宁波大学 高等数学(下)期末试题
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2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)一、解答题1.判断下列函数在原点O (0,0)处是否连续:33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解:(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=,且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0,0)点,则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0,0)点,则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0,0)处不连续.2.指出下列各微分方程的阶数:(1) 2()20;x y'yy'x -+=一阶 (2) 20;x y''xy'y -+=二阶 (3) 220;xy'''y''x y ++=三阶 (4) (76)d ()d 0.x y x x y y -++=一阶3.把对坐标的曲面积分()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧; (2) Σ是抛物面z = 8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解:(1)平面Σ:326x y ++=上侧的法向量为n ={3,2,},单位向量为n 0={35,25},即方向余弦为3cos 5α=,2cos 5β=,cos γ=.因此:()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R sP Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)Σ:F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0,Σ上侧的法向量n ={ F x ,F y ,F z }={ 2x ,2y ,1} 其方向余弦:cos α=,cos β=,cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.计算下列对面积的曲面积分: (1)4d 23s z x y ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分; (2)()2d 22s xy xx z ∑--+⎰⎰,其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分;(3)()d s x y z ∑++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;(4)()d s xy yz zx ∑++⎰⎰,其中∑为锥面z =被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分; (5)()222d s Rx y ∑--⎰⎰,其中∑为上半球面z =解:(1)4:423z x y ∑=--(如图10-69所示)图10-69d d d s x y x y ==故4d 4d d d d 23331232xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。
高等数学下期末靠考试试卷一.选择题(共12分,每小题3分)1. 设方程z y x z y x 32)32sin(3++=++确定隐函数),(y x z z =,则=∂∂+∂∂yz x z ( )(A )1 (B )1- (C )3 (D )3- 2. 设),(y x f z =在点)0,0(处的偏导数,1)0,0(-=∂∂x f ,3)0,0(=∂∂y f则( ) (A ),3)0,0(dy dx dz +-= (B )),(y x f z =在点)0,0(的某邻域内有定义; (C )),(lim)0,0(),(y x f y x →存在; (D )曲线⎩⎨⎧==0),(:y y x f z C 在点))0,0(,0,0(f 有切向量)1-,0,1(=T.3. 由抛物面22y x z +=和平面4=z 围成的立体的体积为( ) (A )π8 (B )π332(C )π12 (D ) π16 4. 下列四个交错级数中绝对收敛的是( ) (A )11(1)sin3n n nπ∞-=-∑ (B)11(1)n n ∞-=-∑ (C )11(1)2sin3n nnn π∞-=-∑ (D)1(1)n n ∞-=-∑二.填空题(共24分,每小题3分) 1.设z =则)1,4(dz . 2.设函数23u xy z xyz =+-,则该函数在点(1,1,2)A 处沿从点(1,1,2)A 到(3,1,1)B -方向的方向导数为_________________________.3. 曲线sin ,1cos ,4sin 2tx t t y t z =-=-=在点)22,1,12(-π处法平面方程为 .4.交换二次积分2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰的积分次序,得__________________=I .5.设曲线L 方程为2(01)y x x =≤≤,则曲线积分______________.Lxds =⎰6.设∑为曲面1)z z =≤,则曲面积分22()__________x y ds ∑+=⎰⎰.7. 幂级数112nnn x ∞=∑的收敛域为_______________________. 8.微分方程2''11y x=+的通解为_______________________. 三、解答题:{共64分}1. (7分)设二元函数131),(23+++++=by ax y y e y x f x 在点)1,0(处取得极值. (1)确定常数b a ,的值;(2)求出函数),(y x f 的 所有极值,并指明是极大值还是极小值.2. (7分) 设函数 (,)yz y f xy x=,其中f 具有二阶连续偏导数,求2 z z x x y ∂∂∂∂∂、.3.(7分)计算二重积分Dydxdy ⎰⎰,其中D是由曲线x =0x =围成的平面闭区域.4.(7分)将函数()221)(x x f -=展成x 的幂级数,并写出可展区间.5.(7分)求微分方程cos sin (cos 5sin )0x xdy y x xe dx +-=满足初始条件2|4x y π==-的特解.6. (8分)求微分方程x e y y y -32=+'+''的通解.7. (8分)计算曲线积分⎰+++Lydy x dx y y cos )1(sin其中L 是曲线21x y -=由点)0,1(A 到点)0,1(-B 的一段弧.8.(7分)计算⎰⎰∑+-dxdy z dzdx z xy dydz yz x 22222,其中∑为曲面0)z a >与平面0z =所围立体的表面外側.9.(6分)设函数()f x 在(0,)+∞连续,5(1)2f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件111()()()xt x tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰,求()f x。
