人教高中数学必修二B版 《指数函数与对数函数的关系》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件

4.3指数函数与对数函数的关系课后篇巩固提升夯实基础1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2xB.C.lo xD.2x-2y=a x(a>0,且a≠1)的反函数f(x)=log a x,又f(2)=1,即log a2=1,所以a=2,故f(x)=log2x. 2.(多选)函数y=1+a x(a>0且a≠1)的反函数的图像可能是()y=1+a x的图像,由反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称可画出反函数的图像.3.设f(x)=-的图像与g(x)的图像关于直线y=x对称,则g(x+2)等于()A.1+B.1+-C.1-D.1-f(x)的图像与g(x)的图像关于直线y=x对称,∴g(x)是函数f(x)的反函数.又∵f(x)=-,∴g(x)=-.用x+2替换g(x)中的x,可求出g(x+2)=-=1+.故选A.4.设a,b,c均为正数,且2a=lo a,=lo b,=log2c,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c:由函数y=2x,y=,y=log2x,y=lo x的图像(如图)知,0<a<b<1<c,故选A.方法二:∵a>0,∴2a>1.∴lo a>1.∴0<a<.又∵b>0,∴0<<1.∴0<lo b<1.∴<b<1.又∵c>0,∴0<<1.∴0<log2c<1.∴1<c<2.∴0<a<<b<1<c.5.已知a>0,且a≠1,f(x)=a x,g(x)=log a x,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是()f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即log a2<0,∴0<a<1.∴f(x)是减函数,且g(x)是减函数.故选C.6.已知函数y=a x+b的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a=,b=.1y=a x+b的图像过点(1,4),得a+b=4;由反函数的图像过点(2,0),得原函数图像必过点(0,2),得a0+b=2,因此a=3,b=1.7.函数y=的反函数是.-x<0时,y=x+1的反函数是y=x-1,x<1;当x≥ 时,y=e x的反函数是y=ln x,x≥ .故原函数的反函数为y=-8.已知函数f(x)与函数g(x)=lo x的图像关于直线y=x对称,则函数f(x2+2x)的单调增区间是.-∞,-1]f(x)=,f(x2+2x)=,∵f(x)在R上是减函数,∴由复合函数同增异减的原则知,所求函数的单调增区间即为t=x2+2x的单调减区间,即(-∞,-1].能力提升1.求出下列函数的反函数.(1)y=lo x;(2)y=;(3)y=πx;(4)y=--对数函数y=lo x的底数为,所以它的反函数是指数函数y=.(2)指数函数y=的反函数是对数函数y=lo x.(3)指数函数y=πx的反函数为对数函数y=logπx.(4)①当x∈[-1,0)时,y∈(0,1],此时x=-,得原函数的反函数是y=-,x∈(0,1];②当x∈[0,1]时,y=x2-1,y∈[-1,0],x=,得原函数的反函数是y=,x∈[-1,0].∴函数y=--的反函数为y=-∈∈-2.已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).解方程f(2x)=f-1(x).y=log a(a x-1),则a y=a x-1,∴x=log a(a y+1).∴f-1(x)=log a(a x+1).由f(2x)=f-1(x),得log a(a2x-1)=log a(a x+1), ∴a2x-1=a x+1,解得a x=2或a x=-1(舍去),∴x=log a2.。

