第二节 杆件的基本变形与组合变形
一、轴向拉伸与压缩
1．轴力与轴向变形
轴向拉（压）杆件横截面上的内力只有轴力，轴力可采用截面法求得。轴力的正负号一般规定为：拉力为正，压力为负。轴力沿杆轴方向的变化采用轴力图表示。
依据平面假设，轴向拉（压）杆件的变形沿整个横截面是均匀的，因而应力在横截面上也是均匀分布的（图 3-8）。横截面上应力的计算式为：
式中
N 一轴力；
A ― 横截面面积。
在弹性变形范围内，轴向拉（压）杆的伸长（缩短）量与杆所受轴力、杆的长度成正比，与杆的抗拉（压）刚度 EA 成反比，即
【例3-4】计算图 3-9（a）时所示轴向受力杆件的内力，作出内力图，并判断整个杆件的变形是伸长还是缩短。 E A=常数。
在BC段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图 3-9b ) ，由平衡条件
可得：
同理，在 AB 段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图3 -9c），由平衡条件
可得
因整个杆件的 EA=常数， AB 段的杆长虽为 BC 段的一半，但其所受的拉力为 BC 段的 3 . 5 /
1 . 5 ≈ 2 . 3 倍，因此 AB 段的伸长量大于 BC 段的缩短量，整个杆件的变形是伸长的。
2．温度改变的影响
自然界中的物体普遍存在热胀冷缩的现象，杆件结构也是一样。例如图 3 -10 ( a ）所示的杆件，若其温度升高Δt，因没有多余约束（即为静定），故杆件可以自由地伸缩，并不会产生内力或反力。
在温度改变作用下，杆件的伸长量 △l 与杆长 l及温度改变量△t 成正比，即：
式中α——材料的线膨胀系数。
对于图 3 一 10 ( b ）的杆件，若温度升高△t，由于杆件两端固定（即为超静定），阻止了杆件的自由伸缩，这样杆内将产生温度应力。显然，如果该杆温度升高（△t＞ 0 ) ，则杆内将产生压力；若温度降低（ △ t < 0 ） ，则杆内将产生拉力。
二、剪切
1 轴向拉伸与压缩时横截面上应力与变形计算
教学目的 掌握轴向拉伸和压缩时的应力和变形计算。
教学安排 组织教学
讲述新课
三、拉（压）杆横截面上的应力
1、应力的概念 杆件的强度不仅与轴力的大小有关，还与横截面面积的大小有关，即取决于内力在横截面上分布的密集程度。所以把内力在横截面上的密集程度称为应力。其中垂直于截面的应力称为正应力，用σ表示；平行于截面的应力称为切应力，用τ表示。
2、拉（压）杆横截面的应力 根据材料的均匀连续性假设可推知，横截面上各点处的变形相同，受力也相同，即轴力在横截面上均匀分布的，且方向垂直于横截面，即杆件横截面存在有正应力σ。其计算式为
σ＝AFN
3、应用举例
四、拉（压）杆的变形计算
1、变形与线应变
纵向线应变 ε＝ll＝lll1
横向线应变 ＝bb＝bbb1
实践表面，当杆内应力不超过某一限度时，横向线应变与纵向线应变的比值为一常数，常称为泊松比，用符号μ表示。即
或
2、虎克定理
l＝EAlFN 或 σ＝Eε
当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。
3、拉（压）杆的变形计算 应用虎克定理时，要注意它们的适用条件：应力不超过某一极限值，这一极限值是指材料的比例极限，同时要注意分段计算。
4、应用举例
2 作业 P105：25、26
轴向拉伸与压缩习题及解答
一、判断改错
1、构件内力的大小不但与外力大小有关，还与材料的截面形状有关。
答：错。 静定构件内力的大小之与外力的大小有关，与材料的截面无关。
2、杆件的某横截面上，若各点的正应力均为零，则该截面上的轴力为零。
答：对。
3、两根材料、长度都相同的等直柱子，一根的横截面积为1A，另一根为2A，且21AA。如图所示。两杆都受自重作用。则两杆最大压应力相等，最大压缩量也相等。
答：对。 自重作用时，最大压应力在两杆底端，即maxmaxNAllAA
也就是说，最大应力与面积无关，只与杆长有关。所以两者的最大压应力相等。
最大压缩量为 2maxmax22NAllllAEAE
即最大压缩量与面积无关，只与杆长有关。所以两杆的最大压缩量也相等。
4、受集中力轴向拉伸的等直杆，在变形中任意两个横截面一定保持平行。所以宗乡纤维的伸长量都相等，从而在横截面上的内力是均匀分布的。
答：错 。在变形中，离开荷载作用处较远的两个横截面才保持平行，在荷载作用处，横截面不再保持平面，纵向纤维伸长不相等，应力分布复杂，不是均匀分布的。
5、若受力物体内某电测得x和y方向都有线应变x和y，则x和y方向肯定有正应力x和y。
答：错， 不一定。由于横向效应作用，轴在x方向受拉（压），则有x；y方向不受力，但横向效应使y方向产生线应变，yx。 l
A2 A1
(a) (b)
二、填空题
1、轴向拉伸的等直杆，杆内的任一点处最大剪应力的方向与轴线成（45o）
2、受轴向拉伸的等直杆，在变形后其体积将（增大）
3、低碳钢经过冷做硬化处理后，它的（比例）极限得到了明显的提高。
4、工程上通常把延伸率（5%）的材料成为塑性材料。
5、 一空心圆截面直杆，其内、外径之比为0.8，两端承受力力作用，如将内外径增加一倍，则其抗拉刚度将是原来的（4）倍。
第七章 轴向拉伸和压缩
一、内容提要
轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念
1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。它通过截面形心，与横截面相垂直。拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。与截面相垂直的分量称为正应力，与截面相切的分量称为切应力。轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算
1. 轴向拉（压）杆的轴力计算
求轴力的基本方法是截面法。用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算
任一截面的应力计算公式 AFN
等直杆的最大应力计算公式 AFmaxNmax
3. 轴向拉（压）杆的变形计算
虎克定律 AElFlNE或
虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 '
4. 轴向拉（压）杆的强度计算
强度条件
塑性材料： max≤[]