综合测试题(下册)A 卷 一、填空题(每空4分,共20分) 1、 曲线cos ,sin ,tan2tx t y t z ===在点(0,1,1)处的一个切向量与OX 轴正向夹角为锐角,则此向量与OZ 轴正向的夹角是_________________ . 2、 设:1,01D x y ≤≤≤,则3()Dx y yd σ+⎰⎰= _________ . 3、 设2222:x y z a ∑++=,则曲面积分222()xy z ds ∑++⎰⎰ =__________.4、 周期为2π的函数()f x ,它在一个周期上的表达式为10()10x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩,设它的傅立叶级数的和函数为()S x ,则5()2S π= . 5、 微分方程x dyy e dx-+=的通解为______________. 二、选择题(每题4分,共20分)1、函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微是函数(,)f x y 在00(,)x y 点连续且可导的 [ ] (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件2、设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥,则 [ ] (A)124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (B) 124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (D) 124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3、设L 为221x y +=一周,则2Lx ds ⎰ [ ](A) 等于0 (B) 等于π (C) 等于2π (D) 等于1 4、如果幂级数nn n c x∞=∑和11n nn nc x∞-=∑的收敛半径分别是1R 和2R ,则1R 与2R 的大小关系是 [ ] (A) 1R 大于2R (B) 1R 小于2R (C) 1R 等于2R (D) 不能确定 5、微分方程256xy y y xe '''-+=的特解形式是 [ ](A) 2xAe Bx C ++ (B) 2()x Ax B e + (C) 22()x x Ax B e + (D) 2()x x Ax B e +三、解答题1、(11分)函数(,)z z x y =由方程(,)0z zF x y y x++=所确定 ,其中F 具有一阶偏导数,计算x zxy x y∂∂+∂∂ 2、(9分)计算曲线积分22(23)(2)Lx y x y dx x y xy dy +-+-+⎰ ,其中L 为圆周222x y +=的顺时针方向3、(12分)在曲面z =231x y z -+=的距离最短4、(9分)计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,其中∑是曲面 221z x y =-- 在xoy 面上方部分的上侧5、(10分)求幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑的收敛区间与和函数()S x6、(9分)求微分方程4cos y y x x ''+=的通解.综合测试题(下册)A 卷答案 一、填空题 1、34π 2、23 3、44a π 4、1 5、()x y e x C -=+二、选择题1、A2、C3、B4、C5、D 三、解答题1、解:1212122211(),(),()()x y z z z F F F F F F F F F x y y x=+-=-+=+ 由隐函数计算公式得 22112()()y zF x F z x x xF yF -∂=∂+21212()()x zF y F z y y xF yF -∂=∂+ 则 22211212()()()y zF x F x zF y F x z x y z xy x y xF yF -+-∂∂+==-∂∂+2、解:由格林公式 原式=22(13)Dyx dxdy -+-+⎰⎰=220)d r rdr πθ-⎰=2412(24r r ππ-=.3、解:设曲面上(,,)x y z 点到平面距离为d ,则2214(231)d x y z =-+-且 22224z x y =++ 即 222420x y z +-+= 令 2222(231)(42)F x y z x y z λ=-+-++-+2(231)204(231)806(231)20x yz F x y z x F x y z x F x y z x z λλλ=-+-+=⎧⎪=--+-+=⎪⎨=-+--=⎪⎪=⎩得唯一解x y z ===. 由实际问题知最小值存在,即为点()4. 4、解:补上一块 221:0,1z x y ∑=+≤ 取下侧,且 10xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰由高斯公式 原式=222213303(1)2x y dxdydz x y dxdy πΩ+≤-=--=⎰⎰⎰⎰⎰.其中Ω是由1,∑∑所围立体. 5、解:1limlim 11n n n n a nR a n →∞→∞+===+,在 1x =±时,级数发散. 则收敛区间为(1,1)-. 令 111()(1)n n n S x nx ∞--==-∑则1111011()(1)(1)1xn n n n n n xS x dx nx dx x x∞∞---===-=-=+∑∑⎰⎰ 21()()1(1)x S x x x '==++. 6、解:特征方程 240r += , 解得特征根 2r i =±.对应的齐次方程的通解 12cos2sin 2Y C x C x =+. 因为 0,1,i i λωλω==+= 不是特征根 方程的特解形式为 *()c o s ()s i ny a x b x c x d x =+++ 将其代入原方程 解得 12,0,0,39a b c d ====. 所以 *12cos sin 39y x x x =+, 方程的通解 1212cos 2sin 2cos sin 39Y C x C x x x x =+++.综合测试题(下册)B 卷一、填空题(每题3分,总计18分)1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数a =______. 2、若曲面2132222=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ,则切点坐标为______________________.3、二重积分dx ey dy y x ⎰⎰-1103的值为______________.4、设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-的定义为2,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨ <≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .5、级数1nn nx∞=∑的和函数为 .6、微分方程2yx yy +='的通解为_____________________. 二、选择题(每题3分,总计15分)1、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的 [ ] (A) 必要非充分的条件; (B)充分非必要的条件;(C) 充分且必要的条件; (D) 即非充分又非必要的条件.2、设)ln(222z y x u ++=,则)(u grad div = [ ] (A)2221z y x ++;(B)2222z y x ++;(C)2222)(1z y x ++;(D)2222)(2z y x ++ 3、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域,1D 是D 中在第一象限的部分,则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33= [ ](A)σd y x D ⎰⎰1sin cos 23; (B)⎰⎰132D yd x σ; (C)⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ; (D)04、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分,则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222=[ ](A)0; (B)2sin Re R R π; (C)R π4; (D)2sin Re 2R R π5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 [ ](A)xxe C e C x 221++; (B)xx eC e C x C 2321++;(C))()(221x x x e x C e e C x -+-+; (D))()(2221x e C e e C x x x -+- 三、计算题(每题7分,总计28分)1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ,求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数,并求此函数在点A 处方向导数的最大值.2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数,求yx z∂∂∂2.3、将函数223)(x x x f --=展开成x 的幂级数,并指出收敛域.4、计算222L dsx y z ++⎰,其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π20≤≤t 的弧段.