2015年绵阳二诊数学试题

绵阳市2015年中考数学试卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分，每小题只有一个选项最符合题目要求）．（ 分）（ 绵阳） 是 的（）．平方根 ．相反数 ．绝对值 ．算术平方根 ．（ 分）（ 绵阳）下列图案中，轴对称图形是（） ． ． ． ．．（ 分）（ 绵阳）若 ﹣ ，则（ ﹣ ） （）．﹣ ． ． ．﹣ ．（ 分）（ 绵阳）福布斯 年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中王健林以 亿美元的财富雄踞中国内地富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为（）． 美元 ． 美元． 美元 ． 美元 ．（ 分）（ 绵阳）如图，在 中， 、 的平分线 ， 相交于点 ， ， ，则 （）． ． ． ． ．（ 分）（ 绵阳）要使代数式有意义，则 的（）．最大值是 ．最小值是 ．最大值是 ．最小值是 ．（ 分）（ 绵阳）如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ， ， ，则四边形 的面积为（）． ． ． ． ．（ 分）（ 绵阳）由若干个边长为 的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，则这个几何体的表面积是（）． ． ． ． ．（ 分）（ 绵阳）要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了 条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出 条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼．假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（）． 条 ． 条 ． 条 ． 条 ．（ 分）（ 绵阳）如图，要在宽为 米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂 长 米，且与灯柱 成 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂 垂直，当灯罩的轴线 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 高度应该设计为（）．（ ﹣ ）米 ．（ ﹣．（ ﹣ ）米 ．（ ﹣ ）米）米．（ 分）（ 绵阳）将一些相同的 按如图所示的规律依次摆放，观察每个 龟图 中的 的个数，若第 个 龟图 中有 个 ，则 （）． ． ． ． ．（ 分）（ 绵阳）如图， 是等边 边 上的一点，且 ： ： ，现将 折叠，使点 与 重合，折痕为 ，点 ， 分别在 和 上，则 ： （）． ． ． ．二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．（ 分）（ 绵阳）计算： （ ）﹣ ．．（ 分）（ 绵阳）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为 （﹣ ， ）和 （﹣ ，﹣ ），那么第一架轰炸机 的平面坐标是．．（ 分）（ 绵阳）在实数范围内因式分解： ﹣ ． ．（ 分）（ 绵阳）如图， ， ， 交 的平分线 于点 ， ，则 ．．（ 分）（ 绵阳）关于 的一元二次方程 ﹣ ﹣ 的一个根为 ，则 ﹣ ．．（ 分）（ 绵阳）如图，在等边 内有一点 ， ，， ，将 绕 点逆时针旋转，使 与 重合，点 旋转至点 ，则 的正切值为．三、解答题（本大题共 小题，共 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．（ 分）（ 绵阳）（ ）计算： ﹣ （﹣）﹣ ﹣ ；（ ）解方程： ﹣．．（ 分）（ 绵阳）阳泉同学参加周末社会实践活动，到 富乐花乡 蔬菜大棚中收集到 株西红柿秧上小西红柿的个数：（ ）前 株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是，中位数是，众数是；（ ）若对这 个数按组距为 进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图个数分组 ＜＜＜＜＜频数 （ ）通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势．．（ 分）（ 绵阳）如图，反比例函数 （ ＞ ）与正比例函数 相交于 （ ， ）， （﹣ ，﹣ ）两点．（ ）求反比例函数和正比例函数的解析式；（ ）将正比例函数 的图象平移，得到一次函数 的图象，与函数 （ ＞ ）的图象交于 （ ， ）， （ ， ），且 ﹣ ﹣ ，求 的值．．（ 分）（ 绵阳）如图， 是 的内心， 的延长线和的外接圆相交于点 ，连接 ， ， ， ，四边形 为平行四边形．（ ）求证： ；（ ）若 ，求阴影部分的面积．．（ 分）（ 绵阳）南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的 ， 两种矿石， 矿石大约 吨， 矿石大约 吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共 艘，甲货船每艘运费元，乙货船每艘运费 元．（ ）设运送这些矿石的总费用为 元，若使用甲货船 艘，请写出 和 之间的函数关系式；（ ）如果甲货船最多可装 矿石 吨和 矿石 吨，乙货船最多可装 矿石 吨和 矿石 吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．．（ 分）（ 绵阳）已知抛物线 ﹣ ﹣ （ ）与 轴相交于 点，顶点为 ，直线 ﹣ 分别与 轴、 轴相交于 ， 两点，并且与直线 相交于 点．（ ）若直线 和抛物线有两个不同交点，求 的取值范围，并用 表示交点 ， 的坐标；（ ）将 沿着 轴翻转，若点 的对称点 恰好落在抛物线上， 与抛物线的对称轴相交于点 ，连接 ，求 的值及 的面积；（ ）在抛物线 ﹣ ﹣ （ ＞ ）上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．．（ 分）（ 绵阳）如图，在边长为 的正方形 中， 是 延长线时的一点，且 ，动点 从 点出发，以每秒 个单位的速度沿着的路线向 点匀速运动（ 不与 ， 重合），设运动时间为 秒，连接 并延长 于 ．（ ）是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，分析点 的位置；若不存在，请说明理由；（ ）当点 在 边上时，若 ， 交 的平分线于 ，求证： ；（ ）过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 的最大值．