【补偿训练】
判断下列函数是否存在反函数.
(1)y= 1 -2.(2)y=-2x2+4x,x∈(1,+∞).
x 1
【解析】(1)y= 1 -2是由函数y= 1 向左平移1个单位,向下平移2个单位得到,
x 1
x
在(-∞,-1),(-1,+∞)上是减函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x
值与之对应,所以函数存在反函数.
关键能力·合作学习
类型一 判断函数是否有反函数(逻辑推理)
【题组训练】
1.下列函数中,存在反函数的是
()
2.判断下列函数是否有反函数.
(1)f(x)= x 1 ;(2)g(x)=x2-2x.
x 1
【解题策略】 判定函数存在反函数的方法 (1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值,如果都是唯一的,则函数的反 函数存在. (2)确定函数在定义域上的单调性,如果函数是单调函数,则函数的反函数存在. (3)利用原函数的解析式,解出自变量x,如果x是唯一的,则函数的反函数存在.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)一定有反函数.
()
(2)反比例函数y= 1 (x≠0)一定有反函数.
x
()
(3)点(1,0)一定在指数函数y=ax反函数的图像上.
()
提示:(1)√.一次函数y=kx+b(k≠0)一定是单调函数,因此一定有反函数.
①同底的指数函数与对数函数互为反函数,图像关于直线y=x对称. ②指数函数与对数函数的关系如表:
一般 形式
指数函数 y=ax(a>0,且a≠1)
对数函数 y=logax(a>0,且

点 （ ）A、（1，2） B、(2, 1)
C、
1,
1 2

D、

1 2
,1
4、若
f
(
x)

x
x
2
，则
f
1
(
1) 3

(二): 指、对数函数的比较分析
（1)增长的差异：
根据图像分析，可以得到，在区间[1,+)内，
指数函数y 2x随着x的增长函数值的增长速度
逐渐加快，而函数y log2 x的增长速度逐渐 变得很缓慢.
高中数学课件
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指数函数与对数函数的关系
一.反函数的概念
当一个函数是一一映射时， 可以把这个函数的因变量作为 一个新的函数的自变量，而把 这个函数的自变量作为新的函 数的因变量，我们称这两个函 数互为反函数.
注： (1)函数y=f(x)的反 函数通常用y=f -1(x)表示. (2)函数y=f(x)与函数 y=f -1(x)互为反函数.
例1 写出下列对数函数的反函数:
(1)y =lgx; 2y log 1 x.
3
解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是 10 它的反函数是指数函数 y=10x
(2)对数函数 y log 1 x, 它的底数是 1
3
它的反函数是指数函数y


1

x
.
3
3
求 反 函 数 的 步 骤 ： 由 y f (x) 解 出 x f 1(y) ，注意由原函数定义域确定单
指数函数y=ax与对数函数x=loga y(a>0,a≠1)有什么关系?
函 数 自变量 因变量 定义域 值 域

一般地，如果在函数y ＝f( x )中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函-数1，这个函数称为y ＝f( x )的反函数.
解：因为f( x)= 2x+2的是增函数，
例3. 判断f( x)= 2x+2的反函数是否存在，如 果不存在，说明理由；如果存在，写出反函 数)f -1( x)的解析式，并在同一平面直角坐标 系中作出f( x)与f -1( x)的函数图像.
如果存在，请写出反函数.
指数函数与对数函数的关系 高一年级 数学
由于反函数的定义域为{ x | x≠2 },
因此可知函数f (x)的值域为{ y | y≠2 }.
分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，请说明理由；
因此可知函数f 值域中任意一个y值，都只有唯一的x与之对应， (x)的值域为{ y | y≠2 }.
反函数的概念及函数具有反函数的条件：给定值域中
分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，请说明理由；
对数函数y ＝loga x
（2）从 x＝f( y )中解出y，得到y ＝f -1( x );
（1）
（2） 3.函数的定义域是其反函数的值域；
函数的值域是其反函数的定义域;
函数与反函数有相同的奇偶性和单调性.
（1）
（2）
（2）从 x＝f( y )中解出y，得到y ＝f ( x ); 由于反函数的定义域为{ x | x≠2 },
（3）检查是否需要补充y ＝f -1( x )的定义域.
-1
值域中任意一个y值，都只有唯一的x与之对应，
对数函数y ＝logax( a > 0 ,且 a ≠ 1 ).
（3）检查是否需要补充y ＝f ( x )的定义域. 如果存在，写出反函数f -1( x)的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f( x)与f -1( x)函数图像.