高数习题册答案1-1

习题1.1A（P15）提示（仅供参考）

1．用定义（0n语言）证明：

（1）1lim1nn

证明：111nnn，故对0，欲使11nn，只需1n，即1n。

故对0，取01max,1n（注意：不能写成01max,1n，以下几个类似），当0nn时有

11nn

故1lim1nn

（2）sinlim0n

证明：sin10nn，故对0，欲使sin0n，只需1n，即1n。

故对0，取01max,1n，当0nn时有

sin0n

故sinlim0n

（3）2211lim22nn

证明：222111222nnn，故对0，欲使221122nn，只需212n，

即12n。故对0，取01max,12n当0nn时有

221122nn

故2211lim22nn

（4）1lim011n

证明：11011nn，故对0，欲使1011n，只需1n，

即21n。故对0，取021max,1n当0nn时有

1011n

故1lim011n

（5）!lim0nnn

证明：!1210nnnnnnnn，故对0，欲使!0nnn，只需1n，即1n。

故对0，取01max,1n当0nn时有

!0nnn

故!lim0nnn

（注意：若用夹逼法：!10nnnn）

（6）lim00!naan

证明：0!1211naaaaaaanaann，注意到1,111aaan，故

10!anaann，，欲使0!nan，只需1aan，即1aan。

故对0，取10max,1aan当0nn时有

0!nan

故lim00!naan

（注意：若用夹逼法：10!anaann）

2．证明：limnaa的充分必要条件是对0，只有na的有限多项不在

,aa中。

证明：（必要性）若limnaa，则0，0nN， 0nn时有naa，故至多有0n项在不再,aa中。

（充分性）对0，只有na的有限多项不在,aa中，不妨设不在

,aa中项为12,,knnnaaa，取012max,,knnnn（即取不在

,aa中项脚标的最大者，故当0nn时有naa，即limnaa。

4.证明若limnaa，则limnaa。反之不一定，举例说明。但若lim0na，则有lim0na

证明：由 limnaa，有对0，1nN，1nn时有naa，

故对0，取01nn 0nn时有nnaaaa，故limnaa。

反之不一定，例数列(1)n。

由lim0na，有对0，1nN，1nn时有0na。

故对0，取01nn 0nn时有00nnaa，故lim0na

5：证明 设0na，limnaa，证明limnaa

5：证明 设0na，limnaa，证明limnaa

证明 若0a，

由 lim0na，有对0，1nN，1nn时有

20na

故对0，取01nn ，当0nn时有

0na

故

lim0naa

若0a，则由极限的保号性得0a。

由 limnaa，有对0，2nN，2nn时有naaa

故对0，取02nn ，当0nn时有

nnnnaaaaaaaaa

故

limnaa

6证明：若lim0na，nb有界，则lim0nnab

证明：nb有界，故可设nbM

由lim0na，有对0，1nN，1nn时有0nnaaM

故对0，取01nn 当0nn时有0nnnabMa，故lim0nnab。

7．若lim0nnab是否一定有lim0na或lim0nb。

解：否。例sin2nna，cos2nnb

8（1）设2ka，21ka均收敛，问na是否必然收敛。

解：否，例(1)n。

（2）设2ka，21ka满足221limlimkkkkaaa，则limnnaa。

证明：由2limkkaa，则有对0，1kN，1kk时有2kaa

21limkkaa，则有对0，2kN，2kk时有21kaa

故对0，取012max221nkk，（注意0n不能取12maxkk，，当0nn时有naa，故limnnaa。

（3）设1lim0nnnaa，2ka，21ka收敛，这时能否保证na一定收敛？

解：能。不妨设21limkkaa，由1lim0nnnaa有212lim0kknaa，故

221212limlimkkkkkkaaaa21212limlimkkkkkaaaa

即221limlimkkkkaaa，故由8（2）na一定收敛.

9证明：若单调数列na有收敛子列，则na

证明：不妨设na是单调增的。设子列kna（也是单调增的）收敛于a，

从而对0，0kN，0kk时有knaa

对0，取00knn，当0nn时有naa，故limnnaa

10.求极限

（1）22452lim322nnnn

解22452lim321nnnn225244lim2133nnnn

(2) lim1nnn

解lim1nnnlim1nnn11lim2111n

(3) 41lim11nn

解：41lim11nn4111lim1nn

324444324441111111111lim11111111nnnnnnnn

（公式1221()()nnnnnnababaababb

4432444111lim11111111nnnnn3244411lim41111111nnn

(4) 22233313(21)limnnnn

解：6)12)(1(21222nnnn ， 6)14)(12(2)2(21222nnnn

6)12)(1(4)21(4)2(42222222nnnnn

222222222)2(42()2(21)12(31nnn

6)12)(1(46)14)(12(2nnnnnn

故22233313(21)limnnnn32(21)(41)4(1)(21)466lim3nnnnnnn

（5）112lim(1)(1)(1)36(1)nn

解 由 )1()2)(1()1(21nnnnnn，有112(1)(1)(1)36(1)nann

142536(2)(1)(1)(2)2233445(1)(1)3nnnnnnnnnn

11221lim(1)(1)(1)lim36(1)33nnnn

（6）222111lim11123n

解 由22)1)(1(11nnnn，有22222222111132435(2)(1)(1)111123234(1)2nnnnnnannnn

22211111lim111lim2322nnn

（7）11lim123(1)nnn

解11lim123(1)nnn1(1)lim2nnn 1(1)1lim222nn

11求下列极限（夹逼法）

(1) 2lim1nnn

解 22113nnnnn，又2lim3lim3limlim1nnnnnnn，故2lim11nnn

（2）见学习辅导“例12（2）”

（3）222limsin1sin2sinnn

解 2222sin1sin1sin2sinnnnnn，又2limsin11limnnn

222limsin1sin2sin1nn

（4）22212lim12nnnnnnnn

解2222211(1)(1)1222121nnnnnnnnnnnnnnnnn，