四、计算题(每题8分,总计32分) 1、计算⎰⎰⎰Ωdv z ,其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定.2、计算⎰⎰∑++++2222)(z y x dxdya z axdydz ,其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧,a为大于零的常数.3、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-'',且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切,求函数)(x y .4、对0>p ,讨论级数∑-∞=+11)1(n n n pn 的敛散性.综合测试题(下册)B 卷答案一、填空题1、-5;2、)2,2,1(±± ;3、)1(611--e ;4、()21xx +;5、C y y x =- 二、选择题1、D;2、B;3、A;4、D;5、C 三、计算题1、解:由条件得z zf x y f y x f 2,2,2-=∂∂=∂∂=∂∂ }cos ,cos ,{cos }32,32,31{}2,2,1{0γβα=-=⇒-=AB AB 32cos ,32cos ,31cos -===⇒γβα从而)1,1,2(cos cos cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∂∂A z f y f x f l f γβα=310 点A 的梯度方向是{2,2,2}{2,4,2}AA grad fy x z ==-=--l所以方向导数的最大值是6224242222==++=∂∂lf2、解:2121,xf f yzyf f xz+-=∂∂+=∂∂ []2221211222211211221212)()()(f xyf f y x f f xf f y xf f f yf y y f yf f y x z y y x z ++-+-=++-++-=+∂∂+∂∂=+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂3、解:2311111()212121/2f x x x x x x x ==+=+---+-+10001(1)(1)1222nn nn n n n n n x x x ∞∞∞+===⎡⎤-⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑收敛域为)1,1(-. 4、解:dt dt z y x ds t t t 65222='+'+'=220222220arctan 88L ds dt tx y z t ππ===+++⎰ 四、计算题1、解:2222344011cos sin 2sin cos z dv d d r r dr d r dr πππθϕϕϕπϕϕϕΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 24401115sin 22248d r ππϕϕπ⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰ 2、解:取xoy ∑为xoy 面上的圆盘222a y x ≤+,方向取上侧,则22222223220021()1()()1(23)122cos sin 33xoy xoy xyD a axdydz z a dxdy a axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a z a dv a dxdy a d d r r d a a a a a πππθϕϕϕϕππ∑∑∑+∑∑Ω=++⎡⎤⎢⎥=++-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰43443021114cos sin 22a a d r dr a a a a a ππππϕϕϕπππ⎡⎤⎡⎤=+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.3、解:由条件知)(x y y =满足1)0(,1)0(-='=y y .由特征方程2,1023212==⇒=+-r r r r ,对应齐次方程的通解x x e C e C Y 221+=, 设特解为x Axe y =*,其中A 为待定常数,代入方程,得x xe y A 22*-=⇒-=, 从而得通解x x x xe e C e C y 2221-+=,代入初始条件得0,121==C C . 最后得x e x x y )21()(-=. 4、解:当1p >时 ,1111(1)1n n n n n np np∞∞++==-=∑∑ ()11211lim lim lim 111n n n n n n nu np n u n p p n p +++→∞→∞→∞===<++,所以原级数绝对收敛.当01p <<时,设11q p =>, ()11111(1)nn n n n n qnp n +∞∞+==--=∑∑,()()()11ln 11lim lim lim01xnxn x n x x q q q q q n x ++→∞→+∞→+∞----==≠, 所以原级数发散.。
高等数学〔下〕试卷一一、填空题〔每空3分,共15分〕〔1〕函数11z x y x y =++-的定义域为〔2〕函数arctany z x =,那么zx ∂=∂〔3〕交换积分次序,2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰=〔4〕L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,那么()Lx y ds +=⎰〔5〕微分方程230y y y '''+-=,那么其通解为二、选择题〔每空3分,共15分〕 〔1〕设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩,平面π为4220x y z -+-=,那么〔〕 A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交〔2〕设是由方程2222xyz x y z +++=确定,那么在点(1,0,1)-处的dz =〔〕A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - 〔3〕Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域,将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为〔〕 A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰〔4〕幂级数,那么其收敛半径〔〕A. 2B. 1C. 12 D.2〔5〕微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=〔〕A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题〔每题8分,共48分〕1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z+-==的平面方程 2、 22(,)z f xy x y =,求z x ∂∂,zy ∂∂得分阅卷人3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰,其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程xxy y xe '+=满足11x y ==的特解四.解答题〔共22分〕1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰,其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体外表的外侧(10)'2、〔1〕判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性,假设收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;〔6'〕〔2〕在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数〔6'〕高等数学〔下〕试卷二一.