二次函数综合题(线段最大值)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系．还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用．类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边．如图1,已知点A 的坐标为(3, 4),点B 是x 轴正半轴上的一个动点,设OB ＝x ,AB ＝y ,那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理,就可以得到y 关于x 的函数关系式．类型二,图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示,AB ＝5,点O 沿直线EF 翻折后,点O 的对应点D 落在AB 边上,设AD ＝x ,OE ＝y ,那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】【例1】如图①,矩形ABCD 中,2,5,1AB BC BP ===,090MPN ∠=,将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM 交边AB （或AD ）于点E ,PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时,MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②,发现当PM 过点A 时,PN 也恰好过点D ,此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③,在旋转过程中,PEPF的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由； （3）拓展延伸：设AE t =时,EPF ∆的面积为S ,试用含t 的代数式表示S ；①在旋转过程中,若1t =时,求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中,当EPF ∆的面积为4.2时,求对应的t 的值.【例2】如图1,在矩形ABCD 中,AB ＝8,AD ＝10,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且∠DMN ＝∠DAM ,设AM ＝x ,DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使△DMN 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．【例3】抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -,抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D . （1）求出,,a b c 的值；（2）如图1,连接BC ,点P 是线段BC 下方抛物线上的动点,连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴,对称轴l 上,且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时,请求出点P 的坐标及此时AM MN NP ++的最小值；（3）如图2,连接AC ,把AOC ∆按照直线y x =对折,对折后的三角形记为A OC ∆'',把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动,移动后三角形的记为A O C ∆''''',连接DA '',DC '',在移动过程中,是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在,直接写出点C ''的坐标；若不存在,请说明理由.【例4】如图在锐角△ABC 中,BC ＝6,高AD ＝4,两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动(不包含端点),且MN ∥BC,以MN 为边长向下作正方形MPQN,设MN ＝x,正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y ． (1)如图(1),当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时,求x 的值；(2)如图(2),当PQ 落△ABC 外部时,求出y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)并求出x 为何值时y 最大,最大是多少？【例5】如图,抛物线y＝12-x2+mx+m（m＞0）的顶点为A,交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A,与抛物线交于另一点B,证明：AB的长是定值；（3）连接AC,延长AC交x轴于点D,作直线AD关于x轴对称的直线,与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°,求m的值．【例6】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B 点的坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求二次函数解析式；（2）若点Q为抛物线上一点,且S△ABQ＝12S△ACQ,求点Q的坐标；（3）若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M,N（M在N的左边）,P为抛物线上一动点（不与M,N重合）．过P作PH平行于y轴交直线l于点H,若HM HNHP⋅＝5,求m的值．【变式训练】1．如图,抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ,且点B 的横坐标为5,抛物线与y 轴交于点C （0,6）,A 是抛物线的顶点,P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点,则AQ +QP +PB 的最小值为_____．2．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为（4,3）,D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为__________3．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x 轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为(3,3),P 是抛物线2114y x =+上一个动点,则△PMF 周长的最小值是__________.4．如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =16cm ,AD 为BC 边上的高,动点P 从点A 出发,沿A →D 方向以2/s 的速度向点D 运动,过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ,过E 点作EF ⊥BC 于点F ,设△ABP 的面积为S 1,四边形PDFE 的面积为S 2,则点P 在运动过程中,S 1+S 2的最大值为______．