几何证明直角三角形
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直角三角形全等的判定与直角三角形的性质
【知识精要】
直角三角形全等的判定
1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等(简记为H.L )
2、三角形全等的判定方法:S.S.S, S.A.S, A.S.A, A.A.S, 在直角三角形中仍可用 直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
3、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
4、在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。 直角三角形中常用的辅助线
1、斜边的中线
2、斜边的高
3、等腰三角形底边中线或地边上的高构造直角三角形。
【精解名题】
例1、有两条高相等的锐角三角形是等腰三角形。
例2、如图,在△ABC 中,AE 平分∠BAC ,DE 垂直平分BC 于点D ,EF ⊥AC ,交AC 的延长线于点F 。求证:AB=AC+2CF.
提示:联结EB 、EC ,作EG ⊥AB 于点G 。
例3、如图,在正方形ABCD 中,E 为AD 的中点,F 是BA 延长线上的一点,AF=2
1AB 。 求证:(1)DF=BE (2)DF ⊥BE
例4、如图,在锐角△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC于点D,E为AC中点,ED的延长线交AB的延长线于点F .
求证:BF=BD
例5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E在AB上,AD=AC,BE=BC。
求证:∠DCE=45°
例6、如图,已知AB=AC,∠A=120°,MN垂直平分AB,交BC于点M,求证:CM=2BM
提示:联结AM
例7、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD//BC,BD=BC。求证:∠DCA=∠DBC
提示:作AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F
例8、如图,,已知△ABC的高BD、CE相交于点O,M、N分别为BC、AO的中点。求证:MN 垂直平分DE。
提示:联结DM、EM、DN、EN
【巩固练习】
1、判断(错的用“×”表示,对的用“√”表示,如果正确,请说出判定方法)
(1)两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等(),()(2)一条直角边、一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等。(),()(3)一个锐角及斜边对影响等的两个直角三角形全等(),()(4)一条直角边及斜边对应相等的两个直角三角形全等(),()(5)如果一个直角三角形的两条边分别与另一个直角三角形的
两边相等,那么这两个直角三角形全等(),()(1)√SAS (2)×(3)√AAS (4)√HL (5)×
2、如图,已知AD垂直平分BE于点C,AB=DE。求证:AB//DE
3如图,在等腰△ABC中,AC=BC,过点C作直线l的,AD⊥l,BE⊥l于点E,且AD=CE。求证:∠ACB=90°
4、如图,已知∠B=∠E=90°,AB=AE ,AF 垂直平分CD ,求证:BC=ED 。
提示:联结AC 、AD
5、如图,已知AD//BC ,AB ⊥BC ,E 为AB 上一点,DE 平分∠ADC ,CE 平分∠BCD ,求证:AD+BC=DC 。
提示:作EF ⊥DC 于点F
6、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,M 是AB 的中点,E 、F 分别是AC 、BC 延长线上的点,且CE=CF=
AB 2
1,求∠EMF 的度数。
答:45°,提示:联结MC
7、如图,已知AE、BD相交于点C,AB=AC,DC=DE,F、G、H分别是AD、BC、CE的中点,求证:FG=FH
提示:联结AG、DH
8、如图,已知AB=BC,AD=AC,AB⊥BC,△ABC与△ADC的面积相等,且AC//BD,求∠ADC 的度数。
答:75°,提示:作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F
9、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,求BE的长与AC的长之比。
3:4
【拓展提高】
1、如图(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,过点A作直线l,B、C两点在AE的同侧,
BD⊥l于点D,CE⊥l于点E(BD<CE)
(1)求证:BD+CE=DE
(2)若直线l绕点A旋转到图(2)的位置时(BD>CE),其余条件不变,问(1)中的结论成立吗?为什么?
(3)若直线l绕点A旋转到图(3)的位置时,(B、C两点在l的异侧),问(1)中的结论成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请指出BD、CE与DE三条线段的数量关系,并证明。
图(1)图(2)图(3)
(1)提示:由证明△ABD≌△CAE可得结论成立
(2)成立
(3)DE=|BD-EC| 证明略
2、如图<1>,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB为一边向外作等边△ABD,AE⊥BD于点E,AE与CD交于点M
(1)线段DM与线段BC有怎样的数量关系?请证明;
(2)若△ABC与△ABD在AB的同侧时,CD的延长线与AE的延长线交于点M。①请在图<2>中画出△ABD和点M;②线段DM和BC仍然有(1)中的数量关系吗?为什么?
图<1> 图<2>
答案:(1)BC=2DM 证明略(2)仍成立
【家庭作业】
1、填空
(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,写出图中相等的锐角:____________。(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,写出图形相等的线段:____________。(3)如图3,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC,交BC于点D,若AD=6cm,则BC=_________cm
(4)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,则∠A=__________。