高二上学期数学人教B 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.教室里一个日光灯管使用时长在1年以上的概率为，则3个日光灯管在使用1年内恰好坏了一个的概率为( )A.D.2.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.3.在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，E 为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为( )4.某地区共8000人参加数学联考考试成綪近似服从正态分布若（90分以下）的学生人数为( )A.1000B.1200C.1400D.28005.已知点P 在椭圆上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为( )6.深受广大球迷喜爱的NBA 某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )A.0.3B.0.32C.0.68D.0.70.80.104222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=P ABCD -ABCD PDC PDC ⊥ABCD PC AP BE θcos θξ()2100,N σ(100110)0.35P ξ≤≤=22:143x y C +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF7.在的展开式中，下列说法错误的是( )8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C 的左、，且二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆与圆交于A ，B 两点，则( )A.线段的中垂线方程为B.直线的方程为C.公共弦D.圆与圆的公切线有3条10.在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的有( )A.四边形为正方形B.四边形C.在上的投影向量的坐标为D.点P 到平面11.某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表：20246x ⎛⎝()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F 1F 212cos F QF ∠=221:2210C x y x y +--+=222:0C x y x y +--=AB 0x y +=AB 10x y +-=AB 1C 2C P ABCD -()1,3,3P --()1,0,1A ()0,1,1B ()1,3,0C -()0,2,0D ABCD PA AB 11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则( )A.y 与x 正相关B.C.当时，残差为 D.样本的相关系数r 为负数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的左、右焦点分别为、，M 为椭圆C 上任意一点，P 为曲线13.的展开式中的系数为________.（用数字作答）14.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球.采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数.当最大时，_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）某地教育局为提升教师的业务能力，从当地中学教师中随机选取100人参加教学技能比赛，统计他们的得分（满分100分），其得分在各区间的人数比例如下表.规定得分不低于80分的为优秀教师.(1)求x 的值并求参赛教师为优秀教师的频率；(2)以频率估计概率，若在当地中学教师中随机选取3人，其中优秀教师的人数记为X ，求X 的分布列与期望.16.（15分）已知二次曲线表示圆的充要条件为，且.关于二次曲线，有以下结论：若，，，为平0.140.33y x ∧=-6m =3x =0.0122:154x y C +=1F 2F 22:64120E x y x y +--+=()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭42x y ()P X k =()E X k +=220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=0A C =≠0B =224D E AF +>11:0l f =22:0l f =33:0l f =面内三条直线，且，，，则过A ，B ，C 三点的二次曲线系方程为（，为参数）.若，，，为平面内四条直线，且，，，，则过A ，B ，C ，D 四点的二次曲线系方程为（为参数）.(1)若三角形三边所在直线方程分别为：，，.求该三角形的外接圆方程.(2)记(1)中所求的外接圆为，直线与交于A ，B 两点（A 在第一象限），直线与交于C ，D 两点（C 在第二象限），直线交x 轴于点M ，直线交x 轴于点N ，直线与直线交于点P .17.（15分）已知点F 为抛物线的焦点，点.(1)求抛物线的方程及m ；(2)斜率为2的直线l 与抛物线的交点为A 、B （A 在第一象限内），与x 轴的交点为M （M 、F不重合），若，求的周长.18.（17分）如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值；（3）求点C 到平面的距离.AD 12l l A = 23l l B = 31l l C = 1223310f f f f f f λμ++=λμ11:0l f =22:0l f =33:0l f =44:0l f =12l l A = 23l l B = 34l l C = 41l l D = 13240f f f f λ+=λ320x y -+=220x y ++=340x y +-=ω()110y k x k =>ω()220y k x k =<ωBC AD BC ()220y px p =>()2,P m 42AM MB = ABF △ABCDEF ABCD 60BAD ∠=︒ED ⊥ABCD FB ⊥ABCD 22DE AD BF ===//CF ADE DF AEF AEF19.