甘肃省永昌县第一中学高三数学一轮复习《8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系》课时训练

(4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC. (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面． 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2．空间四点中，三点共线是这四点共面的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 答案 A
D．既不充分也不必要条件
3．已知直线 a，b，c，有下面四个命题： ①若 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面； ②若 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交； ③若 a∥b，则 a，b 与 c 所成的角相等； ④若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c. 其中真命题的序号是________．
(3)线面的位置关系： 直线 l 在平面 α 内记作 l⊂α，直线 l 不在平面 α 内记作 l⊄ α． (4)平面 α 与平面 β 相交于直线 a，记作 α∩β＝a． (5)直线 l 与平面 α 相交于点 A，记作 l∩α＝A． (6)直线 a 与直线 b 相交于点 A，记作 a∩b＝A．
直线与直线的位置关系
解析 (1)不是异面直线．理由：连接 MN，A1C1，AC. ∵M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点，∴MN∥A1C1. 又∵A1A 綊 C1C，∴A1ACC1 为平行四边形．
∴A1C1∥AC，得到 MN∥AC. ∴A，M，N，C 在同一平面内． 故 AM 和 CN 不是异面直线．
(2)是异面直线．理由： ∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体， ∴B，C，C1，D1 不共面． 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线， 则存在平面 α，使 D1B⊂平面 α，CC1⊂ 平面 α. ∴D1，B，C，C1∈α. ∴与 ABCD－A1B1C1D1 是正方体矛盾． ∴假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线．

学习资料8。

3空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识预案自诊知识梳理1。

平面的基本性质2。

空间点、直线、平面之间的位置关系图形语言符图形语言符续表或3。

异面直线所成的角(1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a'∥a，b'∥b，把a’与b'所成的叫做异面直线a与b所成的角.].(2)范围:(0,π24.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

1.公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

2。

异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线。

3.唯一性定理(1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

(2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.（1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面α，β有一个公共点A,就说α,β相交于A点，记作α∩β=A.（）（3)已知a，b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线。

（）（4）两个不重合的平面α,β有一条公共直线a，就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.（）（5）若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线.()2.下列命题正确的个数为(）①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A.0 B。

1 C。

2 D。

33.(2020浙江，6）已知空间中不过同一点的三条直线l,m，n。

§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系考纲展示► 1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．考点1 平面的基本性质及应用平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过________的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条________直线有且只有一个平面；推论3：经过两条________直线有且只有一个平面．(1)[教材习题改编]直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为( )A．1 B．3C．6 D．0(2)[教材习题改编]两两相交的三条直线最多可确定________个平面．判断点共线、线共点问题：直接法(直接运用公理或定理)．(1)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC＝12AD，BE＝12FA，G，H分别为FA，FD的中点．①四边形BCHG 的形状是________；②点C ，D ，E ，F ，G 中，能共面的四点是________．(2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 与BD 交于点M ，则点O 与直线C 1M 的关系是________．[典题1] (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)已知空间四边形ABCD (如图所示)， E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：①E ，F ，G ，H 四点共面； ②三直线FH ，EG ，AC 共点．[点石成金] 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．考点2 空间两直线的位置关系(1)[教材习题改编]已知直线a与b平行，直线c与b相交，则直线a与c的位置关系是________．(2)[教材习题改编]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AQ的公垂线，则直线PQ与BD1的位置关系为________．(填序号)①平行；②异面；③相交但不垂直；④垂直．两条直线关系判断误区：异面直线概念、理解不透．下列关于异面直线的说法正确的是________．①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．[考情聚焦] 空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容，并且常作为某一选项来考查，其中异面直线及平行关系是考查的重点．主要有以下几个命题角度：角度一两直线位置关系的判定[典题2] (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2) [2019·浙江余姚模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行[点石成金] 点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．角度二异面直线的判定[典题3] (1)在下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)①②③④(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．[点石成金] 异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．考点3 异面直线所成角[典题4] 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB ＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45[题点发散1] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，问题不变．[题点发散2] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910”，试求AA1AB的值．[题点发散3] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，则是否存在过顶点A的直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等．若存在，存在几条？若不存在，请说明理由．[点石成金] 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小．[方法技巧] 1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．2．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．3．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．4．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关．[易错防范] 1.异面直线是“不同在任何一个平面内”的直线，不要理解成“不在同一个平面内”．2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．3．两条异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.4．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．真题演练集训1．[2019·重庆模拟]平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.132．[2018·安徽模拟]已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面3．[2018·辽宁模拟]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4. [2018·浙江模拟]如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．课外拓展阅读构造平面研究直线相交问题[典例1] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．温馨提示1．本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大．2．注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．。

判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四部分. (×) (2)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记 作α∩β=a. (√) (3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线. (×) (4)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,并记作α∩β=A. (×) (5)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. (×) (6)经过两条相交直线,有且只有一个平面. (√) (7)如果直线a与b没有公共点,则a与b是异面直线. (×)
∴B为MA的中点.
∵BC∥AD且BC= 1 AD,
2
∴B为AM'的中点.
∴M与M'重合. 即EF与CD相交于点M(M'), ∴C、D、F、E四点共面.
考点二 空间两直线的位置关系 命题角度一 两直线位置关系的判定 典例2 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的 中点,在原正四面体中,
1.下列命题: ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 对于①,未强调三点不共线,故①错误;易知②③正确;对于④, 未强调三点不共线,若三点共线,则两平面也可能相交,故④错误.故选C.
(ii)范围:

0
, 2

.
3.有关角的重要定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补 .
4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 相交 、 平行 、 直线在平面内 三种情况. (2)平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况.