绵阳市 年中考数学试卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分，每小题只有一个选项最符合题目要求）．（ 分）考点：平方根．分析：根据平方根的定义解答即可．解答：解： 是 的平方根．故选： ．点评：本题考查了平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．．（ 分）考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．解答：解： 、不是轴对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，故此选项正确；故选； ．点评：本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．．（ 分）考点：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．专题：计算题．分析：利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到 与 的值，即可确定出原式的值．解答：解： ﹣ ，，解得：，则（ ﹣ ） （﹣ ） ﹣ ．故选： ．点评：此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．．（ 分）考点：科学记数法 表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ＜ ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 时， 是正数；当原数的绝对值＜ 时， 是负数．解答：解：将 亿用科学记数法表示为： ．故选： ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ＜ ， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值． ．（ 分）考点：三角形内角和定理．分析：由三角形内角和定理得 ，由角平分线的性质得 ，再利用三角形的内角和定理得结果．解答：解： ，，， 是 、 的平分线，， ，（ ） ，﹣ ，故选： ．点评：本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是解答此题的关键．．（ 分）考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件列出关于 的不等式，求出 的取值范围即可．解答：解： 代数式有意义，﹣ ，解得 ．故选： ．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．．（ 分）考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得 的长，根据平行四边形的判定，可得四边形 的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在 中，由勾股定理，得．， ，四边形 是平行四边形．四边形 的面积为 （ ） ，故选： ．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出 的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式． ．（ 分）考点：由三视图判断几何体；几何体的表面积．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有 个小正方体，第二层应该有 个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是 个．所以表面积为 ．故选： ．点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀 俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章 就更容易得到答案．．（ 分）考点：用样本估计总体．分析：首先求出有记号的 条鱼在 条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．解答：解：由题意可得： （条）．故选： ．点评：本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．．（ 分）考点：解直角三角形的应用．分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得 、 ，再相减即可求得 长．解答：解：如图，延长 ， 交于点 ．， ， 米， 米，在直角 中， ，（ ） 米，， ，，，米，﹣ （ ﹣ ）米．故选： ．点评：本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念．．（ 分）考点：规律型：图形的变化类．分析：分析数据可得：第 个图形中小圆的个数为 ；第 个图形中小圆的个数为 ；第 个图形中小圆的个数为 ；第 个图形中小圆的个数为 ；则知第 个图形中小圆的个数为 （ ﹣ ） ．据此可以再求得 龟图 中有 个 是 的值．解答：解：第一个图形有： 个 ，第二个图形有： 个 ，第三个图形有： 个 ，第四个图形有： 个 ，由此可得第 个图形有： （ ﹣ ） 个 ，则可得方程： （ ﹣ ）解得： ， ﹣ （舍去）．故选： ．点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．．（ 分）考点：翻折变换（折叠问题）．分析：借助翻折变换的性质得到 ；设 ， ，则 ﹣ ；根据余弦定理分别求出 、 的长即可解决问题．解答：解：设 ，则 ；为等边三角形，， ；设 ，则 ﹣ ；由题意知：，且 平分 ，；由余弦定理得：﹣即 （ ﹣ ） ﹣ （ ﹣ ） ，整理得： ，同理可求： ，： ： ．故选： ．点评：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助余弦定理分别求出 、 的长度（用含有 的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．（ 分）考点：整式的混合运算．分析：首先将括号里面利整式的除法运算法则化简，进而利用同底数幂的乘法以及合并同类项法则求出即可．解答：解： （ ）﹣ ﹣ ．故答案为： ．点评：此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关法则是解题关键．．（ 分）考点：坐标确定位置．