不等式、线性规划、计数原理与二项式定理

第三讲 不等式、线性规划、计数原理与二项式定理

研热点（聚焦突破）

类型一 不等式的性质与解法

1．不等式的同向可加性

a b a c b d c d >⎫

⇒+>+⎬>⎭

2．不等式的同向可乘性

00a b ac bd c d >>⎫

⇒>⎬>>⎭

3．不等式的解法

一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)．若Δ>0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间．

[例1] (1)(2012年高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：

① c a >c

b

；②a c log a (b －c )．

其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③

(2)(2012年高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )

∵a >b >1，∴1a <1

b .

又c <0，∴ c a > c

b ，故①正确．

构造函数y ＝x c .

∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数． 又a >b >1，∴a c b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1. ∵a >b >1，

∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． (2)通过值域求a ，b 的关系是关键．

由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋a

2

)2＋b－

a2

4

.

∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－

a2

4

＝0，即b＝

a2

4

.

∴f(x)＝(x＋

a

2

)2.

又∵f(x)

a

2

)2

即－

a

2

－c

a

2

＋c.

∴

2

6

2

a

c m

a

c m

⎧

--=

⎪⎪

⎨

⎪-+=+

⎪⎩

解得26

c=，∴9

c=

[答案](1)D (2)9

跟踪训练

(2012年高考福建卷)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：利用“三个二次”之间的关系．

∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，

∴Δ＝a2－4×2a<0，

∴0

答案：(0，8)

类型二线性规划

求目标函数最值的一般步骤

(1)作出可行域；

(2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值．

[例2] (2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )

A．(1－32) B．(0，2)

C．

(3－1，2) D

．(0，1＋3)

[解析]利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．

如图，

根据题意得C(1＋3，2)．

作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，

过点B(1，3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2

∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2)．

[答案] A

跟踪训练

(2012年泰安高三模考)设变量x，y满足约束条件

4312

x

y

x y

≥

⎧

⎪

≥

⎨

⎪+≤

⎩

，则z＝

1

1

y

x

+

+

的取值范围是

( )

A．[0，4] B．[1

4

，5]

C．[5

4

，6] D．[2，10]

解析：

1

1

y

x

+

+

表示过点(x，y)与点(－1，－1)的直线的斜率．

根据题意，作出可行域，如图所示，

由图知

11y x ++的最小值是101134--=--，最大值是14

510

--=--，故选B. 答案：B

类型三 均值不等式的应用 1. 222a b ab +≥（,a b ∈R ） 2.

2

a b

ab +≥（,a b ∈R +） 3. 2

2a b ab +⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

（,a b ∈R ）

4. 22222a b a b ab

ab a b

++≥≥≥

+（,a b ∈R +） [例3] (2012年高考浙江卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A. 245 B.285

C ．5

D ．6

[解析] 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．

∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15(1y ＋3

x

)＝1.

∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )(1y ＋3x )＝15(3x y ＋4＋9＋12y

x )

＝135＋15(3x y ＋12y x )≥135＋1

5

×23x y ·12y x

＝5

(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.

[答案] C

跟踪训练