（17分）已知以下事实：反比例函数）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线.的方程；(3)已知点是（2）中曲线C 的左顶点.圆（）与直线交于P 、Q 两点，直线、分别与双曲线C 交于M 、N 两点.试问：点A 到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由.y =0≠A ()()222:11E x y r -+-=0r >1:l x =AP AQ MN答案以及解析1.答案：A解析：日光灯管使用时长在1年以上的概率为0.8，则1个日光灯管在1年内损坏的概率为，设在一年内日光灯管损坏的个数为随机变量X ，则，所以3个日光灯管在使用1年内恰好坏了一个的概率，故选：A.2.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得，即.所以直线AB 的方程为，化简，得.3.答案：A解析：取的中点，连接，过O ，作交于H ，则，又因为为等边三角形，所以，设正方形的边长为4，可得又因为平面底面，平面底面，所以平面，以O 为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则，，，，又因为E 为的中点，所以，所以，，所以，10.80.2-=~(3,0.2)X B 123C 0.20.80.384P =⨯⨯=()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =12y =-31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()3112x ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭()12292y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭5530x y ++=CD O PO OH BC ⊥AB OH CD ⊥PCD △PO CD ⊥ABCD PO =PDC ⊥ABCD PDC ABCD CD =PO ⊥ABCD OH OC OP (4,2,0)A -(0,2,0)D -(0,0,P (0,2,0)C PC E (4,2,AP =- DE = 402312AP DE ⋅=-⨯+⨯+=||AP ==与所成的角为锐角，所以 A.4.答案：B解析：考试成绩近似服从正态分布，若，则，故，某地区共8000人参加数学联考，则估计成綪不及格（90分以下）的学生人数为.故选：B.5.答案：C解析：根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，所以，因为6.答案：C解析：设表示“甲球员担当大前锋”，表示“甲球员担当小前锋”，表示“甲球员担当组织后卫”，表示“甲球员担当得分后卫”，B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”.根据题意，则.所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为：.故选：C.7.答案：Ccos,||||AP DEAP DEAP DE⋅===⋅PA DEθcos cos,AP DEθ==ξ()2100,Nσ(100110)0.35Pξ≤≤=(90100)Pξ≤≤(100110)0.35Pξ=≤≤=(90)(100)(90100)P P Pξξξ<=≤-≤≤=0.50.350.15-=80000.151200⨯=()00,P x yx<2a=b=1=cea==24axc=-=-()()1001442PF e x x=+=+11PF G GF F∠=∠= =0=1A2A3A4A()()()()()()()()()11223344P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A=+++0.20.40.50.20.20.60.10.20.32=⨯+⨯+⨯+⨯=10.320.68-=解析：对于选项A ：因为，所以二项式系数之和为，故A 正确；对于选项B ：令，可得各项系数之和为因为的展开式为，，对于选项C ：因为，可知二项式系数最大的项为第4项误；对于选项D ：令，解得，所以常数项为8.答案：A，设，则，，由双曲线的定义可得，，因为中，由余，即在，即，代入①可得，即.所以C 的离心率为：9.答案：BC解析：根据题意可知圆，则，半径，圆6n =6264=1x =6112⎛⎫-= ⎪⎝⎭6x ⎛- ⎝36621661C C 2r rr r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝0,1,,6r =⋅⋅⋅6n =33324615C 22T x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭3602r -=4r =440561C 2T x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭21||PF x =||2PQ x =1||3QF x =2||2PF a x =+2||32QF x a =-12cos F QF ∠=12QF F 22221212122cos F QF QF QF QF F QF =+-⋅⋅∠2224(3)(32)3(32)2c x x a x x a --⨯=+-2PQF △2122cos PQ QF F QF -⋅⋅∠222(2)(32)(2)(322a x x a x x -+=-+-83a =229c a =3c a =ce a==221:(1)(1)1C x y -+-=()11,1C 11r =，半径的中垂线为直线，显然两圆心都不在上，故A错误；由两圆方程相减可得直线的方程为，故B正确；圆心到直线的距离为因为与圆相交，所以有两条公切线，故D错误.故选：BC10.答案：BCD解析：对于A，，，，则，所以，，与不垂直，所以四边形为平行四边形，故A错误；对于B，所以四边形的面积为对于C，，则在，故C正确；对于D，设平面的法向量为，则有，可取，所以点P到平面11.