分析：根据 （﹣ ， ）和 （﹣ ，﹣ ）的坐标以及与 的关系进行解答即可．解答：解：因为 （﹣ ， ）和 （﹣ ，﹣ ），所以可得点 的坐标为（ ，﹣ ），故答案为：（ ，﹣ ）．点评：此题考查坐标问题，关键是根据 （﹣ ， ）和 （﹣ ，﹣ ）的坐标以及与 的关系解答．．（ 分）考点：实数范围内分解因式．专题：计算题．分析：原式提取 ，再利用平方差公式分解即可．解答：解：原式 （ ﹣ ） （ ﹣）（ ），故答案为： （ ﹣）（ ）．点评：此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．．（ 分）考点：平行线的性质．分析：先根据平行线的性质求出 与 的度数，再由角平分线的性质求出 的度数，进而可得出 的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．解答：解： ， ，﹣ ， ． 交 的平分线 于点 ，，．，﹣ ﹣ ．故答案为： ．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．．（ 分）．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到 ﹣ ﹣ ，两边除以 得 ，再利用完全平方公式变形得到原式 （ ） ﹣ ，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：把 代入 ﹣ ﹣ 得 ﹣ ﹣ ，所以 ，所以原式 （ ） ﹣（ ） ﹣．故答案为： ．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．．（ 分）考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．专题：计算题．分析：先根据等边三角形的性质得 ， ，再根据旋转的性质得 ， ， ，于是可判断 为等边三角形，得到 ；过 点作 于 ，如图，设 ，则 ﹣ ，利用勾股定理得到 ﹣ ﹣（ ﹣ ） ，解得 ，再计算出 ，然后根据正切的定义求解．解答：解： 为等边三角形，， ，绕 点逆时针旋转得 ，， ， ， 为等边三角形，，过 点作 于 ，如图，设 ，则 ﹣ ，在 中， ﹣ ，在 中， ﹣（ ﹣ ） ，﹣ ﹣（ ﹣ ） ，解得 ，，在 中， ，即 的正切值为 ．故答案为： ．点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三角形．三、解答题（本大题共 小题，共 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．（ 分）考点：实数的运算；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（ ）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果；（ ）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（ ）原式 ﹣ ﹣﹣ ；（ ）去分母得： ﹣ ，解得： ，经检验 是分式方程的解．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．．（ 分）考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数．分析：（ ）根据平均数的计算公式进行计算求出平均数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案；（ ）根据所给出的数据分别得出各段的频数，从而补全统计图；（ ）根据频数分布直方图所给出的数据分别进行分析即可．解答：解：（ ）前 株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是（ ）；把这些数据从小到大排列： 、 、 、 、 、 、 、 、、 ，最中间的数是（ ） ，则中位数是 ；出现了 次，出现的次数最多，则众数是 ；故答案为： ， ， ；（ ）根据题意填表如下：个数分组 ＜＜＜＜＜频数补图如下：故答案为： ， ， ；（ ）此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有 个；西红柿个数最集中的株数在第三组，共 株；西红柿的个数分布合理，中间多，两端少．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． ．（ 分）考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．分析：（ ）首先根据点 与点 关于原点对称，可以求出 的值，将点 分别代入反比例函数与正比例函数的解析式，即可得解．（ ）分别把点（ ， ）、（ ， ）代入一次函数 ，再把两式相减，根据 ﹣ ﹣ 得出 ﹣ ﹣，然后通过联立方程求得 、 的值，代入即可求得 的值．解答：解：（ ）据题意得：点 （ ， ）与点 （﹣ ，﹣ ）关于原点对称， ，（ ， ）， （﹣ ，﹣ ），反比例函数和正比例函数的解析式分别为 ， ；（ ） 一次函数 的图象过点（ ， ）、（ ， ）， ，﹣ 得， ﹣ ﹣ ，﹣ ﹣ ，﹣ ﹣ ，由得 ﹣ ，解得， ， ，﹣ ﹣ ，解得 ．点评：本题考查了反比例函数与正比例函数关于原点对称这一知识点，以及用待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特点，利用对称性求出点的坐标是解题的关键．．（ 分）考点：三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．专题：计算题．分析：（ ）由于 是 的内心，也是 的外心，则可判断 为等边三角形，所以 ， ，再根据平行四边形的性质得 ， ， ，则根据 证明 ；（ ）作 于 ，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 ，根据垂径定理得到 ，再利用含 度的直角三角形三边的关系得到 ， ，，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用 阴影部分 扇进行计算即可．形 ﹣解答：（ ）证明： 是 的内心，也是 的外心，为等边三角形，， ，四边形 为平行四边形，， ， ，，在 和 中，；（ ）作 于 ，如图，， ，（ ﹣ ） ，，，，，阴影部分 扇形 ﹣﹣．点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算．．（ 分）考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（ ）根据这些矿石的总费用为 甲货船运费 乙货船运费，即可解答；（ ）根据 矿石大约 吨， 矿石大约 吨，列出不等式组，确定的取值范围，根据 为整数，确定 的取值，即可解答．