填空题〔每空3分,共15分〕〔1〕函数24x y z -=的定义域为; 〔2〕函数xyz e =,那么在(2,1)处的全微分dz =;〔3〕交换积分次序,ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰=;〔4〕L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧,那么L yds =⎰;〔5〕微分方程20y y y '''-+=,那么其通解为.二.选择题〔每空3分,共15分〕〔1〕设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩,平面π为10x y z --+=,那么L 与π的夹角为〔〕;A. 0B. 2πC. 3πD. 4π〔2〕设是由方程333z xyz a -=确定,那么z x ∂=∂〔〕;A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D.2xy z xy - 〔3〕微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=〔〕;A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++〔4〕Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为〔〕; A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰〔5〕幂级数1212nnn n x ∞=-∑,那么其收敛半径〔〕.A. 2B. 1C. 12 D.2三.计算题〔每题8分,共48分〕5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、(sin cos ,)x yz f x y e +=,求z x ∂∂,zy ∂∂ . 7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰,其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解.四.解答题〔共22分〕1、〔1〕〔6'〕判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性,假设收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;〔2〕〔4'〕在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰,∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学〔下〕模拟试卷三一.填空题〔每空3分,共15分〕1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为.2、22(2)lim 332n n n n →∞++-=.3、2ln(1)y x =+,在1x =处的微分dy =. 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二.选择题〔每空3分,共15分〕1、2x =是函数22132x y x x -=-+的连续点 〔A 〕可去 〔B 〕跳跃 〔C 〕无穷 〔D 〕振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)一、解答题1.设f 具有二阶偏导函数,求下列函数的二阶偏导数: (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解:(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,z y yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yz xf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证:利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 化简为20uξη∂=∂∂. 证明:设1(,),3u f f x y x y ξη⎛⎫==-- ⎪⎝⎭2222222222222222222222221411(1)(1)3333u u u u ux x x u u u u u u u ux x x x x u u u u u u u x y ξηξηξηξηξηξξηηξηξξηηξξηηξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅+⋅-=----- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22uη∂∂222222222222222222222222211(1)33111211(1)(1)33933343142433u u u u u y u u u uuu u u y u u u x x y yu u u u ξηξηξξηηξηξξηηξξηηξ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅-=--- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅--⋅-⋅-=++-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++--∂∂∂∂∂2222222221239340.3u u u u u u ξηηξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=-=∂∂故20.uξη∂=∂∂2.计算下列对坐标的曲线积分:(1)()22d -⎰Lx y x ,其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;(2)d Lxy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);(3)d d L y x x y +⎰,其中L 为圆周x =R cos t ,y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧;(4)()()22d d Lx y x x y y x y +--+⎰,其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行);(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰,其中Γ为曲线x =kθ,y =a cos θ,z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧;(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-⎰,其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线;(7)d d d Lx y y z -+⎰,其中Γ为有向闭拆线ABCA ,这里A ,B ,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);(8)()()222d 2d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧.解:(1)L :y =x 2,x 从0变到2,()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示,L =L 1+L 2.其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为:x =a cos t ,y =a sin t ,t :0→2π. 故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t aa t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π22π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰ (6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0.故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩,x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰. 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩,z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x=⎧⎨=-⎩,x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰.故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415Lx xy x y xy yx x x x x x x xx x x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰3.证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解:略。
