理科周末练习题：计数原理、排列组合(带解析)

计数原理专题复习（二）排列与组合——实验中学课后作业一、选择题1．若A2n＝132，则n等于()A．11 B．12C．13 D．14答案 B解析因为A2n＝132，所以n(n－1)＝132，n2－n－132＝0，所以n＝12或n＝－11(舍去)．2．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有()A．A34种B．A33A13种C．C24A33种D．C14C13A33种答案 C解析先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C24A33种．3．某市正在建设最具幸福感城市，原计划修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为() A．4 B．8 C．6 D．12答案 C解析利用间接法，任选中间5个的2个，再减去相邻的4个，故有C25－4＝6(种)，故选C.4．2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有()答案 C解析 根据题意，分3步进行分析：①队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；②甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A 22＝2(种)情况；③将甲、乙整体与其余3人进行全排列，有A 44＝24(种)情况．则满足要求的排法有2×2×24＝96(种)． 故选C.5．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( ) A ．30 B ．60 C ．120 D ．240 答案 B解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有C 24C 22A 22种，再将余下的6人平均分成两组，有C 36C 33A 22种，然后这四个组自由搭配还有A 22种，故最终分配方法有C 24C 36A 22＝60(种)．6．在某次针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有( ) A ．180种 B ．220种 C ．260种 D ．320种 答案 C解析 若3人中有2名中国记者和1名国外记者，则不同的提问方式的种数是C 25C 14A 22＝80，若3人中有1名中国记者和2名国外记者，则不同的提问方式的种数是C 15C 24A 33＝180，故所有不同的提问方式的种数是80＋180＝260，故选C.7．某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法( )答案 C解析①P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大人，有A33＝6(种)情况．②P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大人，有A33×A22＝12(种)情况．③P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩共有C23×2＝6(种)情况．④P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C13＝3(种)情况，则共有6＋12＋6＋3＝27(种)情况．8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同发言顺序的排法种数为()A．360 B．520 C．600 D．720答案 C解析根据题意，可分两种情况讨论：①甲、乙两人中只有一人参加，有C12·C35·A44＝480(种)情况；②甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240(种)情况，其中甲、乙两人的发言相邻的情况有C22·C25·A33·A22＝120(种)．故不同发言顺序的排法种数为480＋240－120＝600.二、填空题9．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答)答案36解析由题意得，不同的乘坐方式有C23C24A22＝36种．10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．答案126解析按从事司机工作的人数进行分类：①有1人从事司机工作：C13C24A33＝108(种)；②有2人从事司机工作：C23·A33＝18(种)．∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.11．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．答案12解析从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C46种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C46－3＝12(个)四面体．12．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．答案8解析首先排两个奇数1,3，有A22种排法，再在2,4中取一个数放在1,3之间，有C12种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.13．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________．答案 1 560解析先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．若4个组的人数按3,1,1,1分配，则不同的分配方案有C36C13C12C11A33＝20(种)．若4个组的人数为2,2,1,1，则不同的分配方案有C26C242！×C122！＝45(种)．故所有分组方法共有20＋45＝65(种)．再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65A44＝1 560(种)．三、解答题14．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？解(1)有A55＝120(种)不同的方法．(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有A22A22A23＝24(种)不同的方法．(3)按人数分配方式分类：①3,1,1，有C35C12C11A22A33＝60(种)方法；②2,2,1，有C25C23A22A33＝90(种)方法．故共有60＋90＝150(种)分配方法．15．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？解本题分两种情况讨论．(1)如果4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有C24A22A22＝24(种)不同的情况．(2)如果4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有C12C24C22＝12(种)不同的情况．综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．16．(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．解(1)将组成的三位数中所有偶数分为两类，①若个位数为0，则共有A24＝12(个)；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)．故共有30个符合题意的三位数．(2)将这些“凹数”分为三类：①若十位上的数字为0，则共有A24＝12(个)；②若十位上的数字为1，则共有A23＝6(个)；③若十位上的数字为2，则共有A22＝2(个)．故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”．(3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有A22A33＝12(个)；②若两个奇数数字在千位上和十位上，则共有A22A12A22＝8(个)；③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有A22A12A22＝8(个)．故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数．。

