北师大版九年级数学下册试题1.3三角函数的有关计算.docx

)
D．cos 26°<tan 25°<sin 27°
A．sin A＝sin B B．tan A＝tan B
15．如图，菱形 ABCD 的一条对角线 AC＝8 m，tan∠BAO ＝54，借助计算器求菱形的边长及内角的度数(角度精确 到 1°，长度精确到 1 m)．
8 3
mm，，则铅直∠A高解的度度B：数C约∵ 为为2.四____边___形_(用科A学B计算C器D计算是，结菱果精形确到，0∴. AC⊥BD，OA＝12AC＝4
【点拨】易得 sin A＝BACB＝153，再用科学计算器求∠A.
8．【中考·陕西】如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC 为5.3 m，铅直高度BC为2.8 m，则∠A的度数约为 __2_7_._8_°__(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中 正确的是( C )
8 m，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.
分别约为 103°，77°，103°，77°.
16．【2020·聊城】如图，小莹在数学综合实践活动中，利 用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测 量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35 m，后 站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居 民楼AB的顶端B的仰角为55°.已知居民楼CD的高度 为16.6 m，小莹的观测点N距地面1.6 m．求 居民楼AB的高度(结果精确到1 m，参考 数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
时，∠BAO≈51.3°.
解8 m：，如则图∠，A由过的点度菱N数作约形E为F∥_的 _A_C_交_性_A_B_于(质用点科知 E学，计交∠算C器DB于计点C算F，D. 结＝果精∠确到B0.AD＝2∠BAO≈102.6°≈103°，