高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ⋅= .2、设ln()z x xy =,则32zx y∂=∂∂ .3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 .4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 .5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰ .※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积. 3、判定级数11(1)lnnn n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z zx x y∂∂∂∂∂. 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部. 三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰,其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>.四、(本题满分10分)求幂级数13nn n x n ∞=⋅∑的收敛域及和函数.五、(本题满分10分)计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰, 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧.六、(本题满分6分)设()f x 为连续函数,(0)f a =,222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域,求 30()lim t F t t+→.-------------------------------------备注:①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。
0 高等数学 A(下册)期末考试一试题【A 卷】考试日期: 2009 年院(系)别班级学号姓名成绩大题一二三四五六七小题12345得分一、填空题:(此题共 5 小题,每题4 分,满分 20 分, 把答案直接填在题中横线上 )r rrr rrr2 r r.1、已知向量 a 、 b 知足 ab0 , a2 , b,则 a b2、设 zx ln( xy) ,则3z.x y23、曲面 x 2 y 2 z 9 在点 (1, 2, 4) 处的切平面方程为.4、设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在 [, ) 上的表达式为 f (x) x ,则 f (x) 的傅里叶级数在 x3 处收敛于,在 x处收敛于.5、设 L 为连结 (1, 0) 与 (0,1) 两点的直线段,则( x y)ds.L※以下各题在答题纸上作答,答题时一定写出详尽的解答过程 ,并在每张答题纸写上 :姓名 、学号、班级.二、解以下各题:(此题共 5 小题,每题7 分,满分 35 分)1、求曲线2x 2 3y 2 z 2 9在点M(1, 1,2) 处的切线及法平面方程.z 2 3x 2 y 22、求由曲面 z2x 22 y 2 及 z 6 x 2 y 2 所围成的立体体积.3、判断级数( 1)nlnn1能否收敛?假如是收敛的,是绝对收敛仍是条件收敛?n 1n4、设 zf (xy, x) sin y ,此中 f 拥有二阶连续偏导数,求z , 2z .yxx y5、计算曲面积分dS , 此中 是球面 x 2y 2z 2 a 2 被平面 zh (0 h a) 截出的顶部.z三、(此题满分 9 分)抛物面 z x2y 2被平面 x y z 1截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.四、(此题满分 10 分)计算曲线积分( x sin y)( x cos)dy,m dx mxL此中 m 为常数,L为由点 A(a,0) 至原点 O(0,0)的上半圆周 x2y2ax (a 0) .五、(此题满分 10 分)x n求幂级数的收敛域及和函数.n 1 3n n六、(此题满分 10 分)计算曲面积分I2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy ,此中为曲面 z 1 x2y 2 ( z0) 的上侧.七、(此题满分 6 分)设 f ( x) 为连续函数, f (0) a , F (t )[ z f ( x2y2z2 )]dv ,此中t是由曲面 zx2y2t与 zt2x2y2所围成的闭地区,求lim F (t).t3t 0-------------------------------------备注:①考试时间为 2 小时;②考试结束时,请每位考生按卷面答题纸底稿纸由表及里依序对折上交;不得带走试卷。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)一、解答题1.将函数(,)x f x y y =在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解:(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x y f y y f xy-====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+2.求下列欧拉方程的通解:2(1)0x y xy y '''+-=解:作变换e t x =,即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解:设e tx =,则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d ty y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解,代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y = 故 223223121211ee e .55tt t y c c c x c x x --=++=++3.求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解:πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解: 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-, 故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解:22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xxxy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式,得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭.4.