专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、考点45 中难某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( )A.715B.815C.115D.4152、考点45 中难某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( )A. 11 26B. 9 26C. 11 52D. 9 523、考点45 中难某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.7204、考点45 中难一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6B.12C.36D.725、考点45 中难某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )A.360种B.432种C.456种D.480种 6、考点45 难2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( )A.5040B.4800C.3720D.4920 7、考点46 易24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．248、考点46 易 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则=8a （ ）A.-180B.180C.45D.-45 9、考点46 易9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）A ．-1B ．1C ．-512D ．51210、考点46 中难已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-111、考点46 中难在二项式1121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,系数最大的项为( )A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项或第七项 12、考点46 中难332除以9的余数是( )A.1B.2C.4D.8第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届二轮（理科数学）计数原理、排列组合(基础) 专题卷（全国通用）1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( )(A)50个 (B)45个 (C)36个 (D)35个2．某商场共有4个门，若从一个门进另一个门出，不同走法的种数是( )(A)4 (B)7 (C)12 (D)163．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种4．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有()A．2 680种B．4 320种C．4 920种D．5 140种5．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为()A．80 B．120C．140 D．506．研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D实验，下午不能做E实验，则不同的安排方式共有()A．144种B．192种C．216种D．264种7．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()3 4A．4 B．6C．9 D．128．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )(A)60种 (B)70种 (C)80种 (D)120种9.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为()A．180 B．240C．360 D．42010．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有________个．11．5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆，宾馆有3间客房可选，一间客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有______种(用数字作答)．12．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________种．13．某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)，则从A点走到B点最短的走法有______种.14．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？15．山东鲁能、上海申花、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2011年亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官员不能到同一家俱乐部，共有多少种不同的安排方法？16．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A ，B 必须当选； (2)A ，B 必不当选； (3)A ，B 不全当选； (4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．【参考答案】 1．【答案】选C.【解析】根据题意个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个). 2．【答案】选C.【解析】要完成这件事有两个步骤：第一步进门有4种方法；第二步出门有3种方法，两步全部完成才能完成这件事，所以完成这件事共有4×3=12(种)方法. 3．【答案】选C.【解析】若选甲、乙二人，包括甲操作A 车床，乙操作B 车床，或甲操作B 车床，乙操作A 车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B 车床，丙操作A 车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B 车床，丙操作A 车床这一种选派方法，故共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法． 4．【答案】选B.【解析】先将7盆花全排列，共有A 77种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有34345A A 种，故所求摆放方法有734734-5A A A ＝4 320种． 5．【答案】选A.【解析】当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有3152C C ＝20种不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有3253C C ＝30种不同的分配方案； 当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有2153C C ＝30种不同的分配方案． 故共有20＋30＋30＝80种不同的分配方案． 6．【答案】选D【解析】根据题意得，上午要做的实验是A ，B ，C ，E ，下午要做的实验是A ，B ，C ，D ，且上午做了A ，B ，C 实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E 实验，其余三人分别做A ，B ，C 实验，有1343C A ＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午选E 实验的同学下午选D 实验，另三位同学对A ，B ，C 实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N 1＝1×2＝2种；②上午选E 实验的同学下午选A ，B ，C 实验之一，另外三位从剩下的两项和D 一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N 2＝13C ·3＝9种，于是，不同的安排方式共有N ＝24×(2＋9)＝264种． 7．【答案】选B【解析】如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a ，c 位置，8只能在b ，d 位置，依(a ，b ，c ，d )顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.8．【答案】选D.【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资一个项目，共有35A 种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有211354C A A g g 种方案.由分类加法计数原理得共有 32115354A C A A =120种方案.9．【答案】选D【解析】本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种栽种方案，再种区域2，有4种栽种方案，接着种区域3，有3种栽种方案，种区域4时应注意：区域2与4种同色花时，区域4有1种栽种方案，此时区域5有3种栽种方案；区域2与4种不同色花时，区域4有2种栽种方案，此时区域5有2种栽种方案，故共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种栽种方案． 10．【答案】18．【解析】由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步：确定谁被使用2次，有3种方法；第二步：把这2个相等的数字放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步：将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数． 11．【答案】20．【解析】由题意可知，5人入住的两间客房为一间3人间和一间2人间，则所求的不同方法有3152C C ＝20种．12．【答案】240．【解析】先从6双手套中任取一双，有16C 种取法，再从其余手套中任取2只，有210C 种取法，其中取到一双同色手套的取法有C 15种．故总的取法有16C (21105-C C )＝240种． 13．【答案】210.【解析】每条东西向街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段是走南北方向的)，共有 641010C C =210(种)走法.14．【解析】由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18种；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种， 此时共有1×2＝2种；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20种选法．15．【解析】法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：(1)甲乙两人都单独去一个俱乐部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两人组成一组，与其他三人组成四个组进行全排列，则不同的安排方法有2434C A ＝3×24＝72(种)；(2)甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有114234C C A ＝2×3×24＝144(种)．所以不同的安排方法共有72＋144＝216种．法二：如果甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有2454C A ＝10×24＝240种；而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有2424C A ＝24种．所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有240－24＝216种．16．【解析】(1)由于A ，B 必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有310C ＝120(种)．(2)从除去的A ，B 两人的10人中选5人即可， ∴有510C ＝252(种)． (3)全部选法有512C 种， A ，B 全当选有310C 种，故A ，B 不全当选有512C －310C ＝672种．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行， ∴有512C －1457C C －57C ＝596(种)． (5)分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务为1175C C ； 第二步：选2男1女补足5人有2164C C 种； 第三步：为这3人安排工作有33A .C C C C A＝12 600(种)由分步乘法计数原理共有1121375643。

计数原理（排列组合）插空法，挡板法，捆绑法，优选法，平均分配问题等例题精选+练习一、挡板法（插板法、隔板法、插刀法）将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为挡板法。

(1)例题解读【例1】共有10完全相同的球分到5个盒里，每个盒至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用4个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的5份，每个盒子依次按盒子序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个、5个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了5个班中。

【基本题型的变形（一）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。

对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35 B．28 C．21 D．45解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C （10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。

【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。