人教版九年级数学公式法

1 九年级数学课前预习任务单和课堂小练习及答案

第4课时 解一元二次方程(3)——公式法

课前预习任务单

目标 任务一：明确本课时学习目标

1. 理解一元二次方程的求根公式的推导过程及公式法的概念.

2. 掌握运用公式法解一元二次方程的步骤.

承前 任务二：复习回顾

1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？

略.

2. 用配方法解方程x2＋4x－7＝0.

解：x1＝－2＋ 11 ，x2＝－2－11 .

启后 任务三：学习教材第9～12页，解答下列问题

1. 运用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).

解：移项，将常数项移到等号右边，得

ax2＋bx＝－c .

二次项系数化为1，得 x2＋bax＝－ca

.

等号左右两边同时加上 b2a2 ，得 x2＋bax＋b2a2＝－ca＋b2a2

配方，得到形如(x＋n)2＝p的方程：

x＋b2a2＝b2－4ac2a2 .

∵a≠0，∴4a2>0.当b2－4ac＞0时，b2－4ac4a2＞0.直接开平方，得x＝

－b±b2－4ac2a . ,

2. 用公式法解x2＋3x＝1时，应先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为( B )

A. 1,3,1 B. 1,3，－1

C. －1，－3，－1 D. －1,3,1

3. 用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是( B )

A. 16 B. 24

C. 8 D. 4

范例

任务四：运用公式法解一元二次方程

1. 用公式法解一元二次方程2x2－4x－1＝0.

解：a＝ 2 ，b＝ －4 ，c＝

－1 ，Δ＝b2－4ac＝ (－4)2－4×2×(－1) ＝ 24 >0，则 x＝

教学设计

课题

第1课时公式法 节次 1 课型 新授课

确立目标依据 课标分析 课标摘要

了解一元二次方程及其解法

课标分解

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

教材分析 一元二次方程的解法是九年级上册第一章内容，是代数运算的重要基础之一

学情分析

学生已经学习了一元二次方程和开方，具备一定基础

学习目标 1．知道一元二次方程根的判别式的概念．

2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．

评估任务 经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．

教 学 过 程

教学环节 教学活动 评估要点

自学即讲 一、情境导入

老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？

整合探究 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根的情况

【类型一】判断一元二次方程根的情况

不解方程，判断下列方程的根的情况．

(1)2x2＋3x－4＝0；

(2)x2－x＋14＝0；

(3)x2－x＋1＝0.

解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．

解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．

(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．

(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．

方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．

21.2.2 公式法

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.

2.会熟练应用公式法解一元二次方程.

自学指导 阅读教材第9至12页的部分，完成以下问题.

1.用配方法解下列方程：

(1)6x2-7x+1=0； (2)4x2-3x=52.

2.如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？

问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)试推导它的两个根x1=242bbaca，x2=242bbaca.

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

知识探究

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=242bbaca就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程没有实数根.

(2)x=242bbaca叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程可能有两个不等的实数根，也可能有两个相等的实数根或没有实数根.

(5)一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即Δ=b=-4ac.

自学反馈

用公式法解下列方程：

(1)2x2-4x-1=0； (2)5x+2=3x2；

(3)(x-2)(3x-5)=0； (4)4x2-3x+1=0.

解：(1)x1=1+62，x2=1-62； (2)x1=2，x2=-13；

(3)x1=2，x2=53； (4)无解.

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新人教版九年级数学上册解一元二次方程—公式法学案

一、学习目标 了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；

理解一元二次方程求根公式的推导过程；

掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；

学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．

二、知识回顾 1．什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

配方法解一元二次方程的一般步骤：

（1）移常数项到方程右边；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（4）化方程左边为完全平方式；

（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．

2．怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程？

解：移项，得2,axbxc

二次项系数化为1，得2,bcxxaa

配方，得222()(),22bbcbxxaaaa

即：222424bbacxaa，

因为0,a所以

当240bac时，242bbacxa；

当240;2bbaca12时，x=x

240bac当时，原方程无解. 优质文档

三、新知讲解 1． 一元二次方程根的判别式

24bac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即24bac．

2． 一元二次方程根的情况与判别式的关系

（1）240bac方程有两个不相等的实数根；