定参数 求概率P{(X,Y)G} 求边缘密度)(xfX，)(yfY，判断YX,是否相互独立 求条件密度)|(|yxfYX，)|(|xyfXY 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数XY，判断是否不相关 求函数Z=g(X, Y)的密度函数及期望E[g(X, Y)]

例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为其它,01,),(22yxycxyxf， 确定常数c的值； 求概率P(X求边缘密度)(xfX，)(yfY，判断YX,是否相互独立 求条件密度)|(|yxfYX，)|(|xyfXY 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数XY，判断是否不相关 5．会用中心极限定理解题。 例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率． 例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。 6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断。 对于来自总体X的样本nXXX,,,21，由样本构成的各种函数是否是统计量。

2．计算样本均值与样本方差及样本矩。 3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。

例：设总体X的概率密度为其它,010,1xxxf，nXX,,1是来自总体X的一个样本，

求未知参数的矩估计量与极大似然估计量. 5．掌握无偏性与有效性的判断方法。 对于来自总体X的样本nXXX,,,21，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。

例：设321,,XXX是来自总体X的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计

321211035

1XXX；)(31321XXX；321XXX；)(2121XX；3211214331XXX

求出方差，比较哪个更有效。 6．会求正态总体均值与方差的置信区间。 对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。 7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。 例：设),(~2uNX，u和2未知，(X1，„，Xn)为样本，(x1,„,xn)为样本观察值。(1)试写出