计算下列对坐标的曲面积分:(1)22d d x y z x y ∑⎰⎰,其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧;(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰,其中f (x , y , z )为连续函数,Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧; (4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰,其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧;(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰,其中Σ为曲面z =z = h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面,取外侧为正向;(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x y y xz x z ∑,其中Σ为x =y =z =0,x =y =z =a 所围成的正方体表面,取外侧为正向;解:(1)Σ:z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为:x 2+y 2≤R 2.((()()()()()()22222π422002π2222222002π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yr r rR R r r R R R R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=---⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示,Σ在xOy 面的投影为一段弧,图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰,Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1,0≤z ≤3},此时Σ可表示为:x =(y ,z )∈D yz,故30d d d d 3yzD x y z y z z y y∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1,0≤z ≤3},此时Σ可表示为: y =(x ,z )∈D xz,故3d d d d 3xzD y z x z x z x x∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此:d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z x x x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示,平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1},n 的方向余弦为cos α=,cos β=cos γ=图11-9由两类曲面积分之间的联系可得:()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示:图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4.其方程分别为Σ1:z =0,Σ2:x =0,Σ3:y =0,Σ4:x +y +z =1, 故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知.1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰ 因此.d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω,由高斯公式有:()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω, P =y (x -z ),Q =x 2,R =y 2+xz . 由高斯公式有()()()()()220200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.求下列齐次方程的通解:(1)0xy y'-=;解:d d y y x x =令 d d d d y y u u u x x x x=⇒=+ 原方程变为d xx=两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x +==即通解为:2y cx =d (2)ln d y yxy x x =; 解:d ln d y y y x x x= 令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln 1u cxycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解:2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x xu u x u x == 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x=+故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=; 解: 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx代替u ,并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-; 解:1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u++=- 分离变量,得211d d 1u u x u x-=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ,并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解:d d y yx=即d d x x y y =令x v y =, 则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+即d d vyy=分离变量,得d y y= 积分得ln(ln ln v y c +=-.即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式,得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.6.从下列各题中的曲线族里,找出满足所给的初始条件的曲线:220(1),5;x x y C y =-==解:当0x =时,y =5.故C =-25 故所求曲线为:2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解: 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时,y =0故有10C =. 又当x =0时,1y '=.故有21C =. 故所求曲线为:2e xy x =.7.利用斯托克斯公式,计算下列曲线积分: (1)d d d y x z y x z Γ++⎰,其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2,x +y +z = 0,若从x 轴的正向看去,这圆周是取逆时针的方向;(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰,其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体:0≤x ≤1,0≤y ≤1,0≤z ≤1的表面所得的截痕,若从Ox 轴的正向看去,取逆时针方向; (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰,其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ,z =2,若从z 轴正向看去,这圆周是取逆时针方向; (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ,其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9,z =0,若从z 轴正向看去,这圆周是取逆时针方向.