2018年秋人教B版数学选修1-1练习：2.2.1 双曲线及其标准方程 Word版含解析

1．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4解析：选A.由双曲线的定义可知，|PF 1|－|PF 2|＝±3时，P 点的轨迹是双曲线． 2．方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k ∈( ) A ．(5,10)B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由(10－k )(5－k )<0得(k －10)(k －5)<0，∴5<k <10.∴方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k ∈(5,10)． 3．双曲线x 216－y 29＝1右支上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左焦点的距离为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选C.由双曲线定义可知，P 点到左焦点的距离为：2＋2a ＝2＋8＝10. 4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：选B.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由已知可得P (5，4)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 2－16b 2＝1a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4. ∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 5．(2013·深圳高二检测)若椭圆x 225＋y 216＝1和双曲线x 24－y 25＝1的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．21B.212 C ．4 D ．3解析：选A.由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝10.①由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝4.②由(①2－②2)÷4得|PF 1|·|PF 2|＝21.6．已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的焦距为__________． 解析：∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝25.∴c ＝5.故焦距为2c ＝10.答案：107．(2011·高考上海卷)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝__________.解析：由已知条件知m ＋9＝52，所以m ＝16.答案：168．(2012·高考辽宁卷)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8，故mn ＝2，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝4＋4×2＝12，于是|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.答案：2 39．根据下列条件，求双曲线的方程：(1)以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)； (2)以椭圆x 216＋y 29＝1长轴的两个顶点为焦点，焦点为顶点． 解：(1)双曲线中c ＝3，且焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将A (4，－5)代入，得25b 2－16a 2＝a 2b 2.又∵b 2＝c 2－a 2，即b 2＝9－a 2，∴25(9－a 2)－16a 2＝a 2(9－a 2)．解得a 2＝5或a 2＝45(舍)，b 2＝9－a 2＝4.∴所求的双曲线方程为y 25－x 24＝1. (2)椭圆的焦点为(±7，0)，相应长轴的两个顶点为(±4,0)，∴双曲线中，c ＝4，a ＝7.∴b 2＝9，且双曲线的焦点在x 轴上．∴所求的双曲线方程为x 27－y 29＝1. 10．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P (－52，－6)，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25， ∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1， ∵点P (－52，－6)在双曲线上，∴(－52)2a 2－(－6)225－a2＝1. 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254<0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.1．(2012·高考大纲全国卷)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34. 2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF 1|＋|PA |.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.答案：93．求与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2,0)的动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r.∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴|MC|＝r－2，|MA|＝r，|MA|－|MC|＝ 2.∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有a＝22，c＝2，b2＝c2－a2＝72.∴所求双曲线方程为2x2－2y27＝1(x<0)．4．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)满足如下条件：(1)ab＝3；(2)过右焦点F的直线l的斜率为212，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶|QF|＝2∶1.求双曲线的方程．解：设右焦点F(c,0)，点Q(x，y)，设直线l：y＝212(x－c)，令x＝0，得P(0，－212c)，则有PQ→＝2QF→，所以(x，y＋212c)＝2(c－x，－y)．∴x＝2(c－x)且y＋212c＝－2y，解得：x＝23c，y＝－21 6c.即Q(23c，－216c)，且在双曲线上，∴b2(23c)2－a2(－216c)2＝a2b2，又∵a2＋b2＝c2，∴49(1＋b2a2)－712(a2b2＋1)＝1，解得b2a2＝3，又由ab＝3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1b2＝3.∴所求双曲线方程为x2－y23＝1.。

条件下点 P 的轨迹是什么图形？
(1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6；
本
(2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
专
题 栏
解 (1)∵| x＋52＋y2－ x－52＋y2|表示点 P(x，y)到两定
目 开
点 F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，
＝|FT|－12(|PF|－|PE|)
＝ 5－12×2× 3＝ 5－ 3.
填一填 研一研 练一练
研一研·题型解法、解题更高效
例 3 已知 A，B 两地相距 2 000 m，在 A 地听到炮弹爆炸声比 在 B 地晚 4 s，且声速为 330 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 解 如图，建立直角坐标系 xOy，使 A，B 两
研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练 2 如图，从双曲线x32－y52＝1 的左焦
点 F 引圆 x2＋y2＝3 的切线 FP 交双曲线右支
于点 P，T 为切点，M 为线段 FP 的中点，O
本 专
为坐标原点，则|MO|－|MT|等于
(C )
题 栏
A. 3
B. 5
目 开
C. 5－ 3
D. 5＋ 3
关
解析 |MO|－|MT|＝12|PE|－(|MF|－|FT|)
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填一填 研一研 练一练
小结 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依
据．在应用时，一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a (0<2a<|F1F2|)的
本 专
使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，
题 栏
同时要注意整体运算思想的应用．
目

2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课时过关·能力提升1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A.(12,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(0,3)答案: C2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A.y.yC.y2=.y2=4x答案:B3.抛物线yA.x.xC.x=.x=答案:D4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()A.(x-1)2+y.x2+(y-1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-1)2=1答案:C5.设点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于()A.3B.6C.9D.12解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x.由抛物线定义知l=h,又l=d d=l-4=6.答案:B6.设定y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为()A.(0,0)B.(1C.(2,2) D解析:连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2的最小值是|MF|,当且仅当M,P,F三点共线时,等号成立,而直线MF的方程为y y2=2x联立求得x=2,y=2;x y=),此时,点P的坐标为(2,2).答案:C7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为. 答案:y2=8x8.抛物线x=2y2的焦点坐标是.答案9. 已知y2=2px(p>0),求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为直线3x+4y-12=0与x轴的交点;(2)焦点到直线x=-5的距离是8.解: (1)直线与x轴的交点为(4,0),则=4,∴p=8,∴方程为y2=16x.(2)焦点在x轴上,设为,∴+5=8,解得=3,则其焦点为(3,0),∴p=6,故方程为y2=12x或y2=-52x.★10.如图,已知直线AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:(1)y1y2=-p2,x1x(2)|AB|=x1+x2+pθ为直线AB的倾斜角);(3.分析:设出直线AB的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.证明:(1)由已知,得焦点F,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(k≠0),由消去x,得ky2-2py-kp2=0.①由一元二次方程根与系数的关系,得y1y2=-p2,y1+y2=.又由y=k,得x=y+,故x1x2=y1y2+(y1+y2)+(-p2)+.当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,则y1=p,y2=-p,则y1y2=-p2,x1x2=.综上,y1y2=-p2,x1x2=.(2)当直线AB的斜率存在时,由抛物线的定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.②又y=k(k≠0),∴x=y+,∴x1+x2=(y1+y2)+p.由①知y1+y2=,∴x1+x2=+p,代入②得|AB|=+2p=2p=2p.当直线AB的斜率不存在,即θ=时,A,B,|AB|=2p=+p=.综上,|AB|=x1+x2+p=.(3)=,将x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得.故为定值.。

ab
6、离心率：e=
c a
Y
B2
X
A2
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程： y 2 x 2 1
双曲线性质：
a2 b2
1、 范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）A1
形式一：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
（焦点在x轴上，F（1 -c，0）、F（2 c，0））
形式二：
y2 a2
x b
2 2
1(a
0,b
0)
（焦点在y轴上，F（1 0，-c）、F（2 0，c））
其中 a2 b2 c2
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2
1
a2 b2
B2
F1
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x
c2 a2 b2)
b
点火预热 抛物线的标准方程
• A．
B．
•