解答：解：（ ）根据题意得： （ ﹣ ） ﹣ ．（ ）设安排甲货船 艘，则安排乙货船 ﹣ 艘，根据题意得：，化简得：，，为整数，， ， ，方案一：甲货船 艘，则安排乙货船 艘，运费 ﹣ 元；方案二：甲货船 艘，则安排乙货船 艘，运费 ﹣ 元；方案三：甲货船 艘，则安排乙货船 艘，运费 ﹣ 元；经分析得方案三运费最低，为 元．点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意得到函数解析式和不等式组．．（ 分）考点：二次函数综合题．分析：（ ）先联立抛物线与直线的解析式得出关于 的方程，再由直线 和抛物线有两个不同交点可知 ＞ ，求出 的取值范围，令 求出 的值即可得出 点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出 点的坐标；（ ）利用待定系数法求出直线 的解析式，联立两直线的解析式可得出 点坐标，进而可得出 点坐标，根据 ﹣ 可得出结论；（ ）分点 在 轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可．解答：解：（ ）由题意得，，整理得 ﹣ ． ＞ ，解得 ＞﹣．，＞﹣且 ．令 ，得 ，（ ， ）．由 ﹣（ ） 得， （﹣ ， ）．（ ）设直线 的解析式为 （ ），（ ， ）， （﹣ ， ），，解得，直线 的解析式为 ﹣ ，联立得，，解得，（，﹣）．点 是点 关于 轴的对称点，（﹣，﹣）．代入 ﹣ ﹣ 得，﹣ ﹣ ，解得 或 （舍去）．（ ，）， （ ，﹣）， （﹣ ，）， ，﹣ ﹣（ ﹣ ）；（ ） 当点 在 轴左侧时，四边形 是平行四边形，与 互相平分， （，﹣），（﹣，）；代入 ﹣ ﹣ 得， ﹣ ，解得 ，（﹣，）．当点 在 轴右侧时，四边形 是平行四边形，且 ，（，﹣）， （ ， ）， （ ，﹣ ），（，﹣）．代入 ﹣ ﹣ 得，﹣ ﹣ ﹣ ，解得 ，（，﹣）．综上所述，当点 （﹣，）和（，﹣）时， 、 、 、 能构成平行四边形．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、二次函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，难度较大．．（ 分）考点：四边形综合题．分析：（ ）四种情况：当点 为 的中点时， ；当点 与点 重合时， ；当点 在 上，且 时， ；当点 为 的中点时， ； 为等腰三角形；（ ）在 上截取 ，连接 ；由正方形的性质得出 ， ， ，得出 ，先证出，再证出 ，由 证明 ，得出 即可；（ ） 当 在 上时，即 ＜ 时， 为等腰直角三角形，得出 ，求出 ；当 时，即可求出 的最大值；当 在 上时，即 ＜ ＜ 时，先证明 ，得出 ，求出 ，证出 为等腰直角三角形，得出 ﹣ ，得出 ﹣ ﹣， 为 的二次函数，即可求出结果．解答：（ ）解：存在；当点 为 的中点时， ，则 为等腰三角形；当点 与点 重合时， ，则 为等腰三角形；当点 在 上，且 时， ，则 为等腰三角形；当点 为 的中点时， ，则 为等腰三角形；（ ）证明：在 上截取 ，连接 ；如图 所示： 四边形 是正方形，， ，，﹣ ， ﹣ ，，平分 ，，，﹣ ，，在 中， ，又 ，即 ，﹣ ，，在 和 中，，（ ），；（ ）解： 当 在 上时，即 ＜ 时， 为等腰直角三角形，，，；当 时， 的最大值 （ ） ；当 在 上时，即 ＜ ＜ 时，如图 所示：﹣ ﹣ ， ﹣ ，在 和 中，，（ ），，，﹣ ，为等腰直角三角形，（ ﹣ ） ﹣ ， ﹣ ﹣ ﹣ ﹣二 一三年江苏省建设工程造价员资格考试﹣（ ﹣） ﹣（ ﹣） ﹣ ﹣ ﹣（ ﹣） ， 当时， 的最大值为．点评： 本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（ ）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结果．。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dxx x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x ααβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，则11u v fu==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,)43D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩ 则 212t d y dx ==【答案】48【解析】 2222333(1)11dy dy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】 已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有1(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = .【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===， 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203c o s )1(s i n )1(lim kx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=22)(2V ππA x d x A -πππ2c o s 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求 (,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=， 故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x x ϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=xxde x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y xxx )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，xyy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E AE X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪⎪⎝⎭P AP文档内容由金程考研网整理发布。