解:(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧,Σ的面积为πa 2(大圆面积),Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==. 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧,可求得Σ(是一个边长为2的正六边形); Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n . 由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡++----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ:z=2,D xy:x2+y2≤4的上侧,由斯托克斯公式得:()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9,z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9,z=0,取Σ:z=0,D xy:x2+y2≤9由斯托克斯公式得:()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑8.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下,求指定的转动惯量:(1)D:22221x ya b+≤,求I y;(2)D由抛物线292y x=与直线x=2所围成,求I x和I y;(3)D为矩形闭区域:0≤x≤a, 0≤y≤b,求I x和I y.解:(1)令x=arcosθ ,y=br sinθ,则在此变换下D :22221x y a b+≤变化为D ':r ≤1,即 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π, 且(,)(,)x y abr r θ∂=∂, 所以2π12222323032π30d d cos d d cos d d 1(1cos 2)d π.84y DD I x x y a r abr r a b r ra b a b θθθθθθ'====+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 闭区域D 如图10-35所示图10-353222220005222220272d d 2d d d ;3596d d 2d d .7x Dy DI y x y x y y x x I x x y x x y x x ========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)32220d d d d d ,3a bbx Dab I y x y x y y a y y ====⎰⎰⎰⎰⎰322200d d d d d .3abay Da bI x x y x x y bx x ====⎰⎰⎰⎰⎰9.求锥面z被柱面z 2 = 2x 所割下部分的曲面面积。
大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳河北科技大学高等数学(下)考试试题3一、填空题(每题4分,共16分)1.(4分)级数un收敛的必要条件是.n12.(4分)交换二次积分的次序0dy0f(x,y)dx=.3.(4分)微分方程y4y4y2xe2x 的一个特解形式可以设为.4.(4分)在极坐标系下的面积元素d.二、选择题(每题4分,共16分)221.(4分)已知曲面z4xy上点P处的切平面平行于平面1y2x2yz10,则点P的坐标是().A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)级数(1)n1n11n32为().A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.3.(4分)若是锥面xyz被平面z0与z1所截下的部分,则曲面积分(xy)dS().22222A.C.220d0rrdr;B.0d0rrdr;12120drrdr;D.12020drrdr.2120nn3xn14.(4分)幂级数(1)的收敛半径为().n1n11A.R2;B.R;C.R3;D.R.23三、解答题(每题7分,共63分)1.(7分)设zsin(xy)exy,求dz.2.(7分)计算三重积分Ixdxdydz,其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域.3.(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圆柱面x2y225截出的有限部分.(1)n(x1)n的收敛域.4.(7分)求幂级数nn15.(7分)将f(x)1展开为麦克劳林级数.22xxxx6.(7分)求曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy,其中L为x2y2ax上从A(a,0)到O(0,0)的上半圆周.7.(7分)求微分方程y2xy4x在初始条件yx03下的特解.8.(7分)求曲面积分I(x1)dydz(2y2)dzdx(3z3)dxdy,其中为曲面xyz4的内侧.9.(7分)计算曲线积分I(xy)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)L222为顶点的三角形折线.四、(5分)试确定参数t的值,使得在不含直线y0上点的区域上,曲线积分x(x2y2)tx2(x2y2)tIdxdy与路径无关,其中C是该区域上一条2yyC光滑曲线,并求出当C从A(1,1)到B(0,2)时I的值.评分标准一、1.limun0;2.0dxxf(x,y)dy;n113.y*x2(Ax2BxC)e2x;4.drdrd.二、1.C;2.A;3.D.4.D.三、1.解zxcosx3分(y)yexy(y)xezycosx3分xy7分dz[cosx(y)ye]dx[cosx(yx)yxedyxy2.解I0dx111x20dy1xy20xdz3分0xdx1x20(1x2y)dy5分110(x2x2x3)dx6分417分483.解:z5y1分2分D:x2y22522I(1y5y)1zxzydxdy4分D62dxdy6分D7分15024.解R12分当x2时收敛4分当x0时发散6分收敛域为(0,2].7分11115.解2分22xx31xx212113分x31x6(1)21n1nxx(1)5分3n06n021n1n1(1)n1x6分3n02n7分x16.解Pesinyy,Qecosy11分xxQP13分xy由格林公式得Idxdy6分Da12a7分2287.解ye2xdx2C4xexdx3分x22eCex2[C2ed(x2)]4分x225分将yx03代入上式得C16分所求特解为yex227分8.解利用高斯公式得4分I6dv46分643327分(x)ydsx)yds9.解I(xy)ds(OAOBBA112分(xy)dsxdx02OA11(xy)dsydy4分02OBBA6分(xy)ds0(x1x)2dx217分I12Px(x2y2)t1222(2tyxy)四、解1分2yyQ2x(x2y2t)1222(xytx)2分2xy令PQ22可得(2t1)(xy)0yx1因为y0,所以t3分2因曲线积分与路径无关,故取从点A(1,1)经点D(0,1)到点B(0,2)的折线积分I10xx12dx04分5分扩展阅读:大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳武汉科技大学高等数学(下)考试试题3一、填空题(每题4分,共16分)1.(4分)级数un收敛的必要条件是.n12.(4分)交换二次积分的次序3.(4分)微分方程0dy0f(x,y)dx=.1yy4y4y2xe2x的一个特解形式可以设为.4.(4分)在极坐标系下的面积元素d.二、选择题(每题4分,共16分)1.(4分)已知曲面z4x2y2上点P处的切平面平行于平面2x2yz10,则点P的坐标是().A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)级数(1)n1n11n32为().A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.3.