5．在平面直角坐标系中,已知()A 2,4、()P 1,0,B 为y 轴上的动点,以AB 为边构造ABC V ,使点C 在x 轴上,BAC 90.M ∠=o 为BC 的中点,则PM 的最小值为______．6．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A,点M 是x 轴上方抛物线上一点,过点M 作MP ⊥x 轴于点P,以MP 为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ 的最大值为_________．7．如图,在平面直角坐标系中,过A （－1,0）、B （3,0）两点的抛物线交y 轴于点C,其顶点为点D,设△ACD 的面积为S 1,△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1︰S 2是一个定值．这个定值为________．8．如图,在平面直角坐标系中,有二次函数23333y x x =--+,顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧）,易证点H 、B 关于直线3:33l y x =+对称,且A 在直线l 上．过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,则HN NM MK ++的最小值为________9．如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -,(4,)B m 两点,且抛物线经过点(5,0)C（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合）,过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ,交直线AB 于点E ．当2PE ED =时,求P 点坐标；（3）如图所示,设抛物线与y 轴交于点F ,在抛物线的第一象限内,是否存在一点Q ,使得四边形OFQC 的面积最大？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由．10．如图,在矩形ABCD 中,AB=18,AD=12,点M 是边AB 的中点,连结DM,DM 与AC 交于点G ,点E,F 分别是CD 与DG 上的点,连结EF,(1)求证：CG=2AG .(2)若DE=6,当以E,F,D 为顶点的三角形与△CDG 相似时,求EF 的长.(3)若点E 从点D 出发,以每秒2个单位的速度向点C 运动,点F 从点G 出发,以每秒1个单位的速度向点D 运动.当一个点到达,另一个随即停止运动.在整个运动过程中,求四边形CEFG 的面积的最小值.11．如图①,抛物线y=a(x 2+2x-3)(a≠0)与x 轴交于点A 和点B,与y 轴交于点C,且OC=OB.(1)直接写出点B 的坐标是( , ),并求抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴是直线l,连接BD,线段OC 上的点E 关于直线l 的对称点E'恰好在线段BD 上,求点E 的坐标；(3)若点F 为抛物线第二象限图象上的一个动点,连接BF,CF,当△BCF 的面积是△ABC 面积的一半时,求此时点F 的坐标.12．如图,抛物线y ＝﹣x 2+mx +2与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为（1,0） （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴l 上找一点P ,使PA +PC 的值最小,求出点P 的坐标 （3）在第二象限内的抛物线上,是否存在点M ,使△MBC 的面积是△ABC 面积的12？若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．13．如图,抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点,直线y=kx+b 经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M （1,2）,且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P（x,y）为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q．求线段PQ的最大值及此时P坐标；（3）在（2）的条件下,求△AQC面积的最大值．14．如图,抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2,2）是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．（3）连接AD并延长,过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴,垂足为N,与射线交于点M,使得QM＝3MN,若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．15．如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=- x2 + 4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).(1)求线段AB 的长.(2)点P 为线段AB ．上方抛物线上的任意一点,过点P 作AB 的垂线交AB 于点H,点F 为y 轴上一点,当∆PBE 的面积最大时,求PH + HF + 12FO 的最小值. (3)在(2)中,PH+HF+12方FO 取得最小值时,将∆CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到∆CF'H',过点F'作CF'的垂线与直线AB 交于点Q,点R 为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S 的坐标,若不存在,请说明理由.16．已知,二次函数24y x x c =-+的图像与x 轴的一个交点为O(0,0),点P （m,0）是x 轴正半轴上的一个动点.（1）如图1,求二次函数的图像与x 轴另一个交点的坐标； （2）如图2,过点P 作x 轴的垂线交直线33y x =与点C,交二次函数图像于点D, ①当PD=2PC 时,求m 的值；如图3,已知A （3,-3）在二次函数图像上,连结AP,求12AP OP +的最小值；(3如图4,在第（2）小题的基础上,作直线OD,作点C关于直线OD的对称点C’,当C’落在坐标轴上时,请直接写出m的值.17．如图1,已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 ),C (0,3 )三点,其顶点为D,对称轴是直线l , l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求∆PBC 周长的最小值；（3）如图2,若 E 是线段AD 上的一个动点（E 与A, D 不重合）,过 E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ,交x 轴于点G ,设点 E 的横坐标为m ,四边形AODF 的面积为S 。