答案：ABC，所以，BAC∠=ABCD112222ABDS=⨯=△()2,3,2PA=-PAAB()11,1,011,,0222-⎛⎫- ⎪⎝=⎭ABCD(),,n x y z20n AB x yn AB x y z⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩()1,1,1n==22211:22C x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211,22⎛⎫⎪⎝⎭2r=AB12C Cx y+=AB10x y+-=1C AB d2=1211C C<=<+12C()1,1,0AB=-()1,2,1BC=--()1,2,1AD=--,3AD BC AB AD=⋅=//AD BC AD BC=AB ADABCDcosAB ADBADAB AD⋅∠===⋅0.3=样本中心点为，将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B 对；对于C 选项，当时，，所以，当时，残差为，C 对；对于D 选项，因为y 与x 正相关，所以，样本的相关系数r 为正数，D 错.故选：ABC.12.答案：解析：椭圆中，右焦点，圆的圆心，半径，显然椭圆C 与圆E 相离，由点P 在圆E 上，得，于是，当且仅当M ，P 分别是线段.故答案为：.13.答案：解析：的通项公式为，令得，，此时，令得，，此时，故的系数为，故答案为：.14.答案：17.8/解析：不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布4175()P X k ==3,0.34m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0.1430.330.34m ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭6m =3x = 0.1430.330.09y =⨯-=3x =0.10.090.01-=122:154x y C +=2(1,0)F 22:(3)(2)1E x y -+-=(3,2)E 1r =min ||||1MP ME =-222||||||1||||111MP MF ME MF EF +≥-+≥-=-=-2EF 1-1-40-()62x y -()()66166C 2C 2rrr r rr r r T x y x y --+=-=-2r =()22424236C 260T x y x y =-=4242602120x y x y ⋅=3r =()33333346C 2160T x y x y =-=-3342160160xx y x y y -⋅=-42x y 12016040-=-40-，最大时，即最大，超几何分布最大项问题，利用比值求最大项.设，故当时，严格增加，当时，严格下降，即时取最大值，此题中，根据超几何分布的期望公式可得，故答案为：17.815.答案：(1)(2)0.9解析：(1)由表可知，，解得.参赛教师为优秀教师的频率为.(2)由 (1)可知， 当地中学教师是优秀教师的概率为0.3，X 的取值可能为0，1，2，3，，，，，X 的分布列为，22406022100C C 012...22C k kk -=，，，()P X k =224060C C k k -()C C C s m s k n k s m n a P X s --===11C C C C C C s m s mk n k n ms m s n k n k+-----=⋅()()()()()()()()()!!1!1!1!1!!!!!!!n k k s k s m s n k m s k n k s k s m s n k m s -+------++=⋅-----+()()()()11k s m s s n k m s --=+--++1>()()()()11k s m s s n k m s ⇒-->+--++()()2221s k m s km s n k m s n k m ⇒-++>++--++--()()21km n s n m k ⇒>+++-+()()()1211km m k n s n ⇒+++>++++()()1112k m s n ++⇒<-+()()112k m s n ++≤+()P X s =()()1112k m s n ++≥-+()P X s =9k =1002240n m k s k ====，，，()40228.8100k m E X n ⨯⨯===()8.8917.8E X k +=+=0.20.3x +=0.250.350.21x x ++++=0.1x =0.20.3x +=3(0)(10.3)0.343P X ==-=123(1)C 0.3(10.3)0.441P X ==⨯⨯-=223(2)C 0.3(10.3)0.189P X ==⨯⨯-=3(3)0.30.027P X ===()00.34310.44120.18930.0270.9E X =⨯+⨯+⨯+⨯=或写成由，得.16.答案：(1)(2)（i ）证明见解析；（ii ）4解析：(1)则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：（，为参数），即，（）若方程表示圆，则，解得.将代入（）式化简得，验证：由，可知该方程表示圆.故该三角形的外接圆方程为.(2)如图，在平面直角坐标系中，设直线与x 轴的交点，直线与x 轴的交点，由题意知直线，均不与y 轴垂直，则直线方程可设为，直线方程可设为，由题意可知，且，.不妨记直线，，，，分别为，，，，且，，，，其中，，，.~(3,0.3)X B ()30.30.9E X =⨯=22240x y y ++-=(32)(22)(22)(34)(34)(32)0x y x y x y x y x y x y λμ-+++++++-++--+=λμ()()()()22133178623422x xy y xλμλμλμλμ+++-+-+-+-+++()26144880y λμλμ+--++--=*133********λμλμλμ++=-+-≠⎧⎨-+-=⎩11λμ=-⎧⎨=-⎩11λμ=-⎧⎨=-⎩*22240x y y ++-=22024(4)200+-⨯-=>22240x y y ++-=BC 1(,0)M t AD 2(,0)N t BC AD BC 11x m y t =+AD 22x m y t =+12m m ≠10t ≠20t ≠BA AD DC CB 1l 2l 3l 4l 12l l A = 23l l D = 34l l C = 41l l B = 11:0l k x y -=222:0l x m y t --=32:0l k x y -=411:0l x m y t --=故由题意，过A ，D ，C ，B 四点的二次曲线系方程可设为（为参数），即①，若时，方程表示两条直线，，不表示圆，故.