(4分)若是锥面x2y2z2被平面z0与z1所截下的部分,则曲面积分22(xy)dS().A.C.22;B.drrdrdr0000rdr;12120d0r2rdr;D.20d0r2rdr.1214.(4分)幂级数(1)n1n13nxnn的收敛半径为().A.11R2;B.R;C.R3;D.R.23三、解答题(每题7分,共63分)1.(7分)设zsin(x2.(7分)计算三重积分Iy)exy,求dz.xdxdydz,其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域.3.(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圆柱面x2y225截出的有限部分.4.(1)n(x1)n的收敛域.(7分)求幂级数nn15.(7分)将1f(x)2xx2展开为麦克劳林级数.6.(7分)求曲线积分IL(exsiynydx)ex(ycosdy,1其中L为x2y2ax上从A(a,0)到O(0,0)的上半圆周.7.(7分)求微分方程y2xy4x在初始条件yx03下的特解.(x1)dydz(2y2)dzdx(3z3)dxdy,其中8.(7分)求曲面积分I为曲面x2y2z24L 的内侧.9.(7分)计算曲线积分I角形折线.(xy)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三y0上点的区域上,曲线积分四、(5分)试确定参数t的值,使得在不含直线x(x2y2)tx2(x2y2)tIdxdy与路径无关,其中C是该区域上一条光滑曲线,2yyC并求出当C从评分标准一、1.limunnA(1,1)到B(0,2)时I的值.0;2.0dxxf(x,y)dy;113.二、y*x2(Ax2BxC)e2x;4.drdrd.1.C;2.A;3.D.4.D.三、1.解3分zxcos(xy)yexy分2.解zycos(xy)xexy3分7dz[cos(xy)yexy]dx[cos(xy)xexy]dyI0dx111x20dy01x2yxdz3分0xdx1x20(1x2y)dy5分110(x2x2x3)dx6分417分483.解1分:z5y2分D:x2y22522I(1y5y)1zxzydxdy4分D62dxdy6分D7分15024.解R12分当x2时收敛4分当x0时发散6分收敛域为(0,2].7分5.解11112分22xx31xx2113分31x6(1x)21n1xx(1)n5分3n06n02111(1)nn1xn6分3n02n7分x16.解Pex1分sinyy,Qexcosy1QP13分xy由格林公式得I6分dxdyD2a1a27分228x27.解ye2xdxC4xedxx23分ex2[C2ed(x2)]4分Cex225分将yx03代入上式得C16分x2所求特解为ye8.解利用高斯公式得27分4分I6dv9.解46分643327分I(xy)ds(xy)ds(x)ydsOAOBBA112分(xy)dsxdx02OA11(xy)dsydy4分02OBBA6分(xy)ds0(x1x)2dx217分I12四、解Px(x2y2)t1222(2tyxy)1分2yyQ2x(x2y2)t1222(xytx)2分2xyPQ22令可得(2t1)(xy)0yx因为13分y0,所以t2因曲线积分与路径无关,故取从点0A(1,1)经点D(0,1)到点B(0,2)的折线积分I1xx12dx04分5分友情提示:本文中关于《大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳》给出的范例仅供您参考拓展思维使用,大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳:该篇文章建议您自主创作。
高等数学(下册)期末考试试题【A 卷】考试日期:2013年6月院(系)别 班级 学号 姓名一、填空题:(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1.已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,则a b ⋅=rr .2.若将函数1()2f x x =+展为x 的幂级数,则()f x = ,x ∈ . 3.曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 .4.设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 . 5.设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1.平面260x y z ++-=与直线234112x y z ---==的交点坐标为( ) A 、(1,1,2) B 、(2,3,4) C 、(1,2,2) D 、(2,1,1) 2.若函数),(y x f 在区域D 内偏导数存在,则结论正确的是( )A 、必有xy fy x f ∂∂∂=∂∂∂22 B 、),(y x f 在D 内必可微 C 、),(y x f 在D 内连续 D 、以上都不对3.二重积分{}⎰⎰≤+==Dy x y x D d y x f I 1|),(,),(22其中σ,则可将I 化为累次积分( )A 、⎰⎰--dy y x f dx x ),(21011 B 、⎰⎰--dy y x f dx ),(1111C 、11(,)dx f x y dy -⎰⎰D 、2100(cos ,sin )d f r r dr πθθθ⎰⎰4.设 Ω为立方体:10≤≤x ,10≤≤y ,10≤≤z ,则=⎰⎰⎰Ωz y x y x d d d 2( )A 、81 B 、61 C 、 41; D 、315、下列命题中正确的为( )A 、若级数∑∞=1n nu收敛,则级数∑∞=+11n n u必定收敛。
《高等数学A2》考试试卷A
一 单项选择题 (每小题3分, 共15分)
1. 非零向量ba,互相垂直, 则有 ( )
A.||||||baba; B. ||||baba;
C. ||||baba; D. ||||baba
2.下列级数中,收敛级数是 ( )
A.2302100nnn; B.; 05!nnn
C.14tannn D. 1sin6nn
3.设(,)fxy可微,如果线积分(,)()Lfxyydxxdy与路径无关,
则应满足条件 ( )
A. (,)(,)yxyfxyxfxy B. ////(,)(,)xxyyxfxyyfxy
C.(,)(,)yxfxyfxy D. (,)(,)yxxfxyyfxy
4. 若Dardrrrfddxdyyxf22cos0)sin,cos(),(,则区域D是 ( )
A. 222ayx; B. 0,222xayx;
C. 0,22aaxyx D. 0,22aaxyx
5. 设),(yxf为连续函数, 且(1,1)6f, 则有
222
2
0(1)(1)1lim(,)xyfxydxdy
( ).
A.不存在; B. -6; C.6; D. 0
二 填空题 (每小题3分, 共15分)
1.2(,)(2,0)sin()lim11xyxyxy=( ).
2. ),(yxfz的偏导数xz及yz在点),(yx存在且连续是),(yxf在该点可微分的
( )条件.
3.第二类曲面积分RdxdyQdzdxPdydz化为第一类曲面积分是
( ),其中,,为有向曲面在点),,(zyx处的( )
的方向角.
4.若级数1nnu绝对收敛, 则级数1nnu必定( ); 若级数1nnu条件收敛,则
级数1||nnu必定( );
5.一阶微分方程22dyxydx的通解等于( )
三 解答题 (每小题6分, 共30分)
1.设 222(,,)xyzufxyze, 而2sinzxy.求ux 和 uy.
2求函数2yzxe在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数.
3. 计算曲面积分zdSI, 其中是球面2222azyx被平面hz
)0(ah
截出的顶部.
4. 计算DxydI其中D是由抛物线xy2及直线2xy所围成的闭区域.
5. 将函数()1,(0)fxxx展开成余弦级数.
四(8分) 计算曲线积分Lyxxdyydx)(222, 其中L为一条不经过原点的简单光滑闭曲
线, L的方向为逆时针方向.
五(8分) 计算三重积分dxdydzeIy, 其中是由曲面1222zyx 及
2,0yy
所围成的闭区域.
六(7分) 判别下列级数的绝对收敛性与条件收敛性
(1) 1cos1)1(nnna, (2)1)1(nnnnu, 其中12nnu收敛
七(7分) 求幂级数1)12(nnxn的收敛区间及和函数.
八(10分) 求微分方程///2562xyyyxe的通解