三角形的五心几何性质
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三角形的五心几何性质
一．重心 三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二．垂心 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。
1、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
2、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
垂心的坐标
A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心H(x0,y0)
用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2 Kah=y1-y0/x1-x0 Kah=-1/Kbc
得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)
同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)
解出x0,y0即可， 三．内心 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
1、 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、 O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
3、（内角平分线分三边长度关系）
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R， 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
4、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心坐标是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
法一：
向量法设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c
内心为I（X，Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量）
MA=（X1-X，Y1-Y）
MB=(X2-X,Y2-Y)
MC=(X3-X,Y3-Y)
则：a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0，a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0
∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)
∴I（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）
几何法：
设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，AB=c,BC=a,AC=b,内心为I，AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB与F
由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a
由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1
b/a*(b+c)/b*DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA*a/(b+c)
BD=c/b*DC D ((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b))
(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)
I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)]
Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)]
I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c))
四．外心 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
1、外心到三顶点的距离相等
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
已知A(a,b)B(c,d)C(e,f)求三角形ABC外心坐标（x,y）
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心
外心坐标（x,y）
1)利用半径相等
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(x-c)^2+(y-d)^2=r^2
(x-e)^2+(y-f)^2=r^2
解出x,y
2）利用中垂线交点
AB中垂线
y=(c-a)x/(b-d)+(a^2+b^2-c^2-d^2)/(b-d)
AC中垂线
y=(e-a)x/(b-f)+(a^2+b^2-e^2-f^2)/(b-f)
假设：
m=(c-a)/(b-d), n=(e-a)/(b-f)
p=(a^2+b^2-c^2-d^2)/(b-d)
q=(a^2+b^2-e^2-f^2)/(b-f)
y=mx+p,y=nx+q
外心 [(q-p)/(m-n),(q-p)m/(m-n)+p]
五．旁心 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即旁心。
1、每个三角形都有三个旁心。
2、旁心到三边的距离相等。