初中数学北师大版九年级下学期第一章 1.3 三角函数的计算一、单选题（共6题；共30分）1. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，若cos B=12，则sin A的值为（）A.1B.12C.√32D.√332. 如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20∘，山高BC=2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.3. 如果sin2a+cos230∘=1，那么锐角α的度数是（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘4. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，若sin A=513，则cos A的值为（）A. B. C. D.5. 在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是()A.sin A=sin BB.sin A=cos BC.tan A=tan BD.cos A=tan B6. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tan A的值为（）A.3 5B.45C.34D.43二、填空题（共4题；共20分）如图，已知tanα=12，如果F(4, y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是________．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，BC＝4，AC＝3，则sin B＝________．若sin A=23，则cos(90∘−A)=________．A.23如图，在△ABC中，∠B=30∘，AC=2, cos C=35.则AB边的长为________.三、计算题（共3题；共25分）计算：（1）sin260∘−tan30∘⋅cos30∘+tan45∘（2）cos245∘+sin245∘+sin254∘+cos254∘已知α为一锐角，sinα=45，求cosα，tanα．A.解：由sin α=a c=45，设a =4x ，c =5x ， 则b =√c 2−a 2=3x ，故cos α=b c =35，tan α=a b =43．在Rt △ABC 中，∠C =90∘，若sin A =1213．求cos A ，sin B ，tan B 的值．A.解：∵ sin A =1213=BCAB ， ∴ 设AB =13x ，BC =12x ，由勾股定理得：AC =√AB 2−BC 2=√(13x )2−(12x )2=5x ，∴ cos A =BCAB =513，sin B =cos A =513，tan B =ACBC =512四、解答题（共2题；共20分）已知sin α+cos α=1713，且0∘<α<45∘，求sin α的值．已知tan a =34，求sin α+cos αsin α−cos α的值．A.解：如图，∵ tan a =34， ∴ 设BC =x ，则AC =4x ，AB =5x ，∴ 原式=3x 5x +4x 5x 3x 5x −4x 5x=7x 5x −x 5x=−7．参考答案与试题解析初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.3 三角函数的计算一、单选题（共6题；共30分） 1.【答案】 B【考点】互余两角三角函数的关系 【解析】根据互余角的三角函数间的关系：sin (90∘−α)=cos α,cos (90∘−α)=sin α解答即可． 【解答】 解：：在4ABC 中，∠C =90∘ ∴ ∠A +∠B =90∘ ∵ sin A =cos B =12故答案为：B ． 2. 【答案】 A【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 计算器—三角函数 【解析】在△ABC 中，通过解直角三角形可得出sin A =BC AB，则AB =BCsin 20，即可得出结论．【解答】解：在△ABC 中，sin A =sin 20∘=BCAB ， ∴ AB =BC sin 20=2sin 20，∴ 按键顺序为：2÷sin 20=. 故选A . 3.【答案】 A【考点】特殊角的三角函数值 同角三角函数的关系【解析】根据特殊角三角函数值计算即得． 【解答】∵ sin 2α+cos 230∘=1 ∴ sin 2α=1−(√32)2=14∵ H 为锐角，∴ sin α=12 .a =30∘故答案为：A ．4.【答案】 D【考点】同角三角函数的关系 【解析】利用sin 2A +cos 2A =1求出cos 2A ，再由锐角三角函数值是正数求解． 【解答】解：∵ sin 2A +cos 2A =1，即(513)2+cos 2A =1 ,cos 2A =144169.cos A =1213或-1213（舍去），,cos A =1213故答案为：D ． 5.【答案】 B【考点】互余两角三角函数的关系 【解析】利用互余两角的三角函数关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知互余关系：sin A =cos (90∘—A)，cos A =sin (90∘—A)，tan A =cot (90∘—A)，cot A =tan (90∘—A)． 【解答】在Rt △ABC 中，∠C =90∘，故有A =90∘−B ， 从而sin A =sin (90∘−B)=cos B ． 所以答案是：B ． 6.【答案】 D【考点】锐角三角函数的定义 计算器—三角函数【解析】直接过点C 做CD 垂直AB ，在直角三角形ADC 中，根据正切函数的定义，分析即可求出tan A ． 【解答】过C 点作CD 垂直AB 于D ，∠ADC =90∘，在直角三角形ADC 中，tan A =CDAB =43 故答案为：D二、填空题（共4题；共20分） 【答案】 (4, 2) 【考点】锐角三角函数的定义坐标与图形性质【解析】过F作FC⊥x轴于C，根据锐角三角函数的定义得出tanα=CFOC =12，代入求出CF，即可得出答案．【解答】解：过F作FC⊥x轴于C，∵F(4, y)，则OC=4，CF=y，在Rt△OFC中，tanα=CFOC =12，即CF4=12，'∴CF=2，即y=2．故答案为(4, 2)．【答案】5【考点】解直角三角形锐角三角函数的定义勾股定理【解析】首先利用勾股定理计算出ABE，再计算sin B即可．【解答】ΔC=90∘,BC=4,AC=3AB=5sin B=ACAB=35故答案为：35【答案】23【考点】互余两角三角函数的关系【解析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值即可求解．【解答】解：．∵ ∠A与∠90∘−A互余，∵ cos (90∘−A )=sin A =23故答案为23 【答案】165【考点】锐角三角函数的定义 计算器—三角函数 【解析】根据三角函数的定义，已知c05C =35，故过A 作AD ⊥BC 于D 点．根据已知条件得CD ，利用勾股定理得AD ．在直角三角形ADB 中，利用特殊角三角函数值即可求出AB ． 【解答】过A 作AD ⊥BC 于D 点，cos C =CDAC =35 AC =2 ∵ CD =65在Rt △ACD 中由勾股定理得：AD =85又：∠B =30∘∵ AB =2AD =165三、计算题（共3题；共25分） 【答案】 原式＝(√32)2−√33×√32+1=34−12+1=54，原式＝(cos 245∘+sin 245∘)+(sin 254∘+cos 254∘)＝1+1＝2 【考点】同角三角函数的关系 特殊角的三角函数值【解析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案． 【解答】 原式＝(√32)2−√33×√32+1=34−12+1=54，原式＝(cos 245∘+sin 245∘)+(sin 254∘+cos 254∘)＝1+1＝2解：由sinα= = ，设a=4x，c=5x，则b= =3x，故cosα= = ，tanα= = ．【考点】同角三角函数的关系【解析】根据sinα=45，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cos a的值，同理可得tan a的值．【解答】此题暂无解答【答案】解：∵ sinA= = ，∴设AB=13x，BC=12x，由勾股定理得：AC= = =5x，∴ cosA= = ，sinB=cosA= ，tanB= =【考点】同角三角函数的关系互余两角三角函数的关系【解析】根据|sin A=1213=BCAB设AB=13x,BC=12x，根据勾股定理求出AC=5x，根据锐角三角函数的定义求出即可．此题暂无解答四、解答题（共2题；共20分） 【答案】解：∵ sin α+cos α=1713，∴ (sin α+cos α)2=289169，即sin 2α+cos 2α+2sin α⋅cos α=289169， 而sin 2α+cos 2α=1， ∴ 2sin α⋅cos α=120169，∴ 1−2sin α⋅cos α=49169，即sin 2α+cos 2α−2sin α⋅cos α=49169， ∴ (sin α−cos α)2=49169，∵ 0∘<α<45∘， ∴ sin α<cos α， ∴ sin α−cos α=−713， 而sin α+cos α=1713，∴ 2sin α=1013， ∴ sin α=513．【考点】互余两角三角函数的关系 【解析】把已知条件两边平方得到sin 2α+cos 2α+2sin α⋅cos α=289169，再利用sin 2α+cos 2α=1，则2sin α⋅cos α=120169，所以sin 2α+cos 2α−2sin α⋅cos α=49169，即(sin α−cos α)2=49169，当0∘<α<45∘，sin α<cos α，于是sin α−cos α=−713，加上sin α+cos α=1713，利用加减法即可求得sin α． 【解答】解：∵ sin α+cos α=1713，∴ (sin α+cos α)2=289169，即sin 2α+cos 2α+2sin α⋅cos α=289169，而sin 2α+cos 2α=1， ∴ 2sin α⋅cos α=120169，∴ 1−2sin α⋅cos α=49169，即sin 2α+cos 2α−2sin α⋅cos α=49169， ∴ (sin α−cos α)2=49169，∵0∘<α<45∘，∴sinα<cosα，∴sinα−cosα=−7，13，而sinα+cosα=1713∴2sinα=10，13∴sinα=5．13【答案】解：如图，∵ tana= ，∴设BC=x，则AC=4x，AB=5x，∴原式= = =﹣7．【考点】同角三角函数的关系【解析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】此题暂无解答。

∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修
建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
二、自主合作，探究新知
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，
根据正弦的定义，得sinβ= ，即sin

∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m).

42°＝ ，

E
二、自主合作，探究新知
探究二：利用计算器由三角函数值求角度
想一想：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修
建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在Rt△ABC中，sinA=
屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994.
和
键.
也有的计算器是
先输入角度再按
函数名称键.
二、自主合作，探究新知
3.求 tan30°36'.
方法一： 第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用
键)，
屏幕显示答案：0.591 398 351；
方法二： 第一步：按计算器
北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
3
三角函数的计算
学习目标
1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
(重点)
2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
（难点）
复习回顾
30°，45°，60°角的三角函数值：
三
角函
角α
三角函数

北师大版九年级数学下册第一章《3.三角函数的计算》课时练习题（含答案）一、单选题1．cos30︒的值等于（ ）A ．22B ．32C ．1D ．3 2．计算8|2|cos 45+-⨯︒的结果，正确的是（ ）A ．2B ．32C ．223+D ．222+ 3．在△ABC 中，∠A 和∠C 都是锐角，且3sin 2A =，tan 3C =，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6cm ，则BC 的长度为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm 5．如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD ：AB ＝3：2，CP ：BP ＝1：2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ；②2BF ＝PB •EF ；③PF •EF ＝22AD ；④EF •EP ＝4AO •PO ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④6．下列各式中不成立的是（ ）A ．22sin 60sin 301︒+︒=B ．tan 45tan30︒>︒C ．tan45sin45>︒︒D ．sin30cos301︒+︒=7．在ABC ∆中，A ∠、B ∠都小于60︒，且()3sin 2A B +=，则C ∠的大小是（ ） A ．120︒ B ．90︒ C ．60︒ D ．30︒8．已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则α∠= （ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒二、填空题9．计算：|28-|﹣2sin30°﹣(π﹣3)0=____．10．计算：(4−π)0−∣−3∣+2cos45°=______________．11．计算：tan60°﹣cos30°=_____．12．计算：220(1)2cos 602(2022)π++--︒﹣﹣的值是______． 13．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2,120AB DAB =∠=︒．如图，建立平面直角坐标系xOy ，使得边AB 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是_________．三、解答题14．计算：(1)24sin 602cos452tan45︒︒-︒ ；(2)()10112cos301252π-⎛⎫-︒--- ⎪⎝⎭ ．15．计算：(1)22cos302sin60cos45︒-︒︒()101tan45 3.144cos453π-⎛⎫︒---︒+- ⎪⎝⎭16．（1）计算：()3π12 1.572-⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221111202220221x x xx x x++-⎛⎫÷-+⎪---⎝⎭，其中cos60x=︒．17．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式。