椭圆
知识清单
1.椭圆的两种定义：
①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2
1
22F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（2
1
2F F a =时为线段2
1
F F ，2
12F F a <无轨迹）
。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e
d
PF
=，0＜e ＜1的常数}。（1=e 为
抛物线；1>e 为双曲线）
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点
到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.
2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：
122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）；
焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，
0）。其中2
2b a c -=
（一个Rt 三角形）
（2）焦点在y 轴上，中心在原点：122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）；
焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -=
注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b
＞0，2
2
b a
c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2
=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3 参数方程：焦点在x 轴，⎩
⎨
⎧==θ
θ
sin cos b y a x （θ为参数）
4 一般方程：)0,0(122
>>=+B A By Ax
5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：
12
2
22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：
坐标系下的性质：
①
范围：|x|≤a ，|y|≤b ；
②
对称性：对称轴方程为x=0，y=0，
对称中心为O （0，0）；
③
顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；
（a 半长轴长，b 半短轴长）；
④椭圆的准线方程：对于
12
2
22=+b y a x ，左准线
c
a x l 2
1:-
=；右准线
c
a x l 2
2:=
对于122
22=+b
x a y ，下准线
c
a y l 2
1:-
=；上准
线
c
y l 2
2:=焦点到准线的距离c
b c c a c c a p 2222=
-=-=（焦参
数）
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭
圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
⑤焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左
r =a+ex 0，|PF 2|=右
r =a-ex 0；|PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上
r =a-ey 0
c a PF c a PF -=+=min max ,
，左加右减，上减下加
⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=
a
b 2
2 平面几何性质：
⑦离心率：e=
c a
==之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。
⑧焦准距
c
b p 2
=
；准线间距
c
a 22=
⑨两个最大角()
()221max 21221max
21
,A B A PA A F B F PF F ∠=∠∠=∠
焦点在y 轴上，中心在原点：12
2
22=+b x a y （a
＞b ＞0）的性质可类似的给出。
6．焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a (2) 余弦定理：2
1r ＋2
2r －2r 1r 2cos θ＝(2c )
2(3) 面积：2
1F PF S
∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |=
c | y 0 |=2
tan 2
b θ⋅
(其中P(0
,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)
7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆122
2
2=+b
y a
x （a
＞b ＞0）的共焦点椭圆设为2
2
2
2
2
1()x y b a b λλλ+=>-++
8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e 与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.
9.
弦
长
公式
：
1212AB x y =-=-=
1212b x x a c x x a ⎧
+=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（a,b,c
为方程的系数
考点解析
考点一 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用