绵阳市高中2021级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BACDC BACAD AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．721014．12-15．1216．0y ±=三、解答题：本大题共6小题，共70分．（2）111111()(23)(25)22325n n a a n n n n +==-++++，······························8分∴1111111(...)257792325n T n n =-+-++-++·················································10分11=104101025n n n =-++．······················································12分18．解：（1）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，···········································2分2100(20203030)=4>3.84160405050⨯-⨯=⨯⨯⨯······················································4分故有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关；········································5分（2）按分层抽样喜欢旅游的男性为2人，记为A 1，A 2，女性为3人，记为B 1，B 2，B 3，····························································································6分随机抽取2人的事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，····················8分不同性别的事件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，···10分故两人是不同性别的概率63==105P ．···············································12分19．解：（1）∵43sin BA BC bc A⋅=⋅ ∴4cos 3sin a B b A ⋅=⋅··································································2分∴4sin cos 3sin sin A B B A =，····················································3分∴4tan 3B =，则3cos 5B =，·························································4分又∵424BA BC c ⋅= ，∴4cos 24ac B c =，·····································································5分∴cos 6a B =，∴65610cos 3a B ==⨯=；·····························································6分（2）由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅，··································7分∴2210012b c c =+-，·································································8分又48a b c ++=，则38b c +=，····················································9分∴22(38)10012c c c -=+-，·······················································10分∴21c =，·················································································11分∴114102184225ABC S ac sinB =⋅=⨯⨯⨯=．··································12分20．解：（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，联立⎩⎨⎧=-=py x kx y 222，消y 整理得：0422=+-p pkx x ，························2分所以：pk x x 221=+，p x x 421=，·················································3分22112211)22()22(22x p kx x p kx x p y x p y k k FB F A +-++-=-+-=212121))(22(2x x x x p x kx ++-=041()22(22=-=+-=p k p k k ，·············································4分∴4=p ，即抛物线E 的方程为：y x 82=；·····································5分（2）由（1）可知：k x x 821=+，1621=x x ···················································6分且064642>-=∆k ，所以：12>k ，184)(||22122121-=-+=-k x x x x x x ，······································7分直线FA 的方程为：2211+-=x x y y ，所以：11114424kx x y x x M -=-=，····8分同理：22224424kx x y x x N -=-=，所以|4444|||||2211kx x kx x x x MN N M ---=-=······················································9分|)(416)(16|2122121x x k x x k x x ++--=···································································10分1618|1|18222≥-=--=k k k ······································································11分解得：125-<≤-k 或251≤<k ．·············································12分21．解：（1）2cos )3(2x a x x f '-+=，····················································1分∴2cos (0035)f '=+=，···································································2分切线斜率为5，················································································3分曲线()f x 在x =0处的切线方程为y =5x ．···············································4分（2）解法一：①当[]0,x π∈时'()2cos 23f x x ax =-+，····················5分若0a <时，2cos 23x ax >-恒成立，若0a ≥时'()f x 在[]0,π上单调递减．················································6分∴''()()2230f x f a ππ≥=--+≥，则102a π≤≤，···························7分综上：12a π≤；··············································································8分②当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时若0a ≥时，2cos 23x ax >-恒成立，∴'()0f x ≥恒成立，········································································9分若0a <时'()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．∴''()()302f x f a ππ≥-=+≥，则30a π-≤<，······························10分∴3a π≥-，··················································································11分综上所述：312a ππ-≤≤．·································································12分解法二：由（1）可知23=5>0(0)f +'=，∴()f x 在[]2ππ-，上必是单调递增函数，···············································5分令2cos )3(2x a x x f '-+=，则()302≥a f ππ'-=+，()120f a ππ'=-≥，··············································6分∴312a ππ-≤为()f x 在[]2ππ-上是增函数成立的必要条件，···················7分令2cos )3(2x a x x f '-+=，下证：当312a ππ-≤≤时，()≥0f x '对任意[]2，x ππ∈-恒成立，···················8分①当102a π≤≤时，[]2x ππ∈-，则11[42，ax ∈-，12[1]2，ax -∈-，∴2cos 2312(0)≥≥x ax a f x x -+-'=；·····················································9分②当30a π-<≤时，[0]，x π∈，20ax ->，很显然()2cos 30f x x '>+>；[0]2，x π∈-，()f x '为增函数，()()302≥≥≥f x f a ππ''-+；·························10分∴当312a ππ-≤≤时，()≥0g x 对任意[]2，x ππ∈-恒成立，·························11分∴312a ππ-≤，使得()f x 在[]2，ππ-上是单调函数．·····························12分22．（1）由题意：11)2()32222=+-=+t t y x （，且0132≥-=t x ，··················2分∴曲线C 的普通方程为：)0(14922≥=+x y x ·························································3分∴曲线C 的极坐标方程为14sin 9cos 2222=+θρθρ（22πθπ≤≤-），即θρ22sin 5436+=（22πθπ≤≤-）；··················································5分（2）由（1）得θρ22sin 5436+=，因为且OA ⊥OB ，不妨设)(1θρ，A ，)2(2πθρ+，B ，·····························6分∴θρ221sin 5436+=，······································································7分∴2222)2(sin 5436πθρ++==θ2cos 5436+，··········································8分∴2211OB OA +222211ρρ+=····················································································9分36cos 54sin 5422θθ+++=3658+=3613=．·········································10分23．（1）证明：因为))(11(22by ax b a ++2222y aby b ax x +++=a by b ax y x 22222⋅++≥222)(2y x xy y x +=++=，············3分∴()ba by ax y x 11222+≤++，·······································································4分当且仅当aby b ax 22=，即by ax =时，等号成立；·····································5分（2）函数245144)(22++++=x x x x x f 245)12(22+++=x x x []222)1(23)1(+⋅+⋅++=x x x x ·························7分根据（1）的结论，[]652131)1(23)1(222=+≤+⋅+⋅++x x x x ，··································8分当且仅当)1(23+=x x ，即2=x 时，等号成立．·····································9分∴函数)0(245144)(22>++++=x x x x x x f 的最大值为65，此时x =2．·····················10分。