重难点专项突破01二次函数的最值（4种题型）【题型细目表】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径题型二：面积最值问题题型三：最大利润问题题型四：线段最值问题【考点剖析】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径【答案】32π∵OB=OC=3，∴OM⊥BC，∴∠OMC=90°，故答案为①③．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键．的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.4．（浙江杭州·九年级期末）如图，抛物线23y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且(10)A -，．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是对称轴上的一个动点，当ACM △的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）y =x 2-2x -3，（1，-4）；（2）M （1，-2）【分析】（1）把A 的坐标代入函数的解析式，即可求得b 的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；（2）直线BC 与抛物线的对称轴的交点就是使CM +AM 取得最小值的M 的点，BC 的长就是最小值．【详解】解：（1）∵点A （-1，0）在抛物线y =x 2+bx -3上，∴b =-2，∴抛物线解析式y =x 2-2x -3，∵抛物线y =x 2-2x -3=（x -1）2-4，∴顶点D 的坐标（1，-4）；（2）对于y =x 2-2x -3，当x =0时，y =-3，∴C （0，-3），当y =0时，0=x 2-2x -3，解得：x =3或-1，∴B （3，0），由抛物线的性质可知：点A 和B 是对称点，∴连接BC 交函数的对称轴于点M ，此时AM +CM =BC 为最小值，而AC 的长度是常数，故此时△ACM 的周长最小，设直线BC 的表达式为y =mx +n ，则033m n n =+⎧⎨=-⎩，解得：13m n =⎧⎨=-⎩，故直线BC 的表达式为y =x -3，当x =1时，y =-2，故点M （1，-2）．【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC 与抛物线的对称轴的交点就是使CM +AM 取得最小值的M 的点，是本题解题的关键．5．（浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，二次函数图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交与点C ，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D （3，8）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求△ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得BM ＋DM 最短？若存在，求出M 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）2(2)9y x =--+；（2）ABC S = 15；（3）M （2，6）【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D 的坐标代入即可得；（2）求出A ，B ，C 点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；（3）先求出点D 关于对称轴对称的点D '的坐标，从而可得BM ＋DM ＝BM ＋D 'M ，再根据两点之间线段最短可得当点B ，D '，M 在一条直线上时，BM ＋D 'M 最短，然后利用待定系设直线BD'的函数解析式为y＝kx＋b∴M （2，6）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．6．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，已知抛物线25y x mx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(5，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)m =4，顶点坐标为(2，9)(2)P (2，3)【分析】（1）将点(5，0)，代入25y x mx =-++，得其解析式，从而求出m 的值及抛物线的顶点坐标；（2）利用“将军饮马”思路，点A 关于抛物线对称轴l 对称的点是点B ，进而解决问题．【详解】（1）将点（5，0）代入y =﹣x 2+mx +5得，0=﹣25+5m +5，m =4，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+4x +5y =﹣x 2+4x +5=﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA +PC =PC +PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC +PB =BC 为最小值，即为PA +PC 的最小值，由抛物线解析式为()224529y x x x =-++=--+，可得点C 坐标为（0，5），点B 坐标为(5，0)，对称轴l 为x =2，设直线BC 的解释为y =kx +b ，将点C (0，5)，点B (5，0)，代入y =kx +b 得，055k b b =+⎧⎨=⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =﹣x +5，联立方程，(1)求抛物线的解析式及与(2)根据图象回答：当x 取何值时，(3)在抛物线的对称轴上有一动点【答案】(1)2=23y x x --，(2)13x -＜＜(3)(1,0)P 【分析】（1）把(10)A -，，(03)C -，代入2y x bx c =++，利用待定系数法求解b ，c ，再求解点B 的坐标即可得到答案；（2）由0y <，可得抛物线的图像在x 轴的下方，结合图象可得x 的取值范围，从而可得答案；（3）由(10)A -，，(30)B ，关于抛物线的对称轴1x =对称，可得AB 与对称轴的交点满足PA PB +最小，从而可得答案．【详解】（1）把(10)A -，，(03)C -，代入2y x bx c =++，103b c c -+=⎧∴⎨=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为2=23y x x --，由2230x x --=，(3)(1)0x x ∴-+=，123,1,x x ∴==-∴(30)B ，；（2） 抛物线与x 轴交于(10)A -，，(30)B ，，0y <，∴抛物线的图象在x 轴的下方，结合图象可得：13x -＜＜；（3）∵(10)A -，，(30)B ，，∴对称轴是直线1x =，如图，当A 、B 、P 三点共线时，PA PB +的值最小，此时点P 是对称轴与x 轴的交点，即(10)P ，．