由A ，D ，C ，B 四点不共线，且都在圆②上，所以方程①②表示同一圆，则有（i ）由③式及，可得，（ii ）由③式可得，令，则，，联立，直线方程，解得，即交点P 在定直线.如图2，由对称性可知，当时，交点P 在y 轴上，即()()()()1222110k x y k x y x m y t x m y t λ--+----=λ()()()22121212121k k x k k m m xy m m yλλλ+-+++++⎡⎤⎣⎦()12122112()0t t x m t m t y t t λλλ-++++=0λ=()()120k x y k x y --=1l 3l 0λ≠22240x y y ++-=()120t t λ-+=12211224m t m t t t +===-0λ≠120t t +=12t t =-1t t =2t t =-2=BC AD 12x m y tx m y t=+⎧⎨=-⎩2124t y m m ==-y =412k k =-(0,P =17.答案：(1)抛物线方程为，(2)解析：(1)抛物线的焦点为，准线方程为，可得，所以，抛物线的方程为，将点P 的坐标代入抛物线方程可得，解得.(2)设点，则，因为直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为，设点、，则，由，可得，则，可得，联立，可得，，可得由韦达定理可得，，28y x =4m =±14+,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭x =242p+=4p =28y x =28216m =⨯=4m =±(),0M n 2n ≠12x y n =+()11,A x y ()22,B x y 10y >2AM MB =()()1122,2,n x y x n y --=-122y y -=122y y =-2128x y n y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2480y y n --=16320n ∆=+>n >124y y +=128y y n =-所以，，可得，，所以，，可得，，所以，18.答案：（1）证明见解析解析：（1）取的中点M ，连接.因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以.因为，所以.因为平面，所以，，两两垂直.如图，以D 为原点，，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.因为，，，，，所以，，，显然平面的法向量为，因为，所以，又平面，所以平面.（2）设平面的法向量为，1211111422y y y y y +=-==18y =24y =-12832n y y -==-4n =212y -==()12121484284142AF BF x x y y +=++=+++=++=ABF △+BC MD ABCD 60BAD ∠=︒BCD △DM BC ⊥//AD BC DM AD ⊥ED ⊥ABCD DA DM DE DA DM DE (2,0,0)A B (C -(0,0,2)E F (2,0,1)CF = (2,0,2)AE =- 1)EF =-ADE (0,1,0)m = 0CF m ⋅=CF m ⊥CF ⊄ADE //CF ADE AEF ()1111,,n x y z =由得令，则，，所以，，所以直线与平面直线与平面（3），所以点C 到平面的距离为：所以点C 到平面.(2)；(3)存在，点A到直线距离的最大值为2，所以双曲线（2）联立即双曲线，，AEF110,0,n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111220,0.x z x z -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩11x =11z =10y =()11,0,1n = DF =111,DF n DF n DF n ⋅〈〉===⋅ DF AEF DF AEF (3,CA =AEF 11CA n d n ⋅=== 221x y -=MN r =0:y =0:C y =c a ===y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩x y =x y ==y =(，此时曲线C 的两顶点为，曲线C 为等轴双曲线，所以曲线C 的方程为.（3）由（2）知，，设，，显然直线的斜率存在，设，联立，得，所以，因为，令，则依题意得，整理得，，即，整理得，，所以，即或，若，则过点A ，不合题意；若，则.所以，恒过，所以点A 到直线的距离，当且仅当，即时取得，此时方程为，联立，解得，2()()1,0,1,0-221x y -=()1,0A -()11,M x y ()22,N x y MN :m N y M kx =+221y kx m x y =+⎧⎨-=⎩()()2221210k x kmx m ---+=()22Δ410m k=+->12x x +=12x x =()111:1y y x x MA =++1x =P y =Q y =p Q y y +=2221y x +=+2211kx mx ++=+()()()1212211210k x x k m x x m -++-++-=()()2222211211101m k kmk k m m k ⎛⎫-⨯++-⨯++---= ⎪-⎝⎭22222k m m km k -+=-+-()()20m k m k --+=m k =2m k =-m k =()1:N y M k x =+2m k =-():12MN y k x =+-MN ()1,2G --MN max 2d AG ==MN AG ⊥0k =MN 2y =-2221y x y =-⎧⎨-=⎩)2N -则，综上所述，点A 到直线)1Q y ==--1Q r y =-=MN。