绵阳高 2022 级高三上期二诊模拟测试数学试题

一、单选题 (本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.)

1、在复平面内,向量 AB 对应的复数为 -1+3i ,向量 BC 对应的复数为 -2+i ,则向量 AC 对应的复数为( )

A. 1+2i B. -1-2i C. -3-4i D. -3+4i

2、下列四个条件中,使 a>b 成立的充要条件是 ( )A. ln(a-b)>0 B. |a|>b C. a2>b2 D. 2a>2

b

3、已知直线 2x+3my-2=0 与直线 2mx-5(m+1)y+1=0 互相垂直,则 m 为( )A. -1115 B. -1115 或 0 C. 114 D. 114 或 04、空间中有两个不同的平面 α,β 和两条不同的直线 m,n ,则下列说法中正确的是 ( )A. 若 α

∥β,m∥α,m∥n ,则 n∥β

B. m,n 为异面直线且 m

⊂α,n⊂β,α∩β=l ,则 l 与 m,n 中至少一条相交

C. 若 α∩β=m、n 与 α、β 所成的角相等,则 m

⊥n

D. 若 α

⊥β,m⊥α、m⊥n ,则 n⊥β

5、已知圆锥的母线长度为 4 ,一个质点从圆锥的底面圆上一点出发,绕着圆锥侧面运动一周,再回到出发点的最短距离为 42 ,则此圆锥的体积为 ( )

A. 15π3 B. 43π3 C. 83π3 D. 106π3

6、已知圆 C:

x

2+(y-1)2=4 ,直线 l:x+y+m=0 ,点 P 为直线 l 上的动点. 过点 P 作圆 C 的两条切

线,切点分别为 M,N . 若使得四边形 PMCN 为正方形的点 P 有且只有一个,则实数 m 的值为 ( )

A. -3 或 -5 B. -3 或 5 C. 3 或 -5 D. 3 或 5

7、已知椭圆 C:

x2a2+y2

b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 C 上一点, O 为原点,若