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．题型二：面积最值问题(1)若1n b =，请完成下表．α30︒45︒72︒l (2)如图3，若60α= ，机器人执行六次指令后回到起点处停止．①若12b =，24b =，3 1.5=b ，43b =，则5b =______，65+=b b ______．②若12b =，24b =，20l =，请直接写出3b 与4b 之间的数量关系，并求出当S 最大时b 【答案】(1)12，8，5(2)①3，5.5；②210+=b b ；3b =3，5．5②如图，构造等边GHI∴344=++GI b b ，634=+-b b b ∵20l =，∴34434246++++-++-b b b b b ∴34210+=b b ，如图：等边三角形边长为a ，高为3sin 602h a a =︒=，∴()(23433444=++-S b b b ∴()224436564S b b =-++=∴当S 最大时，43b =．【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边AE在①求y关于x的函数表达式．②求矩形面积y的最大值．(2)能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．四边形EFHN 是矩形，EF NH ∴=，EN FH =，tan 2NH B HB ∠== ，12HB NH ∴=，(1)求L （A ，B ）；(2)求抛物线1y 的表达式；(3)已知221y tx =+是该坐标系内的一个一次函数．①若D ，E 是221y tx =+图像上的两个动点，且②当3t x t +≤≤时，若函数12y y y =+的最大值与最小值之和为【答案】(1)4；(2)2123y x x =-++；(3)①CDE 面积最大值为521t =-由点到直线的距离，垂线段最短知：CM ≤115222CDE S DE CM DE CN CN ∴=⨯≤⨯= ()2,3C ，()0,1N ()()2220314422CN ∴=-+-=+=55225222CN ∴=⨯=CDE ∴ 面积的最大值为52一、解答题1．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元，（x 为整数）月销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围．(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】(1)2101302300y x x =-++，x 的取值范围为010x ≤≤（x 为整数）(2)32元(3)每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元(4)每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元【分析】（1）每件玩具的销售单价上涨x 元时，单件利润为()3020x -+元，销量为()23010x -件，根据总利润等于单件利润乘以销量列式即可；（2）令2520y =，解一元二次方程，根据实际情况对求出的解进行取舍即可；（3）结合（2）中结论可知，当销售单价上涨2、3、4、5、6、7、8、9、10元时，每月获得的利润不低于2520元；（4）将2101302300y x x =-++化为顶点式，结合x 的取值范围即可求出y 的最大值．【详解】（1）解：依题意得：()()2302023010101302300y x x x x =-+-=-++，每件首饰售价不能高于40元，∴3040x +≤，∴010x ≤≤（x 为整数）．因此y 与x 的函数关系式为2101302300y x x =-++，x 的取值范围为010x ≤≤，且x 为整数；（2）解：当2520y =时，21013023002520x x -++=，整理得213220x x -+=，解得12x =，211x =，010x ≤≤，∴2x =，当2x =时，30232+=．即每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；（3）解：如图，由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月获得的利润不低于2520元，对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130，每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．（4）解： 2101302300y x x =-++，∴()2106527225y x ..=--+．100a =-<，010x ≤≤，且x 取正整数，∴当6x =或7时，y 取最大值，()210765272252720y ..=-⨯-+=最大值，∴每件玩具的售价定为：30636+=（元）或30737+=（元）．即每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元．一、解答题(1)若5ABC S = ，求a 的值；(2)若1a =，过点P 作直线垂直于x 轴，交的坐标；(3)直线AP 交y 轴于点M ，直线BP 交y 【答案】(1)12(2)4，26P -（，）(3)5【分析】（1）根据12ABC S AB OC =⨯⨯ （2）设点234P x x x --（，），则点Q （(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P为线段BC上一动点，过点(1)求证：ABE DEG △∽△．(2)若6AB =，10BC =，①点E 在移动的过程中，求DG 的最大值；②如图2，若点C 恰在直线EF 上，连接DH ，求DGH 的面积．【答案】(1)见解析(2)①DG 最大值256=；②DGH 的面积为2215∠=∠由折叠可知，AEB FEBAEB FEB DEG HEG ∠+∠+∠+∠AEB DEG∴∠+∠=︒，90四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠+∠=A D AEB ABE90∴∠=∠，ABE DEG∽．ABE DEG∴∠=∠，由折叠可知AEB FEB ，AD BC∥∴∠=∠，AEB EBCFEB EBC∴∠=∠，∴==，10CE CB点C在直线EF上，411025OD DH ∴==，2283OG DG OD ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭1142215DGH S OG DH ∴=⨯⋅= 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三。

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二次函数综合性问题——线段的最值教学设计重庆一中唐小力一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质和应用后，对二次函数综合性问题的中考专题复习课。

主要内容包括：利用二次函数的相关知识解决重庆中考压轴题26题的第二问双最值中的第一个最值——线段的最值，争取让学生逐个解决问题，从而得分。

本节课的设计是从求水平或者竖直的线段的最值入手，逐渐变化为求倾斜方向的线段最值，再转化为求三角形的最值，让学生体会在解决问题的过程中层层递进，获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。

按照新课程理念，结合本节课的具体内容,本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次:1、知识与技能通过对二次函数综合性问题——线段的最值问题的探究，让学生掌握利用设点的坐标的方法解决线段的最值问题以及将倾斜线段转化的方法.2、过程与方法通过层层递进，由浅入深的七个例子的学习，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生转化的思想。

3、情感态度价值观（1)使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。

（2）通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法,从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

本节课的教学重点是 “探究利用二次函数的最大值（或最小值)解决线段最值的方法"，教学难点是“如何将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段，从而解决最值问题”。

二次函数的最值精选题一．选择题（共14小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，03．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．B．C．1D．04．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5B．﹣4和5C．﹣4和﹣3D．﹣1和55．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm6．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣7．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A．9B．8C．1D．8．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣29．二次函数y＝x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5B．最小值﹣5C．最大值﹣6D．最小值﹣6 10．二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的最小值是（）A．﹣8B．﹣2C．0D．611．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定12．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．213．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5B．有最大值2，有最小值1.5C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D．有最大值2，无最小值14．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn+1有（）A．最小值﹣3B．最小值3C．最大值﹣3D．最大值3二．填空题（共18小题）15．若实数a、b满足a+b2＝2，则a2+5b2的最小值为．16．矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是．17．已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是．18．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是．19．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是．20．已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是．21．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．22．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．23．已知二次函数y＝mx2+（m2﹣3）x+1，当x＝﹣1时，y取得最大值，则m＝．24．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝．25．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是．26．已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为．27．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，AE＝CF＝3，点G、H在正方形ABCD的内部或边上，若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH的最大面积为．28．二次函数y＝（x﹣4）2﹣5的最小值是．29．函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为．三．解答题（共8小题）30．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．31．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．32．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为．33．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．34．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．35．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．36．已知抛物线l1的最高点为P（3，4），且经过点A（0，1），求l1的解析式．37．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝12，当AC，BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？。